数学解题的发现美与策略美

摘 要：本文从一道不等式例题出发，得出“以退求进 ”策略是发现数学类比题的重要工具，并在此基础上探讨了数学解题的发现美与策略美.

关键词：以退求进；策略美；发现美；柯西不等式

数学美就是数学的优美感，庞加菜说：“数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足感，正因为这种适应性，这个解答可能成为我们的一种工具，所以这种美学上的满足感是和思维、结构紧密相关的.” 发现美与策略美都是数学美的基本表现形式.

“以退求进”策略是发现数学类比题的重要工具

例1 a，b，c，d，e均为正数，

求证：++++≥a+b+c+d+e.

分析：若读者不会证明它，可以“以退求进” 地构造其简化类比题，以求得发现新的解题方法. 华罗庚教授说过：“要善于退，足够地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个诀窍.”

例2 a，b，c均为正数，求证：++≥a+b+c.

求证式的左边三个分式都是轮换对称式， 左边每一个分式， 还有什么特点？对照左边， 右边需要学生有丰富的想象力，爱因斯坦说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉，严格地说，想象力是科学研究中的实在因素.” 左边每一个分式，只含两个字母， 而与第三个字母无关. 为了用“局部激活整体” 的策略， 可将不等式的右边分解为三个同型项：a+b+c=++， 观察不等式的两边， 只需证明一个不等式≥?2（a2+b2）≥（a+b）2. 这可追溯到均值不等式的最简单情形，a2+b2≥2ab?（a-b）2≥0， 这一证明“非同小可”， 同理可得其他两个不等式也成立. 三个不等式相加，最后证明了：++≥a+b+c.

例1的证明：发挥丰富的想象力，在例2中，可将不等式的右边分解为三个同型项：a+b+c=++， 类比到例1中的五个量的和分解成5个同型项：

a+b+c+d+e=++++.

在例2中，3个量的和分解出两个量之和的一半， 有3个同型项， 现在是5个量之和，则分解出4个量之和的四分之一， 而得5个同型项.类比概念的精确性能使数学推理准确无误， 观察不等式的两边， 只需证明一个不等式

≥?4（a2+b2+c2+d2）≥（a+b+c+d）2，（a-b）2+（b-c）2+（c-d）2+（d-a）2≥0，也可以用另一种方法证明，构造两组数：a，b，c，d；1，1，1，1，代入柯西不等式之中，

（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2）≥（1×a+1×b+1×c+1×d）2?4（a2+b2+c2+d2）≥（a+b+c+d）2，

即得4个量的和之平方不大于这4个量的平方和之4倍.

同理， 这样5个不等式之和即得所要证的不等式：

++++≥a+b+c+d+e.

请高中学生构造6元或7元的类比题， 并证明它. 波利亚说：“找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易，这需要经验、鉴别力和好运气. 但是，当我们成功地解决了一个好问题之后，我们应当去寻找更多的好问题. 好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长. 找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有几个.”

什么是发现美与策略美

波利亚说：“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强. 但是这里质量仍然比数量更为重要，清晰的类比较模糊的相似更有价值.”

从例2到例1是清晰的类比还是模糊的类比呢？肯定是清晰的类比. 它来自清晰的类比概念，a+b+c与a+b+c+d+e是类比概念，与也是类比概念；与更是类比概念；（a-b）2≥0与（a-b）2+（b-c）2+（c-d）2+（d-a）2≥0仍然是类比概念；还有类比不等式，最后二元均值不等式（即二元柯西不等式）与四元柯西不等式也是类比不等式等.

“类比就是一种相似.” 它是从一种特殊到另一种特殊的推理.

先猜后证是一种数学思想，“猜”不是瞎猜、胡猜、乱猜，而是要在探索中去猜，要以直觉为先导，以联想为手段，以逻辑为根据，以观察为向导，以思维为核心地去猜.

从例1猜想例2（或构造例2）需要一种想象力，更是一种创造，当然也是发现，发现美是构造简单类比题并证明它而感到有成就感，它能使人产生愉悦.

所谓“解题策略是高层次的解题方法，是对解题途径的概括性的认识.” 具体的解题策略有顺推与倒推、正面与反面、特殊化与普遍化、局部与整体、类比与联想和化归等策略. 如“以退求进”也是一种正面与反面的解题策略，它包括从一般退到特殊、从抽象退到具体、从复杂退到简单、从陌生退到熟悉、从整体退到局部、从未知退到已知. 反之，从激活的观点说是顺推策略，它包括特殊激活一般、已知激活未知、反面激活正面、熟悉激活陌生、具体激活抽象、简单激活复杂、局部激活整体.

以上论述用了几种策略呢？用到“以退求进”策略与“局部激活整体”的策略， 当然还有顺推与倒推、类比与联想和化归等策略.

所谓策略美就是在解题过程中， 成功地使用策略而能够让认知者感到的一种愉悦.

不同形式的柯西不等式是发现创新的源泉

例2与例1分别是3元与5元的不等式类比题， 在高中学生中要构造4元的不等式类比题， 应该是不困难的.

例3 a，b，c，d均为正数， 求证：

+++≥a+b+c+d.

可采用设计提问的方式来启发学生的数学思维：①如何构造4元类比的不等式题呢？

②例2题设中a，b，c均为正数， 在例1中a，b，c，d，e均为正数， 那么例3的题设是什么？a，b，c，d均为正数.

③a+b+c+d如何分解成同型项？ 分解成几个同型项？a+b+c+d=+++，4个同型项.

④4个同型项的分母是什么？

⑤指明至少4个类比概念是什么？

⑥用局部激活整体的策略， 证明什么不等式？如何证明这个不等式？

≥?3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2?2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），最后有（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0.

⑦在初、高中数学教学中归纳出一个常用不等式公式是什么？

a2+b2+c2-（ab+bc+ca）≥0.

⑧如何构造两组数？如何代入柯西不等式之中？如何证明3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2？

构造两组数a，b，c；1，1，1，代入柯西不等式之中， 即得3个量的和之平方不大于这3个量的平方和之3倍.

综上所述，类比不但有发现真理、认识真理的认识论意义，而且还有证明真理的方法论意义.客观事物之间的相似性和差异性是类比推理的逻辑基础，相似性的存在提供了类比的可能性，而差异性的存在又限制着类比的范围. 如果强调了事物之间的相似性而忽视其差异性，那么就会把类比视为万能的“法宝”而到处乱用；反之，如果片面地强调事物之间的差异性而忽视其相似性，那么就会陷入“不可知论”的泥坑.

要知其然， 更要知其所以然，数学教师要坚持“授人以渔”，就要把获取知识、发现规律、探索规律的方法教给学生.学习一道数学题，还不如学习一种数学思想方法，而学习一种数学思想方法，还不如掌握一种重要的数学思想，同时掌握数学思维策略，这是学好数学的一个诀窍.