数学解题中的九大错因分析与对策

数学离不开解题，中学数学学习的核心问题是数学解题。著名数学家波利亚在《数学的发现》中说“中学数学的首要任务就是加强解题训练”。我们在数学教育教学实践中发现,学生往往因审题不细、思路不清、识图不准、概念运用错误性质、定理使用不当,或考虑不周密、叙述不严谨、自身知识所限、不良的解题心理等原因而使解题发生错误。本文试对这些错误的表象进行大致归类分析,发现错误的实质因素,并找到相应的对策,从根本上消除隐患,从本质上纠正错误,有效地防止错误再次发生,并由此进一步提高解题的正确率。

一、审题不细，粗枝大叶快解题

例1 已知集合A={k|方程x2k-y2k－3=1表示的曲线是双曲线}，B={x|y=x2－1}，则A∩B=（ ）。

（A）(1,3) [WB]（B）(3,+∞)

（C）(-∞,-1]∪(3,+∞)[DW]（D）(-∞,-1)∪(1,+∞]

错解1：令[JB（{]k＞0，

k-3＞0，[JB)]A={k|k>3}。

令x2-1≥0，得 x≥1或x≤-1。

B=﹛x|x≥1或x≤-1}，A∩B=(3,+∞)。选B。

错解2：令k(k-3)＞0k>3或k

即A={k|k>3或k

又y=x2－1≥0，B={y|y≥0}，

A∩B=(3,+∞)[JY]选B。

解：令k(k-3)>0，即A=（-∞，0）∪（3，+∞）。

令X2-1≥0，即B=（-∞，-1]∪[1,+∞)，

A∩B=(-∞,-1]∪(3,+∞)。选C。

错因分析：部分学生数学意识不太强，而在解题中急于求成，审题时出现失误，没有注意题目中关键的叙述，误解题意，或对题设信息挖掘不够，理解不透，从而得出错解。

对策：在解答集合问题时，要注意描述法中的代表元素，而双曲线方程中分母的字母取值范围要摆脱标准方程形式上的束缚，回归概念，弄清字母取值的本质。

二、考虑不周，以偏概全自得意

例2 已知向量OA[TX]=(3,-4),OB[TX]=(6,-3),OC[TX]=(5-m,3-m),若ABC为直角三角形，求实数m的取值范围。

错解3（-1-m）+(-m)=0,m=-34。

解：若ABC为真角三角形，则①∠A为直角，

则AB[TX]AC[TX]，

3（-2-m）+(1-m)=0，得m=74。

②∠B为直角，BC[TX]=（-1，-m,-m）,则AB[TX]BC[TX]，

3（-1-m）+(-m)=0，得m=-34。

③∠C为直角，BC[TX]AC[TX]，

（2-m）(-1-m)+(1-m)(-m)=0，解之得m=1±52。

综上所述，m=74或m=-34或m=1±52。

错因分析：直角三角形中若没有指明某角为直角则要讨论所有可能性，不能以偏概全。

对策：在解向量有关题目时一定要注意向量的方向性，在讨论字母的变化时，一定要全面考虑，讨论完全。

三、识图不准，张冠李戴算面积

例3 已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图、和俯视图如图1所示（单位：cm），求其侧视图的面积。

[TP2-j16.TIF；X*2，BP#]

[TS(][HT6H]图1[TS)]

错解1:因三棱锥V—ABC为正三棱锥，所以VC=VA=4，BC=AC=2 3VA=42－(2 3)2=2（cm），

SABC=12×2 3×2=2 3(cm2)。

错解2:在侧视图中VA=4，BC=AC=2 3（cm），SVBC=12×2 3×4=4 3(cm2)，

解：根据三视图间的关系可得BC=2 3，

在侧视图中VA=42－(23×32×23)2=2 3（cm）。

SΔVBC=12×23×23=6(cm2)

错因分析：错解1中错把侧视图中的VC等同于主视图中的VA(不理解主视与侧视的关系)；

错解2中错把侧视图中的VA等同于主视图中的VA，张冠李戴而致错。

对策：在解三视图问题时，要正确理解直观图与三视图中各元素的变化，正确区分主视图与侧视图俯视图中各元素的相同与不同，并且要学会将三视图复原为直观图，才能正确解题。

四、最值易求，一叶障目需注意

例4 已知sinx+siny=13，求siny-cos2x的最大值。

错解：由sinx+siny=13，得siny=13-sinx，

siny-cos2x=13-sinx-cos2x=sin2x-sinx-23=sinx－122－1112。

-1

解：sinx+siny=13，siny=13-sinx。

又-1＜siny≤1,-1≤13-sinx≤1，

得－23≤sinx≤1。

因此siny-cos2x=13-sinx-（1-sin2x）=sinx－122－1112，当sinx=－23时，siny-cos2x取得最大值49。

错因分析：用-1≤sinx≤1时，忽视了sinx与siny的制约关系。

对策：求三角函数的最值题目要时刻注意正弦函数自身的范围[-1,1],同时要注意题目本身的隐含条件，不能一叶障目不见泰山。

五、思维定式，移花接木要介避

例5 已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。

错解：由题意f(x)≥a，即x2－2ax+2≥a恒成立(分离参数a），则a(1+2x)≤x2+2，即a≤x2+21+2x在［－1，+∞)恒成立。显然g(x)=x2+21+2x在－1，+∞的最小值为0，a≤0。

解：由二次函数f(x)=x－a2+2－a的图象知，其对称轴为x=a。

(1)当a∈(－∞,－1)时，结合图象知，f(x)在［－1，+∞)单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3，

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，

即2a+3≥a，得a≥-1，

-3≤a≤-1。

(2)当a∈［－1,+∞)时，fxmin=f(a)=2-a2,由2-a2≥a，得－2≤a≤1,又a≥-1，

-1≤a≤1。

综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1。

错因分析：分离参数法在恒成立问题中不失为一支奇葩，在错解中将(1+2x)除到右端没有注意到它的范围而致错。

对策：在解恒成立问题当中，若使用分离参数法失效时，可以回归原意，使a≤f(x)min(a≥f(x)max)恒成立。

六、知难而退，望而生畏凑答案

例6 给出下列一组不等式：

23+53>22×5+2×52，24+54>23×5+2×53,25+55>23×52+22×53……将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使上述不等式成为推广的不等式的特例，则推广的不等式可以是________。

错解：2n+5n>2n－1×5+2×5n。

解：am+n+bm+n>ambn+anbm (a>0,b>0,a≠b,m>0,n>0)。

错因分析：初看此题，数式繁多，造成一种心理压力，推广为一般结论不知是将指数推广，还是底数推广不知所措，无从下手，胡乱写凑答案。

对策：从推广要旨上入手，观察变化的量，（指数）底数可否推广？联想课本中的例习题可知正解。

七、思路不清，逻辑混乱不相宜

例9 已知a+b+c=1a+1b+1c=1，

求证：a,b,c中至少有一个为1。

错解：不妨设a=1,则b+c=1令b=1,c=-1

由a,b,c的轮换知，a,b,c中至少有一个为1。

解：因为1a+1b+1c=1，所以ab+bc+ca=abc。

又a+b+c=1，

所以（a-1）（b-1）（c-1）=abc-(ab+bc+ca)+a+b+c-1=abc-abc+(a+b+c)-1=1-1=0，

a-1,b-1,c-1三式中至少有一个为1。

错误分析：很多同学只会在已知条件上下工夫，左冲右突，就是不知道证明结论的转化“翻译”，把陌生问题转化为熟知问题，且证明路不清逻辑混乱。

对策：在解题时，不仅要先观察已知的具体特征，联想有关知识，而且还要化陌生为熟知，化繁杂为简单，适当的转化，往往使问题很快得到解决，这种“翻译”，是提高转化能力的一种手段。

结束语：怎样培养学生的良好解题习惯是我们教师需要认真思考的重要课题，同样是培养学生素质形成的一项重要任务，要让学生掌握数学，善于解题，当然不在于解题数量的多少，还在于解题前的分析，探索和解题后的深思、推广，这也许是数学家和常人思维的不同之处。

为了尽量避免学生在解题中过多地发生错误,应注意：（1）回归课本,强化“三基”。数学概念，定理、公式等是解题的出发点,务必认真研究,注意前提条件,适应范围,相应结论。同时在学习中还要对基础知识进行归纳、总结、深化.对知识和方法的内涵,外延进行挖掘、深化、拓展.认清知识的来龙去脉,有效地避免在解题过程中不该发生的错误.(2)错解剖析，反思总结.错解蕴含着丰富的资源,是学生学习的宝贵资料，需要我们用智慧去挖掘利用，错误是正确的先导，是成功的开始，要引导学生适时总结、升华，做到在错误中成长，在错误中成熟。（3）关注心理，调结学法.正确的解题要有扎实的基本功及良好的心理素质.解题失误的一重要原因是不良的解题心理，对能解出的题目总怀疑自己解答的正确性，对陌生题目总感到畏惧，不相信自己的能力。遇计计算量较大，感到心慌意乱，这些问题都会影响解题成败。因此，我们要在学习中，调整好解题心态，养成良好的解题习惯，相信自己勇于成功。

以上是我们在教学中的实践总结，并非问题大全，方法全书，只是管中窥豹，点滴小结，意在教育学生鞭策自己，如能给读者带来些许收益，那是我们诚恐之望。

（作者单位：河南省鄢陵县三高）