数学问题解决教学中的问题情境设计

摘 要： 根据数学问题的类型，在总结前人观点的基础上，本文作者对“问题”的含义作了一定的解释。在数学问题教学中，问题情境的设计在整个教学过程中占有重要地位。好的问题情境，能达到激发学生好奇心和求知欲，产生认知冲突， 引起探究的目的。

关键词： 数学问题 “问题解决”教学 问题情境 设计

1980年，美国数学教师协会在《关于行动的议程――关于80年代中学数学的建议》中首次明确指出，“问题解决应该是20世纪80年代学校数学教育的核心”，“数学课程应当围绕问题解决来组织”，“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”，“在问题解决方面的成绩如何，将是衡量数学教育成败的有效标准”。［１］之后，“问题解决”即成为数学教育领域研究的热门课题。

20世纪80年代，人们对于问题解决的研究主要集中在以下几个方面：一是对“数学问题解决”中“问题”的界定和研究；二是对问题解决过程的研究；三是将问题解决与数学教育联系起来，对怎样进行“问题解决”教学作了一定的研究。［２］－［３］本文针对“问题解决”教学，就教学过程中的问题情境的设计环节作了一定的探讨。

1.“问题”的含义

问题是问题解决的起点，有什么样的问题就有什么样的问题解决。对于问题解决中问题的理解，历史上有不同的阐述。《牛顿大词典》中，“问题”的含义是指那些并非可以立即求解或较困难的问题，是需要探索、思考和讨论的问题，需要积极思维活动的问题。著名数学教育家波利亚在《数学的发现》中指出：所谓“问题”意味着去寻找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标。依据不同的分类标准，学者们对数学问题有如下分类：

根据数学教学的要求，波利亚曾把数学问题作了如下的分类：鼻子底下就有现成的法则、带有选择性的应用、组合的选择和接近研究水平四类问题。“数学问题解决”中的“问题”则是指接近研究水平的这类问题。

根据数学问题的情境特征，我们常将数学问题分为纯数学问题和数学应用问题，而纯数学问题又分为常规问题和非常规问题两个子类。在1988年第六届国际数学教育大会上，“问题解决，模型化及应用”课题组主席M.Niss把“数学问题解决”中的“问题”界定为非常规的数学问题和数学应用问题。［４］

根据数学问题的性质，将数学问题可分为练习题、应用型问题、开放型问题和开拓―探究问题。按照这种分类，数学问题解决中的“问题”是指开放型问题、开拓―探究问题。

综合以上观点，笔者对“问题”的含义作如下的解释：

（1）“数学问题解决”中的“问题”是指非常规的数学问题和数学应用问题。它并不包括有惟一确定的方法、规则和原理可遵循，且解题步骤完全确定的常规数学问题。

（2）对问题的认识主体――学生而言，问题具有以下特征：可接受性――问题要符合学生的认知水平并能激发学习兴趣；障碍性――学生必须经过深入的研究与思考，甚至多次尝试之后才能获得解决问题的方法，以及问题的答案；探究性――问题不能用常规的方法去解决，需要进行各种探究活动。

（3）“数学问题解决”中的“问题”与习题有本质的区别。“问题”的内容是非常规的，既不能模仿教材，又没有可参考的范例；解题模式多样，答案也不惟一。它适合于学习发现和探究的技巧，以及数学事实的原始发现，主要是用来培养学生的创造性能力的。而习题通常属于常规问题，有典范解法，且模式也比较规范、固定。它适合于数学事实的学习和数学技能、技巧的训练，主要是用来巩固所学的知识和训练技能、技巧的。

2.问题情境设计

数学问题解决是从一定的数学问题情境开始，运用已知的知识寻求解决问题的方法和途径，并达到问题目标的探索过程。即：问题情境转换问题寻求解法求得结果。所以数学问题解决教学的第一步是精心设计“问题”情境。

在教学过程中，设计好的“问题”情境，能使枯燥的数学课堂变得有吸引力，从而提高教学质量和学习效率；能激发学生的求知欲和学习的心向，使其将要达到目标的愿望转化为对知识的渴求；能引起学生对问题的思考，诱发质疑猜想， 唤起强烈的问题意识。在数学能力方面，好的“问题”情境还可以拓展学生的思维，提高分析问题和解决问题的能力。另外，通过解决具有实际意义的数学问题，可以树立学生学习数学的自信心，增强学习的主动性。［５］

2.1 问题情境设计的要求

问题情境，首先是要有问题，其次才是情境。而“问题”具有可接受性、障碍性和探究性三个特征，所以“问题”情境的设计要遵循一定的要求：

第一，问题情境要紧扣教学内容，针对教材的特点和学生的实际，体现课程标准中的教学目标。

第二，问题情境应建立在学生已有知识的固着点，即学生的“最近发展区”上。

第三，问题情境要能启发学生寻找能够识别的解题模式，要有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法。

第四，问题要富有层次感，入手容易，开放性强，解决方案不惟一，给学生思维和创造的空间较大；要具有现实意义，让学生认识到研究的价值。

第五，问题情境要能引起学生的认知冲突和学习意向，启迪学生的思维，激发学生的探究意识。

2.2 问题情境设计的方法

在现实生活中，任何事情都是有一定的方法可循的。所以，在数学教学中，选择恰当的方法创设问题情境，对教师的教学和学生的学习都具有事半功倍的效果。

2.2.1 非常规数学问题情境设计

2.2.1.1 利用现实生活中的相关事实，设计问题情境。

数学来源于人们的生产与生活实践，因此数学中的概念和原理都是与社会实践紧密相连的。在教学设计中，利用现实生活中的实际问题引入数学知识，不仅可以激发学生的学习兴趣和学习动机，使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，而且可以培养学生从现实生活中提炼数学和利用数学知识解决问题的意识，更可以让学生明白所学数学知识的应用价值，引导学生用数学的眼光看世界。

2.2.1.2 从学生的“最近发展区”出发，设计问题情境。

心理学家维果茨基研究指出：“儿童的发展有两种水平，现有发展水平和最近发展区的水平。”教学就是要把最近发展区的水平转化为现有发展水平，促进学生认知结构的发展。在教学中，教师要对教学内容和学生有比较深入的了解，设计富有挑战性和探究性的问题情境时，善于由浅入深，铺设阶梯或借助直观，让学生进入最近发展区；善于打破“最近发展区”，让学生向更高层次发展。［６］

例如，在学习“平方根”时，设计这样的问题：面积为9、16、3、a的正方形，它的边长各是多少？对于前两个正方形的边长学生会轻而易举地答出来，但在求后面两个正方形的边长时，却遇到了困难。这引发学生的思考，去探究寻求解决问题的方法，从而引入新知识。

2.2.1.3 利用带有趣味性的问题，设计问题情境。

问题的表述要具有艺术性。对于同一问题，所采用的陈述方式不同，得到的效果也不尽相同。在创设情境时，教师应尽量使得表达新颖，让学生坐不住，欲解决而后快。以“趣”引“思”，能使学生处于兴奋状态，诱发学生主动学习和积极思维，给学生留下深刻的印象。

2.2.2数学应用问题情境设计

2.2.2.1 利用具有探索性的问题，设计问题情境。

对于一些问题，解决之后并不能代表结束。我们可将其作为进一步探索的跳板，让问题向深层次发展，促进学生应变能力的提高，因此安排问题时，应由浅入深，由易到难，由基础题到灵活性稍大的题目等。

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例如，学习“三阶幻方”时，即在3×3的正方形小方格中，填进1，2，3，…，9共9个数字，使得各行各列，以及对角线上的数字的和均相等。学生通过试探找到答案后，提出以下问题：答案是否惟一？如果换用另外9个数字，结果会怎样？经过进一步的探讨，学生得出这样的结论：如果是一个关于1，2，3，…，9的三阶幻方，那么aS+b也是三阶幻方，所以，由此可以产生无穷多个三阶幻方。到此任务是否完成了呢？任何一个三阶幻方是否都可以表示成aS+b的形式呢？这样又会激起学生的思考。

2.2.2.2 利用开放性的问题，设计问题情境。

开放性问题的答案不惟一，解法也具有多样化。利用开放性的问题，设计问题情境，有利于培养学生的创造性思维。而且能力水平不同的学生都能参与，使每一位学生都能体验到成功的喜悦。

例如，在学习了“一元二次方程”之后，可让学生解答这样的问题：在一个长为6m，宽为5m的矩形荒地上，开辟一个花坛，使得花坛的面积是原荒地面积的一半，应该如何设计？这个问题的答案不惟一，学生可以充分发挥想象力设计出多种图案。另外，我们变换题目的条件，可以编制出解法类似的新问题。通过解答这个问题，既有利于学生巩固所学的知识，又有利于培养学生的创造性思维。

数学问题解决并非可以立即求解或较困难的问题，而是需要探索、思考、讨论和积极思维活动的问题。所以，在问题解决教学中，问题情境的设计是至关重要的。这就要求教师深入了解学生的生活经验，结合教材的特点，设计符合学生认知规律和心理特点的问题情境。这样能引起学生的认知冲突，调动学生的学习积极性，营造出学生参与的课堂氛围，从而，有利于提高教学质量和学习效率；有利于培养学生质疑猜想的能力；有利于拓展学生的思维，培养学生的创新精神。

参考文献：

［1］叶立军.数学新课程理念与实施［M］.浙江：浙江大学出版社， 2005：241－251.

［2］顾泠远，易凌峰，聂必凯.寻找中间地带［M］.上海：上海教育出版社，2003：242－311.

［3］綦春霞.数学问题解决在中国的研究历史及其影响［J］.课程・教材・教法，2007，（12）：32－35.

［4］马斌.创设问题情境贯彻新课程理念［J］.数学通报，2007，46，（10）：17-19.

［5］陆书环，傅海伦.数学教学论［M］.北京：科学教育出版社，2004：235-244.

［6］张兴.维果茨基关于教学与发展关系的研究［J］.外国教育研究，1998，（6）：11-13.

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