高考数列题的命题角度及解题技巧

〔关键词〕 数学教学；数列；命题角度；解题技巧

〔中图分类号〕 G633.6

〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2013）10—0070—02

纵观历年高考数学试卷，对数列解答题这一块的考查主要有两个方面：一方面考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识和基本思想方法；另一方面考查数列与函数、方程、不等式等知识的整合，注重有限与无限、分类与整合、等价转化的数学思想和方法，以及思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识的考查.笔者认为，只要考生把握命题意图与考点，找到突破方法，掌握解题技巧，就能获得正确的结论.

命题角度一：等差数列与等比数列基本公式的应用

例1 （2012高考湖北理）已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.

（Ⅰ）求等差数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{an}的前n项和.

命题意图与考点：本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式以及考生分析问题、解决问题的能力.

突破方法技巧：1.等差数列的判断方法：定义法 an+1-an=d（d为常数）或an+1-an=an-an-1（n≥2）.

2.等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d或an=am+（n-m）d，前n项和公式：Sn=■，Sn=na1+■d.

3.等比数列的判断方法：定义法■=q（q为常数），其中q≠0，an≠0或■=■.

4.等比数列的通项为：an=a1qn-1或an=amqn-m.

前n项和公式为：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=■=■.

命题角度二：求解数列通项公式与前n项和的应用

例2 （2010高考江西理）设等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn满足■=■，且■+■=■，S2=6；函数g（x）=■（x-1），且cn=g（cn-1）（n∈N，n>1），c1=1.

（1）求A；

（2）求数列{an}及{cn}的通项公式；

（3）若dn=an（n为奇数）cn（n为偶数），试求d1+d2+……+dn.

命题意图与考点：本试题主要考查了等差数列的概念、通项公式、前n项和公式、构造新数列求原数列的通项公式等知识，同时还考查了化归与转化的思想方法及学生运算及推理论证的能力.

突破方法技巧：求解数列通项及前n项和的常用方法

1.形如an+1-an=f（n）型

（1）若f（n）为常数，即an+1-an=d，此时数列为等差数列，则an=a1+（n-1）d.

（2）若f（n）为关于n的函数时，用累加法.

2.形如■=f（n）型

（1）当f（n）为常数，即■=q（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，an=aqn-1.

（2）当f（n）为n的函数时，用累乘法.

由■=f（n）得：n≥2时，■=f（n-1），an=■·■……■·a1=f（n）f（n-1）……f（1）a1.

3.形如an+1=pan+q型数列

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解.构造的办法是待定系数法构造，设an+1+m=p（an+m），展开整理an+1=pan+pm-m，比较系数有pm-m=b，所以m=■.由此可得an+■是等比数列，公比为p，首项为a1+■.

4.形如an=■型数列（A，B，C为非零常数）

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数，把数列的倒数看成是一个新数列，便可顺利地转化为an+1=pan+q型数列.

5.利用an=S1（n=1）Sn-Sn-1来实现an与Sn的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一.要注意an=Sn-Sn-1不能用来求解首项a1，首项a1一般通过a1=S1来求解.

6.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.

命题角度三 ：数列与函数、不等式，解析几何等交汇问题的应用

例3 （2012年高考大纲理）函数f（x）=x2-2x-3.定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标.

（1）证明：2≤xn

（2）求数列{xn}的通项公式.

命题意图与考点：本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结合的综合运用.先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标.再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列，进而求得数列{xn}的通项.

突破方法技巧：本题以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式.既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明.试题比较综合，有一定的难度.解答这类试题要根据已知条件，一步一步地翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可. （1）数列与函数、方程、不等式的综合性问题，解题时要注意递推数列，准确把握递推数列的常见解法，有助于该类问题的解决.比如通过变形将其转化为常见的等差等比数列求解是此类问题的基本思路.（2）构造新数列时一定要注意原数列的项与新数列的项之间的对应.其中所涉及的不等式问题通常可用放缩法、比较法、归纳法来解决.

数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容.在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位. 另外随着新课程改革的实施，高考命题会突出以能力立意，加强对数列综合性和应用性的考查，常常在知识的交汇点设计试题，应引起数学教师的高度重视.