分析中考二次函数试题谈谈复习

二次函数是初中数学的重要组成部分，也是中考的必考内容，考题的难度，出现基础题（难度系数低）、能力题（难度系数中等）、拓展题（难度系数高）三种层次的题目都是有可能的。从实际教学情况看，有许多学生难以学好二次函数,对二次函数学不得法，以至对二次函数如谈虎色变，一见到二次函数的题目就直接放弃，影响了中考成绩，也影响了今后进一步进行函数的学习。如何帮助学生在初三进行复习的时候更好地掌握二次函数，我通过对全国部分地方的中考题进行分析，谈谈怎样做好复习工作.

一、 对中考二次函数试题的分析

例1（2011哈尔滨市中考）在抛物线y=-x+1 上的一个点是（）

A. （1，0） B. （0，0）

C. （0，-1) D. （1，1)

考点二次函数的图像与性质.

分析本题属于基础题，由于二次函数图像上的点的坐标满足二次函数的关系式，反之，满足二次函数的关系式的点的坐标，这个点一定在二次函数图像上，所以可以利用代入法进行验证，故选（A）.

例2（2011上海市中考）抛物线y＝－（x＋2）－3的顶点坐标是（）

A. （2，－3） B. （－2，3）

C. （2，3） D. （－2，－3）

考点二次函数的图像与性质、顶点的坐标.

分析本题属于基础题，由于题目直接给出了抛物线的顶点形式，可以从关系式中直接写出抛物线的顶点坐标（－2，－3），故选（D）.

例3（2011年烟台市中考）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）

A. m＝n，k＞h B. m＝n，k＜h ?摇

C. m＞n，k＝h D. m＜n，k＝h

考点二次函数的图象与性质.

分析本题考查学生的理解、运用二次函数图像与性质的情况，属于能力题.从图像上看，两条抛物线有相同的对称轴，那么m＝n，k＞h，故选（A）.

例4（2011年河北省中考）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=-5（t-1）+6，则小球距离地面的最大高度是（）

A. 1米 B. 5米

C. 6米 D. 7米

考点二次函数的应用.

分析首先要理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h=-5（t-1）+6的顶点坐标即可．当t=1时，小球距离地面高度最大，h=-5×（1-1）+6=6（米），故选（C）．

方法解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，二次函数y=ax+bx+c的顶点坐标是（-，），当x=-时，y的最大值（或最小值）是．

例5（2011常州市中考）已知二次函数y=-x+x-，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m-1、m+1时对应的函数值为y，y，则y，y必须满足（）

A. y＞0，y＞0 B. y＜0，y＜0

C. y＜0，y＞0 D. y＞0，y＜0

考点抛物线与x轴的交点；二次函数图像上点的坐标特征.

分析本题是有关二次函数的计算题，属于能力题。根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值大于0，确定m-1、m+1的位置，进而确定函数值为y，y．令y=-x+x-=0，解得：x=，由于当自变量x取m时对应的值大于0，＜m＜，m-1＜，m+1＞，可以知道：y＜0，y＜0．故选（B）．

例6（2011南京市中考）已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．

（1） 求证：不论m为何值，该函数的图像都经过y轴上的一个定点；

（2）若该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值．

考点一次函数、二次函数、一元二次方程.

分析本题是二次函数与其他知识的综合题，属于能力题.

（1） 由于二次函数的常数项为1, 故x=0时，y=1得证.

（2） 考虑两种情况，当m=0函数为一次函数, 与X轴有一个交点；当m≠0函数为二次函数, 由函数y=f（x） 与X轴有一个交点的要求, 对应的一元二次方程f（x）=0有两个相等的实数根, 即根的判别式等于0, 从而求解。另外也可以考虑二次函数顶点的纵坐标为0求解, 即=0?圯m=9.

例7（2011盐城市中考）已知二次函数y =?摇-x- x +.

（1） 在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图像；

（2） 根据图像，写出当y＜ 0时，x的取值范围；

（3） 若将此图像沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图像所对应的函数关系式．

考点二次函数的图像与性质、平移.

分析本题是考查学生的二次函数图像与性质的理解、掌握情况，属于能力题.

（1） 因为y=-x- x +=-（x+1）+2；y=0，x=-2，1。所以这个函数的图像顶点在（-1，2），对称轴是x=-1，与x轴的两个交点是（-2，0），（1，0）.据此可画出这个函数的图像.

（2） 根据图象，y＜ 0时图像在x轴下方，此时对应的x的取值范围是x＜-3或x＞1.

（3） 若将此图像沿x轴向右平移3个单位，只要考虑图像顶点（-1，2）向右平移3个单位得到（3，2），从而由y=-（x+1）+2变为y=-（x-2）+2.

例8（2011泰州市中考）已知二次函数y=x+bx－3的图像经过点P（－2，5）

（1） 求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；

（2） 设P（m，y），P（m+1，y），P（m+2，y）在这个二次函数的图像上，

① 当m=4时，y，y，y能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；

② 当m取不小于5的任意实数时，y，y，y一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由.

考点二次函数的增减性、 构成三角形的条件.

分析（1） 把点P的坐标代入y=x+bx－3即可得到b的值. 根据二次函数的增减性知当x≥1时y随x增大而增大,所以只要求x=1 .3时y的值即可得解.

?摇（2） 根据根据两边之和大于第三边的三角形构成的条件可得证.

例9（2010苏州市中考）如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B.已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）.

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧.若以M，B，O，A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

（3） 在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立？请说明理由.

考点二次函数的图像与性质、四边形的性质.

分析本题考查学生“数形结合”的思想，属于拓展题.

（1） 设y=ax－3，把B0，4代入，得a=.

那么y=x－3.为所求的抛物线的解析式.

（2） 由于m，n为正整数，n=m－3，有m－3应该是9的倍数.而m是3的倍数.且m>3，则m=6，9，12，…当m=6时，n=4，此时，MA=5，MB=6.四边形OAMB的四边长为3，4，5，6.当m?叟9时，MB>6，所以四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数.故点M的坐标只有一种可能（6，4）.

（3） 设P3，t，MB与对称轴交点为D.则PA=t，PD=4－t.

PM=PB=4－t+9，

有PA+PB+PM=t+24－t?摇+9

=3t－16t+50=3t－+.

当t=时，PA+PB+PM有最小值，所以PA+PB+PM>28总是成立.

二、 谈二次函数的复习

1. “兴趣是最好的老师”.在复次函数的时候，教师要想方设法激发学生的学习兴趣.在初学的时候，可能有部分学生就已经感到二次函数很难、不容易理解、掌握、应用，丧失了信心，感觉越学越枯燥、泛味、抽象，有些内容如听天书，问题越来越多，在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，而老师可能由于赶教学的进度，也没有好好地“磨”，这些学生更容易进入函数学习的“冰冻期”，动摇了学好二次函数的信心，甚至失去了学次函数的兴趣.因此教师在引导学生复次函数的时候，要着力于继续培养和调动学生学次函数的浓厚的学习兴趣.教师可以从二次函数的广泛应用，来激发学生学好函数的热情，可以通过介绍函数在自然科学和社会科学研究中，尤其是在工农业生产、军事、生活等方面的巨大作用，来诱发学生对二次函数的兴趣；可以通过挖掘二次函数中的美育因素，使学生受到美的熏陶.此外，教师在复习的过程中，可以有目的地选择往年的中考二次函数题作为教学的内容，选用生动活泼、贴近学生生活的教学方式、方法引起学生的兴趣，使学生产生强烈的求知欲；可以通过运用形象生动、贴近学生、幽默风趣的语言来感染学生；可以通过安排既严谨又活泼的教学结构，形成和谐、合作交流的氛围，使学生积极主动、心情愉快地学习，体会探究二次函数知识与技能、过程与方法的乐趣，从而学有所获、学有成效.

2. 要引导学生通过梳理几个特殊型二次函数的关系式，形成知识网络、体系.在进行复习教学时，教师一定要指导学生对比整理学过的几个特殊的二次函数的关系式：（1）y=ax 其图像顶点为原点对称轴是y轴，开口由a性质符号确定；（2） y= ax+k其图像顶点（0，k）对称轴是y轴；（3） y=a(x-h)其图像顶点（h，0）对称轴是直线x=h；（4） y=a（x-h）+k其图像顶点（h，k），对称轴是直线x=h；（5） y=ax+bx+c其图像顶点（-，），对称轴是直线x=-. 如果学生对这些基本知识了如指掌，教师就可以精选往年的典型中考试题让学生进行尝试练习，通过反馈的情况来调整复习的方向、进度.

3. 通过让学生深刻理解二次函数的图像及性质，进一步提高学生二次函数的应用能力.教师引导学生观察 y=ax、y=ax＋k、y=a（x＋h）图像的形状及位置，理解图像的平移口诀“左加右减” 是针对h而言的；二次函数y=ax到y=a（x＋h）＋k图像的平移口诀“上加下减”是针对k而言的，“左加右减”是针对h 而言的.总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般式，尽量先化为顶点式再进行平移.通过对图像的平移，理解二次函数解析式的特征与图像的特征是一一对应的，这样学生在解题时就能做到心中有图，看到二次函数函数就能在头脑中反映出它的图像的基本特征；随后，在熟悉二次函数图像的基础上，通过分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、最值等性质；最后利用图像来判定二次函数的系数a、b、c、（判别式）以及由系数组成的代数式的符号等问题，能熟练应用待定系数法来求二次函数的解析式；综合利用二次函数的图像与性质，从而为能灵活应用“数形结合”的思想，解决“数与形”的关系（往往是中考的压轴题）打下扎实的基础，为构建数学模型来解决实际问题拓展了思维、提供了方法.

通过提高学生学次函数的兴趣、进行知识梳理、尝试解决中考涉及的二次函数试题，学生的信心增强了，有了好的学习方法、技巧，就能让学生充分的领悟二次函数的内涵，顺利通过数学中考对二次函数知识的检验，也为学生进入高一级学校继续函数的学习打下良好的基石.