谈谈向量中的核心问题

平面向量是高中数学重要的基础知识之一，也是高考考查的对象。由于向量本身的内容就十分丰富，平面向量问题就出现了很多难点，其核心问题有：(1) 向量的基底运算；(2) 三角形和四边形中向量的运算；(3) 有关数量积的基本运算；(4) 有关数量积的定值和最值问题；(5) 用三角函数研究与向量有关的问题。同学们在对这些核心问题的备考中，在注重基础的同时，更要注意平面向量的工具性作用，注意知识的融会贯通，在应用中把平面向量的基础知识和方法融入自己的知识结构中去，只有这样才能真正学好。

核心热点深究一 向量线性运算中的参数的范围

向量线性运算中参数取值范围问题，关键是将所给向量的等式或图形条件，转化为参数的等式或不等式条件，从而根据所得条件，求出参数的取值范围。

【例1】 在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2＋y2＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC＝λOA＋μOB，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是 ．

解析 记〈OA，OB〉＝θ，则由OC

＝λOA＋μOB得λ2＋2λμcosθ＋μ2＝1，从而由正实数λ，μ及|cos

θ|

作出如下图所示的可行域，则λ2＋(μ－3)2表示区域内任一点到点(0,3)的距离的平方，

从而当点(0,3)到直线λ－μ＋1＝0的距离d为最小值．又d2＝2，所以λ2＋(μ－3)2的取值范围为(2，＋∞)．

点拨 本题关键是根据已知条件，得到λ，μ的关系的几何条件，然后用几何方法求解λ2＋(μ－3)2的取值范围。本题的细节在于点C在劣弧AB上，A，B,C三点构成一个三角形，所以有λ＋μ>1。

【变式】 如图，设点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，且AP＝mAB＋nAC，m，n∈R，则m2＋(n－2)2的取值范围为 ．

解析 因为点P是三角形BC内一点(不包括边界)，所以0

故所求取值范围为(1,5)．

规律技巧提炼

平面向量的线性运算除了常规加法、减法、数乘、数量积外，还有几个关键要素：

1. 基底向量的建立；

2. 未知向量与基底向量的关系；

3. 向量条件的几何意义；

4. 参数取值范围的几何解法。

核心热点深究二 平面向量的数量积最值问题

与动点有关的向量数量积问题中最常见的问题是求动点构造的向量的数量积的最值问题，此类问题一般需要建立与数量积有关的函数，通过函数求最值。

【例2】 如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上(含原点)上滑动，则OB•OC的最大值是 .

解析 设∠OAD＝θ，则OA＝DA•cosθ＝cosθ，

点B的坐标为(cosθ＋cos(90°－θ)，sin(90°－θ))，

即B(cosθ＋sinθ，cos

θ)，

同理可求得C(sinθ，sinθ＋cosθ)，

所以OB•OC＝(cosθ＋sinθ，cosθ)•(sinθ，sinθ＋cosθ)＝1＋sin2

θ，所以(OB•OC)max＝2.

点拨 本题中A，D两点在移动，并且将这两点的动态特征用三角函数表示，并由此三角函数求出

B，C两点的坐标，从而用三角函数求解其最值。

【变式】 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA•PB的最小值为 ．

解析 如图所示，设∠APB=2θ,

则∠APO=∠BPO=θ,

所以PA•PB=PA2•cos2θ=1tan2θ•cos2θ

=1-sin2θsin2θ•（1-2sin2θ）

=1sin2θ+2sin2θ-3≥22-3.

当且仅当1sin2θ=2sin2θ,即sin2θ=22时取等号.

核心热点深究三 用三角函数研究向量中的参数取值范围问题

在用坐标研究向量问题时，涉及参数取值范围时，建立参数与坐标之间的函数关系较为困难或建立后没有办法研究时，可以用对应的三角函数值表示向量的坐标，再建立参数与三角函数的关系，也是研究问题的一个途径。

【例3】 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC＝λDE＋μAP，则λ＋μ的最小值为 ．

解析 以A为原点,以AB所在的轴为x轴,建立坐标系,

设正方形ABCD的边长为1,则E12,0,C(1,1),D(0,1),A(0,0).

设P(cosθ,sinθ),AC=(1,1),

再由向量AC=λDE+μAP

=λ12,-1+μ(cosθ,sinθ)

=λ2+μcosθ,-λ+θsinθ,

λ2+μcosθ=1,-λ+μsinθ=1,

λ=2sinθ-2cosθ2cosθ+sinθ,

μ=32cosθ+sinθ,

λ+μ=3+2sinθ-2cosθ2cosθ+sinθ.

由题意得0≤θ≤λ2,0≤cosθ≤1,0≤sinθ≤1,

当cosθ取最大值时,λ+μ取最小值为3+0-22+0=12.

点拨 本题比较困难的是想到将点P坐标设为三角函数，从而引入三角函数来表示参数λ，μ之间的关系，本题的第二个难点就是对所得函数的进一步研究比较困难。

【变式】 平面内两个非零向量α，β，满足|β|＝1，且α与β－α夹角为135°，则|α|的取值范围 ．

解析 如图所示，在OAB中，设∠OBA＝θ，

所以OBsin45°＝OAsinθ，即|α|＝OA＝2sinθ，

又θ∈0，34π，故|α|∈(0，2］．

规律技巧提炼

1. 向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方面，有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算；

2. 研究向量一般有两个途径，一是建立直角坐标用坐标研究向量间的问题，二是用基底向量来研究；

3. 与向量数量积有关的最值或参数的取值范围，可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究，也可以考虑其几何意义，从几何角度来研究；

4. 向量方法解答几何问题．在具体问题中，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系，最后将结论转化为几何问题。

牛刀小试

1. 如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP＝xOA＋yOB，则x的取值范围是 ；当x＝－12时，y的取值范围是 ．

2. 已知O为ABC内一点，若对任意k∈R，恒有|OA-OB-kB|≥|AC|,则ABC的形状一定是 ．

3. ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH＝m(OA＋OB＋OC)，则实数m＝ .

4. 设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，定义一种向量运算：ab=(a1b1,a2b2)，已知m=12,2a

，n=π4,0，点P(x,y)在函数g(x)=sinx的图象上运动，点Q在函数y=f(x)的图象上运动，且满足OQ=mOP+n（其中O为坐标原点）.

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 若函数h(x)=2asin2x+32fx－π4+b，且h(x)的定义域为π2,π，值域为［2,5］，求a,b的值.

【参考答案】

1. (－∞，0) 12,32

由题意得：OP＝a•OM＋b•OB＝a•λAB＋b•OB＝aλ(OB－OA)＋b•OB＝－aλ•OA＋(aλ＋b)•OB(a,b∈R+,0

又由OP＝xOA＋yOB，则有0

2. 直角三角形,利用向量的几何意义转化.

3. 如图所示，连接BO，并延长交圆O于点D，连接CH，CD，AD，则∠BCD＝∠BAD＝90°，CDBC，ADAB.又H为ABC的垂心，

AHBC，CHAB.

CD∥AH，AD∥HC.

四边形AHCD为平行四边形．

AH＝DC＝OC－OD.

O为BD的中点，OB＝－OD.OH＝OA＋AH＝OA＋OC－OD＝OA＋OB＋OC.

m＝1.故填1.

4. （1） 设Q(x,y)，P(x0,sinx0)，则由OQ=mOP+n得(x,y)=12x0+π4,2asinx0．

即x=12x0+π4,y=2asinx0，消去x0，得

y=2asin2x－π2，

即f(x)=2asin2x－π2=－2acos2x．

(2) h(x)=2asin2x+32－2acos2x－π2+b，

=－acos2x－3asin2x+a+b

=－2asin2x+π6+a+b.

因为x∈π2,π，所以2x+π6∈7π6,13π6，所以sin2x+π6∈－1,12.

当a>0时，－a+a+b=2,2a+a+b=5，解得a=1,b=2．

当a

(作者:施振伟,江苏省海门市四甲中学)