“千方百计”使用基本不等式

基本不等式是解决最值问题的重要工具。“一正、二定、三相等”是运用基本不等式的前提条件，缺一不可。很多最值问题的求解方法往往具有一定的隐蔽性，需要进行适当的变形方能使用基本不等式。本人对近年来的相关高考题、联考题进行归纳，主要有六种变形技巧，若能掌握它们，则可将复杂问题简单化。

一、 拆项、添项

【例1】 已知x

分析 因为4x－5

解 x0,y=4x－2+14x－5=－5－4x+15－4x+3≤－2+3=1.

当且仅当5－4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立.

故当x=1时，ymax=1.

奇思妙想 设x≥5，函数y=x+3x的最小值是 .

分析 若直接使用基本不等式，则等号无法取到，所以通过变换，可部分使用。

解 把条件变为y=x+3x=x+25x－22x，

当x≥5时，y=－22x单调递增，而

y=x+25x≥225=10在x=5时取得最小值.

所以y=x+3x在x=5时有

ymin=10－225=285.

点拨 1. 本题无法直接运用基本不等式求解，但可适当进行拆项，即配凑出积为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

2. 本题还可以运用导数法进行求解。

二、 连续使用基本不等式――破解无定值

【例2】 设a>b>0，求a2+16b(a－b)的最小值.

分析 条件为和式，但无法直接配凑出积为定值，从而思维陷入困境；此时若能发现对第二个式子使用基本不等式后，产生积为定值，则难点得到突破，方法巧妙，令人拍案叫绝。

解 由16b(a－b)≥16b+a－b22=64a2，此时等号成立条件是b=a－b，即a=2b，所以a2+16b(a－b)≥a2+64a2≥264=16.此时等号成立条件是，a2=64a2，即a=4，所以此时b=2>0.

点拨 两次使用基本不等式是指连续两次使用不等式，使用时要注意等号要同时成立。

奇思妙想 设x，y是正数，求x+12y2+y+12x2的最小值.

解 由题意x+12y2+y+12x2≥2x+12yy+12x=2xy+14xy+1≥4xy•14xy+2=4，“＝”成立的条件，x+12y=y+12x，x2y2=14两者不矛盾，故“＝”能成立，故所求的最小值为4．

三、 借助求解不等式

【例3】 若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最小值是 .

解 令ab=t(t>0),由ab=a+b+3≥2ab+3,(当且仅当a=b=3取等号)

得t2≥2t+3,解得t≥3.

即ab≥3,故ab≥9(当且仅当a=b=3取等号也成立).所以ab的最小值是9.

点拨 此类问题求解的关键是使用基本不等式后，再转化为求解一元二次不等式，可谓出奇制胜。

奇思妙想 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.

解 由已知得30－ab＝a＋2b，

a＋2b≥22ab，30－ab≥22ab，

令u＝ab，则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32.

ab≤32，ab≤18，y≥118,

当且仅当b＝3，a＝6时等号成立.

四、 借助求导

【例4】 若x>y>0,则2x3+3xy－y2的最小值为 .

分析 一般同学想到应用基本不等式，而应用基本不等式后无和为定值，从而陷入困境。

解 x>y>0,y(x－y)≤x22,

当且仅当x=2y时取等号.

2x3+3xy－y2≥2x3+12x2，

设f(x)=2x3+12x2,x>0.

则f′(x)=32(x5－(2)5x3,x>0.

当x∈(0,2)时，f′(x)

当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0.

f(x)min=f(2)=10,

2x3+3xy－y2的最小值为10,

当且仅当x=2y=2时取到最小值.

点拨 此类问题求解的关键是使用基本不等式仅起减元作用，进而转化为求解高次函数的最值问题，妙用导数。

五、 巧引参

【例5】 已知a、b、c∈R+，a+b+c=1,求13a+1+13b+1+13c+1的最大值．

分析 已知和为定值，但目标也为和的形式，直接使用基本不等式肯定难以奏效。此时可巧引参数，创设条件使用基本不等式。

解 引入待定正参数t，

t13a+1=t2(13a+1)

≤12(t2+13a+1)，①

同理t13b+1=t2(13b+1)

≤12(t2+13b+1)，②

t13c+1=t2(13c+1)

≤12(t2+13c+1).③

①+②+③得：

t(13a+1+13b+1+13c+1)

≤12(3t2+13a+13b+13c+3)=32t2+8．

t＞0，

13a+1+13b+1+13c+1≤32t+8t．④

由于t＞0，则32t+8t≥23t2•8t=43．

当且仅当t=13a+1=13b+1=13c+1，

即t=433时，④式取等号，

将t=433代入④得：13a+1+13b+1+13c+1的最大值为43．

点拨 通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在求解最值过程中起到一个桥梁作用。

六、 妙换元

【例6】 已知x≥52，求函数f(x)=x2－4x+52x－4的最小值.

分析 本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行换元，便可创造出使用基本不等式的条件。

解 设x－2=t,则x=t+2,t≥12

故y=x2－4x+52x－4=(x－2)2+12(x－2)

=12t+1t≥1．

当且仅当t=1t，即t=1(x=3)时等号成立，

所以函数f(x)最小值为1．

点拨 通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使解题思路自然、简捷。

八、 因式分解

【例8】 已知a>0,b>0,c>0,a(a+b+c)+bc=4－23，求函数y=2a+b+c的最小值.

分析 本题看似无法使用基本不等式，但可对条件和结论进行巧妙变形，充分利用两者的联系，便可创造出使用基本不等式的条件。

解 由a(a+b+c)+bc=4－23得：

a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)

=4－23．

y=2a+b+c=(a+b)+(a+c)

≥2(a+b)(a+c)=24－23

=23－2,

当且仅当a+b=a+c即b=c时等号成立.

故所求最小值为23－2．

点拨 本题为多元函数的最值问题，通过因式分解将生疏的结构转化为基本不等式形式，解题思路令人拍案称奇。

牛刀小试

1. 设a>b>c，且1a－b+1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．

2. 已x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

3. 一批救灾物资随17列火车以v km/h的速度匀速直达400 km外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于v202 km，问这批物资全部运送到灾区最少需要多少小时？

4. 已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1+y2的最大值.

【参考答案】

1. a>b>c，a－b>0，b－c>0，a－c>0．

(a－c)1a－b+1b－c

=［(a－b)+(b－c)］•1a－b+1b－c

≥2(a－b)(b－c)•21a－b•1b－c=4，

当且仅当a－b=b－c，即a+c=2b时，等号成立．要使原不等式恒成立，只须m≤4．

故m的取值范围为－∞，4．

2. 1x+9y=1,

（x+y）1x+9y=10+9xy+yx≥16.

当且仅当y＝12，x＝4时取等号，最小值为16.

3. 最后一列火车出发时，其已等待出发的时间为16×v202v=16v400，

又由于最后一列火车行驶全程用时为400v，

t=16v400+400v≥216v400•400v=8，

当且仅当16v400=400v，即v=100时，等号成立，tmin=8．

4. x1+y2＝x2•1+y22＝2x•12+y22，下将x，12+y22分别看成两个因式，x•

12+y22≤x2+12+y2222＝x2+y22+122

＝34.

x1+y2＝2x•12+y22≤342.

（作者：李忠贵，江苏省板浦高级中学）