用数学思想来理解《盗梦空间》

【摘要】IMDb评分：9.1／10 Cobb(莱昂纳多・迪卡普里奥饰)与同伴在一次针对日本能源大亨Saito(渡边谦饰)的盗梦行动中失败，反被Saito利用。Saito威逼利诱因遭通缉而流亡海外的Cobb帮他拆分竞争对手的公司，采取极端措施在...

《盗梦空间》Inception

导演／编剧：Christopher Nolan

主演：Leonardo DiCaprio/Joseph Cordon-Levitt／Ellen Page/Tom Hardy/渡边谦／Manon Cotillard/Cillian Murphy／Michael Caine

官方网站：www.省略

又名：奠基／潜行凶间／心灵犯案

IMDb评分：9.1／10

Cobb(莱昂纳多・迪卡普里奥饰)与同伴在一次针对日本能源大亨Saito(渡边谦饰)的盗梦行动中失败，反被Saito利用。Saito威逼利诱因遭通缉而流亡海外的Cobb帮他拆分竞争对手的公司，采取极端措施在其唯一继承人Fisher(希瑞安・墨菲饰)的深层潜意识中种下放弃家族公司、自立门户的想法。为了重返美国，Cobb求助于岳父Miles(迈克尔・凯恩饰)，吸收了年轻的梦境设计师Ariadne(艾伦・佩基饰)等人加入行动。在一层层递进的梦境中，Cobb不仅要对付Fisher潜意识的本能反抗，还必须直面已逝妻子Mal(玛丽昂・歌迪亚饰)的破坏，实际情况远比预想危险得多……

《盗梦空间》的难懂，并不是因为导演的叙事方法，电影基本是直叙，因果关系也很直白。我们可以将其分成三段。

第一段是从开始到Cobb及其同伴从高速列车上逃跑。主要讲Cobb在梦中盗取Saito想法的行动。这一段描述了两个问题：存在梦中梦结构；你可以利用梦中梦窃取一个人的想法。后面这个问题又带来一个新问题：如果存在着梦中梦，又如何知道醒来时是回到了现实中，而不是掉入另一个梦呢?

第二段是Saito请Cobb团队帮忙植梦改变Fisher的想法。其中重要的是通过Cobb及其团队向新人Ariadne展示了如何造梦、验梦。以及盗梦的原理。第三段的潜入梦的部分是故事的高潮。

在结局时，Cobb最终醒没醒，似乎变得比任务更加重要。导演是在证明什么呢?如果观众都觉得说不清是梦还是醒，实际上导演已经证明了一个非常重要的哲学观点：存在着不可知性。

三个重要的数学思想与《盗梦空间》的关系

在数学上有着三个重要的思想：

非欧几何和分形几何

公理体系

不可知论

我们可以以此来对《盗梦空间》进行一个数学角度的考察。

非欧式空间的迷宫

在第二段故事中，最令观众惊叹和称奇的部分就是Cobb向Ariadne演示迷宫的部分。在这里一共出现了3个迷宫。

Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一个无限的楼梯。Ariadne走了4段，一直感觉向上，实际上走了一个死圈，这其实便是画家埃舍尔(Escher)著名的旋转楼梯，它指出了梦中悖论(Paradox)的存在。在面试的时候，Cobb让Ariadne画迷宫以测其智商，她画的第3个迷宫困住了Cobb，这个迷宫是圆圈套来套去，也类似于一条著名的环形蛇迷宫。

Arthur的楼梯和Ariadne画的迷宫，并不复杂，但它们却并不存在于现实世界。用数学上的语言来说，真实的世界是欧式空间(Euclidean Space，欧几里得空间)，而梦中的迷宫则是建立在非欧式空间(Non-Euclidean space，非欧几里得空间)之中的。

而后Cobb教授Ariadne时，把世界折成了一个盒子状的结构。大地变成了盒子的内表面，天空位于盒子的中心，世界变得像万花筒一样颠来倒去，同样是一种非欧氏空间。

什么是非欧式空间?

如果我们为每一个空间都设置坐标系的话，欧氏空间的坐标系是直线，而非欧空间的坐标系会弯曲成一个圆圈。在一维上，欧式空间是直线，非欧空间可以是圆圈。在二维度上，欧式空间是平面，非欧式空间则可以有多种。

Cobb所展示的盒子世界，其实就是球形的非欧空间。如果我们要构造一个Ariadne所走的埃舍尔楼梯，在那个空间的高度方向一定是弯曲成了一个圆。这样楼梯的最高点和最低点具同一高度，所以才能联接上。在这个空间中，依然有向上和向下的方向，但意义已不同。向上和向下不代表高度的增减，而是指从两个不同的方向画圈。

好比从一个方向上看，向上走是顺时针，向下走是逆时针。所以当你向上走和向下走时，一直都在不断重复。生活中这样的楼梯是没有的，但时钟等许多事物的工作方式却具有这样的性质。

怎样把敌人永远困在梦中

非欧式空间中的异常，为何会让人很难觉察呢?

这些非欧空间被称为流形(manifold)，流形同欧氏空间相比是局部相似，全局不同。如果从欧氏空间中取出一部分，再从非欧氏流形中取出一部分来，这两者会非常相似。例如一维的欧氏空间是直线，非欧氏空间是圆。如果线段比较短，或是圆的半径比较大的话，这两者没有本质的区别。所以如果只走一段楼梯，或是只是生活在盒子世界中的一个小部分，没人能发现问题。

全局性质有时被说成“拓扑”性质。可以把拓扑理解成一种联接。比如两个人从直线上的一点出发，各自朝一个方向走，永远不会碰头，但如果他们来到一个圆上，这样走肯定最终会碰面的。

在电影的迷宫设计中，造梦师如果想把一个人困住，就要给他一种无限的错觉。把被骗的人想成是一只小虫子，在二维世界里，如果是欧式空间，就是一个平面，你只能设计一个很大的圆，但小虫总有一天会还是跑出去。但如果这是一个非欧式空间，如球面，小虫怎么都跑不出去，这样，造梦者就可以将敌人永远困在自己设计的梦中。

非欧式空闻的历史

最开始思考非欧式空间的是德国数学家高斯(Carl Friedrich Gauss，1777-1855)。当他发现在地面看的直线在塔楼上看不是直的，便开始追问究竟何为弯，何为直?由此，他给出了几何概念的解析定义，创立了微分几何。

而《盗梦空间》故事中迷宫的思想，则更多来源于高斯的学生黎曼(Georg Friedrich Riemann，1826～1866)。黎曼问了一系列更大胆的问题：空间如果是弯曲的会怎样?(读者可以想象一个坐标系是弯的。)如果坐标系是弯的，那长度、角度还有什么意义吗?在黎曼的时代，许多人认为这已不是数学，而是哲学。

黎曼为角度和弧度给出了一个新的定义，今天称黎曼度量，并给出了黎曼度量在不同空间中换算的规则。黎曼流形(manifold)便用来指称这种弯曲的空间。而且黎曼也思考过真实的宇宙是否是一个欧氏空间。他的观点我们不知道，因为我们只能看到宇宙的一部分。

在此后的100多年中，几乎无人正确理解黎曼的贡献。但这一思想深刻地影响了包括广义相对论在内的一系列伟大理论的

诞生。

何为真实?何为公理?

在《盗梦空间》中，Cobb一直在问：究竟什么是真实?标准是什么?

在数学上，人们考虑过类似的问题，即一个命题是否是正确的。并产生了一个很有启发的观点，即公理体系的观点。一套逻辑系统建立在几条公理之上，其他的规律可通过公理的推导得出。这便是我们所说的公理体系。

当我们说一个定理是正确的时候，实际上是不严格的说法。更准确的说法应是一个定理可由公理推导出来。只有当你接受公理的假设时，定理才是真的。

问题在于公理本身常常也只是假设，真假是不可证明的。例如，非欧式空间与欧式空间之间一个最大的区别，在于平行公理：经过一条直线之外的点，有几条直线和已知的直线平行?如果假设只有一条的话，那就是平面几何，这时三角形内角之和是180度。如果一条也没有，便是球面几何，这时三角形内角合大于180度。在不同的假设中，几何规则完全不同。

通常我们对空间的逻辑认知和思考都基于欧氏空间，这些逻辑都是在假定空间没有弯曲的情况下才是正确的。而在一个弯曲的空间中，如果还是用欧氏空间的逻辑进行思考，必定会推出不同的结果，产生悖论。

建立在“陀螺公理”之上

我们再回到电影，Cobb判断是梦是醒从来不用逻辑思考，只用陀螺验证。因为一些事可以从“在梦中”这一假设推导，也可以从“在现实中”这一假设推导。在两种假设前提下，用不同的逻辑可能推导出同样的结果。

“陀螺倒就是现实中，否则就是在梦中”是作为验梦的陀螺公理。Cobb只靠这一条分辨现实和梦境，不用逻辑推理。可以说Cobb对一切对梦和现实的分判，都是建立在陀螺公理之上的。

许多人会奇怪“陀螺公理”中。为何梦中的陀螺会转个不停。已有许多解答，非欧式空间可以给出一种可能的解答，弯曲的空间会产生几何上的逻辑悖论，同样会产生物理上的逻辑悖论。比如我们可以想象在埃舍尔设计的楼梯上，当一个人向下走时，实际上就是在跑圈。同样的道理，如果你抛出一个物体，它会向下运动，实际上它也是在跑圈。

分形几何的迷宫

Cobb设计的迷宫，核心思想就是将敌人困在一个圈中。但故事的复杂性还远超于此。Ariadne展示了一种不同于Cobb设想的迷宫结构，那就是镜子中产生无穷多的人像。

Ariadne把Cobb带到一个地方，关上门，弄出两面镜子，两面镜子之中出现了数不清的人像。因为镜子可以在镜子中成像，于是就有了镜中镜中镜中镜……随着镜子层数的加深，镜中像会越来越小。但即使是极小的一个像，经过放大，里面还是有镜中镜中镜中镜……这便是几何上被称为分形(fractal)的结构。我们可以将镜中镜看成《盗梦空间》故事结构的一种比喻。因为镜中可以有镜，所以就有镜中镜中镜中镜……同样，因为梦中会产生梦，所以有梦中梦中梦中梦……

最早的分形结构却不是来源于几何，而是来源于对递推规则的研究，具体说是微分方程的研究。分形结构是微分方程中chaos现象的一种，最早认识到chaos的人是法国数学家庞加莱(Jules Henri Poincar é，1854―1912)。

打开不可知论的魔盒

其实，我们也可以把人的思想描述成一种几何结构。迷宫般的逻辑结构是存在的，它会导致“不可知性”。埃舍尔楼梯对应着逻辑上的循环悖论，最典型的便是“鸡生蛋，蛋生鸡”的例子，它们分开来看都是正确的，但是放在一起，便出现了一个先有鸡还是先有蛋的问题。

分形结构对应着无穷的递归的逻辑。物理学上的观点“基本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成电子、质子和中子，现代物理学在进一步分解电子、质子和中子。但每得到一种基本的粒子，就要将其分解成更基本的粒子，这种逻辑就决定了世界的最基本的粒子是找不到的。

梦中梦也是这样一种分形似的逻辑，而电影的开篇和片尾，Cobb和Saito出现在同样的场景中，构成了一个循环，到这里，《盗梦空间》已经打开了不可知论的魔盒。

在哲学上“不可知论”是非常久远的。人类历史上许多科学巨匠们都有“不可知”的想法，这或许是为何一些绝顶聪明的家伙最后神经不正常的原因。例如牛顿在提出三大运动定律之后，跑去研究上帝。个中原因在于在牛顿的体系中有两个不可知的问题，一是第一推动力，二是如果万有引力存在，星星为什么没有掉下来。这是牛顿无法用他的三定律解答的。

爱因斯坦完全超越了牛顿诠释的经典力学世界，但正如他自己所说，“我知道的很多，我不知道的更多。”而一个爱因斯坦的体系中“不可知”的问题，便是为什么宇宙没有整个被黑洞吸进去。

用“不可知论”的观点来看故事结局

在《盗梦空间》的故事中，我们可以整理出这样几个命题：

当进入一个梦的时候，究竟是谁的梦无法验证。

人在梦中也可以说谎。比如第一层梦中的火车，开始观众以为是Fisher的，后来通过Anadne的对话我们知道是Cobb造的。

如果不用陀螺进行验证，从一层梦中醒过来，可能是回到现实，也可能是在一个更大的梦里。

那么让我们从这几个命题出发，来推导一下《盗梦空间》的各种结局。

故事的情节线条

按多数观众的理解，故事是这样的。

A：Saito被Cobb盗梦，梦有二层。

B：Cobb被通缉，不能回家看孩子

c：Saito请Cobb植梦Fisher，如果Cobb成功，Saito可以帮Cobb回家。(只有在A、嗔实的情况下，C2能成立。)

D：Cobb请帮手帮忙盗梦。

E：众人植梦，在飞机上遇到Fisher。

F：梦一共有四层，我们记为F1，F2，F3，F4。

G：Cobb最后救出Saito，但无法确证任务有否成功。

H：Cobb回到家中。同样无法在电影中确证。

所以故事情节线条是：(A、B)CDEF1F2F3F4GH。

无数种可能的结局解释

在分析情节时，一个基本技巧是如果有一步不确定，情节就会出现真假两种情况。遇到这种情况。我们可以有两种做法：一是用一个新逻辑换掉以前的逻辑，这样我们得到另一个故事。二是将基本假设，同样会得到一个新故事。

许多观众质疑为什么F3中Fisher死了掉入F4的梦中，而Saito掉入了limbo，一种理解是植梦行动没有真实发生，只是Cobb的一个梦。

如果我们的一个逻辑是将除了B、H之外的部分，都看成是梦，便可以理解这个故事：Cobb想回家了，在飞回家的路上做了一个大梦，A、B、c、D、E、F、G都只是梦中情节。最后他醒了，见到了自己的孩子。

现在让我们来考虑另外的一种结局。G是没有确证，那么存在着另一种可能。如

果G中任务没成功，Cobb拯救Saito失败，则G实际上是Cobb的一个梦。这样的话H不成立，Cobb的回家依然是梦。但还有可能，如G中任务成功了。Saito成功获救，但是Cobb自己未能逃出梦境，还是没能成功回家。

一部分观众怀疑Fisher有没有真上当，在梦中，Fisher似乎相信父亲。但我们没看见Fihser醒过来，也不知道他是否分解了公司。而在F2中Fisher就有所警觉，知道自己是在梦中，想要在梦中自杀醒过来。于是在F3就有另外一种可能：Fisher没有上当，他是为了逃脱假装出来的。

转回到F3中Fisher掉入F4，Saico掉入了limbo，还有一种解释是F4的梦是盗取Cobb想法的一个圈套，原因是Ariadne想知口道Mal究竟是怎么死的。于是叉一个故事的解释出现了。

实际上，因为分形的故事逻辑结构，可能存在着更多的，甚至数不清的结局。除结局之外“不可知”

在片末，我们知道，是Cobb害死了Mal，方法则是他在Mal的头脑中植入了想法。这时，在片中反复强调想法对于一个人的重要性之后，我们又发现了第三个分形的逻辑结构――想法可以诱导想法。

如果一个人的想法是可以植入的，并且可以诱导一个人产生新的想法，那么我们的想法是自己的，是被植入的，还是被其他植入的想法所诱导的呢?

Cobb是最理解这一点的人，而且他也知道“想法”的杀伤力。因为他想知道是否能把想法植入别人的脑子中，而让他们锴认为是自己的想法而浑然不觉，所以他拿妻子做了一个实验。而他植入的想法就是“让一个人把现实当成梦，而把梦当成现实”。

令Cobb纠结的不只是对妻子的感情，还有对想法本身的恐惧。因为这个想法的力量如此之大，别人也可以用其杀死Cobb，而他对此却无能为力，何况他自己也不能断定自己的想法就是真实的，而非被植入的。

这个问题实际上正是一个在逻辑上找不到答案，“不可知”的问题。

映射着我们的现实

导演成功地用构造法证明了一个可悲的不可知论：“虽然想法对一个人重要，换掉一个人的想法就跟杀了一个人似的，但一个人的想法究竟是他自己的，还是被别人植入的，他可能永远不知道。”

在我们身边，无数的媒体、广告、电影、文学都是在编写故事，改变受众的想法，在某种意义上都是造一个梦，然后在梦中改变人的想法。片名“Inception”直译为“开端”，也可理解为导演启发观众，质疑所有想法的缘由。

这样的思考是极有意义的，最伟大的创造都来源于对公理的质疑和挑战。《盗梦空间》在电影史上是一部具有突破性质的作品，它重新定义了电影表达能力的疆界，展现了复杂逻辑的魅力。英国数学家、哲学家罗素曾这样赞美数学：“数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美，一种像雕像那样冷峻而严厉的美，一种不为我们软弱天性所动的美，一种不具备绘画或是音乐那种富丽堂皇的装饰的美。然而又是极其纯净的美，是唯有最伟大的艺术才具有的严格的完美。”

《盗梦空间》向我们展示的，正是这样的美。

与《盗梦空间》类似的高智商电影

除了高智商犯罪的警匪片、高智商吓人的恐怖片，还有这样一类“高智商世界观电影”，它们不站在“与人斗智”的通常角度，而是用严谨的逻辑作为支柱，展现人类认知的复杂与深奥，从某种程度上，它们也可以视为极佳的哲学片，但它们各自是如此独特，以至于统归于一类都有些勉强。可以肯定的是，和吃着爆米花看的片子不同，它们玄机深藏，都会让你的大脑急速运转、发热甚至宕机!

2008年

《纽约喻法》Synecdoche，New York

一个戏剧家在生命末期要打造一部惊天动地的戏剧来实现自己，但手笔太大了，要在剧院中真实地重建一个纽约城。如果人全无死亡或衰老，你会不会对过去还感到遗憾呢?这是一部颠覆庸常世界观的杰作。

2007年

《这个男人来自地球》The Man from Earth

有一个活了1.4万年的人向你侃侃而谈人类的全部历史，而且你发现人类最重要的历史人物和转折都与他有关，你向他提问质疑，却毫无能力将他驳倒，你会认为他是在欺骗你吗?这是一部完全依赖知识与智慧而成立的绝妙电影。

2005年

《银河系漫游指南》The Hitchhiker's Guide to the Galaxy

地球是一个宇宙大型计算机实验?毛巾是宇宙里最有用的东西并蕴含生命的精义?所有需要知道的一切都写在一本名叫《银河系漫游指南》的书里?这不仅仅是一部恶搞的科幻片，别错过它对人世间饶有趣味的讽刺和颠覆。

1999，2003年

《黑客帝国三部曲》(包括Ⅱ重装上阵、Ⅲ矩阵革命)The Miatrix

自“母体”的概念被这部著名的三部曲以极强的视觉冲击力推向世间，论述Matrix的文字便汗牛充栋。人如果全都生活在梦境中怎么办?这三部片子堪称娱乐与哲思的完美结合。

1998年

《死亡密码》π

宇宙的模式可以用数字来表述，那我们是不是应该崇拜神秘的数字?数字、生命与世界是怎样奇妙的关系?这部阿罗诺夫斯基的处女作罕为人知，黑白胶片却将影片的气氛渲染得极好。

1997年

《立方体(心慌方)》Cube

如果你与几个陌生人被困在一个完全超出大家认知的迷宫之中。该怎么办?是找出线索合力逃生，还是互相攻伐以获得自身利益最大化?在此之后还有两部续集立方体电影。

1982年

《银翼杀手》Blade Runner

当机器人与人类一模一样，会是什么样子?图灵测试该怎样进行以判断出人造人?甚至该怎样去判断人的记忆与爱?这部调子阴沉的经典科幻片让喜欢的人喜欢到死，不喜欢的人根本看不下去。

1968年

《2001太空漫游》2001：A Space Odyssey

我们的进步和科技来自于一块黑色的石头，我们能穿越宇宙找到终极的答案吗?黑石隐喻的后面究竟是什么?电影与克拉克原著小说都被誉为传世之作。