数学“变式”练习的意义与方法

摘 要： 数学“变式”练习是为了让学生更加准确地掌握数学解题方法而采取的变换方式。在数学教学中进行数学“变式”练习主要有三个方面的意义：帮助学生多角度地理解数学方法、充当化归的台阶和用于构建经验系统。数学“变式”练习的途径包括数学方法的载体即题目的变式、数学方法使用范围的变式以及数学方法本身的变式。

关键词： 变式 意义 途径

所谓变式教学是指在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。而本文所讲的变式指的是数学解题方法的变式，是为了让学生更加准确地掌握数学解题方法而采取的变换方式。

一、在数学教学中进行“变式”练习的意义

（一）“变式”练习帮助学生多角度地理解数学方法

在课堂教学中，学生通过同一个问题做着不同的事情(比如一题多变或一题多解)，多角度地理解数学方法。将直观问题抽象化，具体问题一般化，尽量排除背景干扰，凸显数学方法的本质属性和明晰外延等。这样，通过变式教学有利于学生真正理解数学方法的本质属性。比如在求完y= 的定义域后，给出这样的引申题：已知函数f(x)的定义域为［0，+∞），求函数f(x -1)的定义域。从具体到一般，更加突出了求函数定义域的本质。如果学生能解决这些问题，说明他们是真正理解了所学的知识，而且这个新知识已经纳入到他们已有的知识结构中去了。这样，通过变式可以促进学生的有意义学习，从而摆脱一味的被动灌输。

（二）“变式”练习充当化归的台阶

数学解题的一个基本思路是将未知的问题化归为已知的问题，将复杂的问题化归为简单的问题。但由于未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间往往没有明显联系，所以需要设置一些变式在两者之间进行适当铺垫，作为化归的台阶。

另外探究问题需要有合适的潜在距离，对同一问题来说，潜在距离的大小能影响探究活动的难易程度。当两者的潜在距离较小时，适宜于学生的理解和掌握；当两者的潜在距离较大时，虽然有利于激发学生的探索能力，但由于难度较大探究失败的可能性也较大。对一道已知（简单）题进行“变式”练习实际上就是向各个角度伸出了探索的路，从而也就缩短了未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间的潜在距离。

（三）“变式”练习用于构建经验系统

现代认知心理学认为知识分为陈述性知识和程序性知识，如果要将陈述性知识转化为解决问题的能力，则必须保证它们在充分变式条件下得到适当的练习，以便于日后在新环境中应用。从这个角度讲变式是在数学活动的教学中，增加活动途径的多样性和活动过程的层次性。每个数学活动过程通常都涉及一个或一系列的变式，所有这些变式就形成了一个有层次的经验系统，成为认知结构的一个重要组成部分。这样的经验系统在学生将来探究新的问题时将提供策略性的指导，也就是说变式练习实际上就是将来问题解决的仿真模拟练习。

所以我们在平时的数学课堂教学中进行变式练习，就应该变换数学方法的非本质特征，包括数学方法的载体即题目的变式、数学方法使用范围的变式以及数学方法本身的变式。只有这样才能让学生更加理解哪些是数学方法的本质特征，哪些是数学方法的非本质特征，准确地理解数学方法。组织合理的变式教学，能促进学生有意义地主动学习，帮助学生构建良好的知识结构，进而发展他们灵活的问题解决能力。

二、在数学教学中进行“变式”练习的方法

（一）变题目形式

数学思想和方法必须以题目为载体，但题目的形式并不一定是数学思想和方法本身的要求。所以，我们必须变换题目形式，避免学生形成题目形式上的思维定势。通常的变式方法有增加条件形成复合题，减少条件形成开放题，条件与结论互换形成逆向求解题等等。

例如，求一已知函数的单调区间，这是一种数学基本问题。但题目：已知函数y=log (2-ax)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围。由于逆向出题，虽然求解方法与正向题的方法一致，但思维难度无形中增大了，对学生而言就起到加强理解解法的效果。

(二)变应用范围

每一种数学方法都有应用范围，这是不言而喻的。但有些“应用范围”是我们在讲题时由于选题不够妥当，过于限制于一个范围之内，也就是加入了数学方法的非本质特征，使得学生对数学方法的使用形成了误解。所以，我们要通过变应用范围，来打破这种思维障碍。

例如，求轨迹题一般是解析几何中的问题。但题目条件的呈现可以是多方面的，并不应仅仅是局限于解析几何之中，比如我们可以出这样的题目来打破思维定势：已知正方体ABCD―A B C D 中，点P为平面BCC B 上一点，且它到直线C D 的距离与它到平面ABCD的距离相等，则点P的轨迹为?摇?摇?摇?摇（此题可考虑出成选择题）。像这样，立几与解几，抽象与形象，数与形等等都可以相互沟通。

（三）变方法自身

数学概念与方法自身有呈现形式与使用范围，我们也应注意对数学概念与方法的呈现形式力求丰富，否则容易让学生形成误区，干扰对数学概念与方法的准确理解。

比如用描述法表示集合时，集合中的代表元素我们通常用x表示数，用(x，y)来表示点。但这仅仅是习惯而已，并不是规定。所以，2007年江苏高考试卷的第10题就针对这个问题出了一道选择题：在平面直角坐标系，已知平面区域A={（x，y)|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x-y)|x，y∈A}的面积为?摇 ?摇?摇?摇。这就提醒我们在平时的教学中要注意概念的呈现不能僵化，要有适当的“柔软度”。

另外，我们还应对数学方法本身进行深入探究。比如说数学方法的使用有其限制条件，而这一点学生通常不太注意。例如数学中常用的“换元法”对元的范围就有考虑，不能随意换元。例如求函数y=sinx- 的单调增区间与求函数y=sin -x的单调增区间的解法就不尽相同。更为巧妙的是2006年重庆高考题解答题第21题的条件：已知定义域为R的函数满足f［f(x)-x +x］=f(x)-x +x。这一条件若用换元法令f(x)-x +x=t，则有f(t)=t，就会与另一条件f(2)=3矛盾。而实际上换元法应注意元的范围，这一题就针对这一点进行了巧妙的编拟。

总之，对于数学方法的变式主要目的是对一个成形的数学方法进行多角度的理解，但实际上也为数学方法的建构提供了一个有层次推进的过程。由于未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间往往没有明显联系，所以这些变式客观上在两者之间进行了适当的铺垫，可以作为化归的台阶。这一些都将帮助学生构建经验系统，实现真正有意义的学习。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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