谈“五让”教学模式在高三数学第一轮复习课中的运用

由笔者所在学校研究并积极实践的“五让”教学模式推广后获得了广泛好评.为了让更多学生体验“五让”教学模式下高三数学一轮复习课堂的魅力，体验研究数学、赢得收获的喜悦．

下面这个案例是2013年末笔者在江苏省金湖中学高三(7)班上的一节习题课的教学案例.

一、书本让学生读

[WTBX]

设置源于教材的情境问题，给予学生理性思考和拓展思维的广阔空间，正是教师提高课堂效率的捷径. 故笔者引导学生认真研读教材、领会教材编写意图，从而对例题进行后续的变式引申和归纳升华．

［苏教版必修2第100页习题2.2(1)第7题］已知点P(1,1)在圆(x-a)2+(y-a)2=4的内部，求实数a的取值范围．

［苏教版必修2第105页习题2.2(2)第7题］已知圆C的方程为x2＋y2＝r２，求证：经过圆C上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．

在学生快速翻书找到题目并独立思考回答后，教师提问:你能得出更一般的性质吗？

圆的性质1:(学生A回答)圆O：x2＋y2＝r２，点M(x0，y0)在圆上 x20＋y20＝r2；

点M(x0，y0)在圆外 x20＋y20>r2；点M(x0，y0) 在圆内

x20＋y20

圆的性质2:(学生B回答) 点M(x0，y0)在圆上直线x0x＋y0y＝r2与圆O相切；点M(x0，y0)在圆外直线x0x＋y0y＝r2与圆O相交；点M(x0，y0)在圆内直线x0x＋y0y＝r2与圆O相离．

二、见解让学生讲

记得伟大的数学家波利亚说过:“类比是伟大的引路人.”圆是圆锥曲线中最简单的图形，它有着许多优美性质．若对圆所具有的性质进行类比推理可能会得到圆锥曲线和谐统一的美妙性质．圆是研究圆锥曲线的源泉，认真研究圆的性质可以使得圆锥曲线的研究源远流长．

师：刚才两位同学得到了圆的两个性质，类比上述性质你能得到椭圆的哪些性质呢？

学生C设计并得到如下问题.

类比猜想1:若椭圆

x2 a2＋

y2 b2＝1 (a>b>0),点M(x0，y0)在椭圆内部，则

x20 a2＋

y20 b2

类比猜想2:过椭圆x2 a2＋

y2 b2＝1上一点M(x0，y0)的切线方程为

x0x a2+y0y b2

＝１．

学生们通过讨论，得出证明过程如下：

证明猜想1:(学生D回答)猜想证略．

证明猜想2:(学生E回答)由对称性知，证明

x2 a2＋y2 b2＝１在x轴上方即可．

y=b aa2-x2,y′=-

b a•xa2-x2,

k=y′|x=x0=-b a•x

a2 b2y20

=-b2 a2•x0 y0

得y-y0=-b2x0 a2y0(x-x0),

b2x0x+a2y0y=b2x20+a2y20=a2b2.即

x0x a2

+y0y b2=1

．其余两个猜想证略．

三、重难点让学生议

讨论不仅能够激发学生的所思所想，而且能够更加有效地激发学生的学习兴趣，鼓励学生在课堂大胆质疑，合作交流，更有利于学生掌握重点，突破难点，理清疑点．

笔者提问：你还知道哪些圆的性质，是否可以将你得到的命题类比到椭圆吗？

经过学生们的独立思考、合作探究、展示交流，学生F发表观点，提出了下面的问题：

圆的性质3:若

AB是圆O:x2+y2=r2的直径，点P是圆上任意一点，则∠APB=90°，

若直线PA,PB的斜率都存在，则kPA•kPB=-1.

类比猜想3:若

AB是椭圆

x2 a2＋

y2 b2＝１(a>b>0)的过原点的弦，点

P是椭圆上任意一点，若直线

PA,PB的斜率都存在，那么kPA

•kPB是否为定值呢？

学生G上黑板独立板演：

证明猜想3:设

P0(x0,y0)，A(x1,y1)，

B(-x1,-y1),所以

kPA•kPB=y0-y1 x0-x1•

y0+y1 x0+x1=

y20-y21

x20-x21．

又因为点

P0(x0,y0),A(x1,y1)在椭圆上，所以有

b2x21+a2y21=a2b2,b2x20+a2y20=a2b2，

两式相减得b2(x20-x21)+a2(y20-y21),所以

y20-y21

x20-x21=-

b2 a2，所以

kPA•kPB=-b2 a2．

四、规律让学生找

学生猜想三个性质并证明后，笔者分别从数学知识、数学思想、数学文化等方面来引导学生发表自己的意见，然后将各小组讨论的意见在黑板上汇总并加以纠正和补充，形成本节课网络型知识结构图．找到圆与椭圆之间的类比规律后,笔者提出了下面的问题.

圆的性质4:若

AB是圆O:x2+y2=r2的不是直径的弦，点P是弦AB的中点，则有

OPAB，若直线OP,AB的斜率都存在，则kOP•kAB=-1．

请你类比写出自己的猜想，并根据前面的学习内容证明：

类比猜想4:(学生H回答)若AB是椭圆

x2 a2＋

y2 b2＝１(a>b>0)上的不过原点的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP，AB的斜率都存在，那么kOP•kAB是否为定值呢？

笔者用实物展台展示学生I书写过程：

证明猜想4:设

P0(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，则

b2x21+a2y21=a2b2 ①,b2x22+a2y22

=a2b2 ②，将①式减②式得

b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,x1+y1=2x0,y1+y2=2y0,

所以2x0b2(x1-x2)+2y0a2(y1-y2)=0.所以

y1-y2 x1-x2•y0 x0=

-b2 a2，即

kOP•kAB=-

b2 a2．

五、总结让学生写

所谓学之道在于“悟”，教之道在于“度”，有效教学的精髓正是培养学生的数学悟性．需要强调思维发展的一轮复习课堂，更要求教师放手更多的时间、空间让学生去反复探究，独立思考，自主调整，自我评价．所以笔者进一步引导学生系统地总结这节课得到的结论.

总之，

作为新一代的数学教师应该努力践行“五让”教学模式，让学生在数学课堂上享受每一分钟的数学思考，让学生的数学思维能力得到真正意义上的提升，这样才能彰显高效课堂的真实本色.借本文与读者共同努力，不断发展.