平面法向量的求法和在立体几何中的应用

全日制普通高级中学教科书(新人教A版选修2—1)中仅给出了平面法向量的定义，法向量的应用在教材中没有做进一步拓展.法向量是值得我们挖掘的一个问题，在求点到平面的距离，直线与平面所成角以及二面角时，如果能以平面法向量为载体，往往可以收到化难为易的效果，而且还可以使整个解题过程转化为程序化的向量运算，简捷方便，能减轻学生空间想象之困难.本文就平面法向量在立体几何中的初步应用谈一点体会。

一、法向量的定义

如果直线，那么直线的方向向量 叫做平面的法向量.平面的

法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

二、法向量的求法

在建立空间直角坐标系的前提下，设法向量为，然后利用这个向量与目标平面内的两条直线上的向量（方向向量）垂直，每一个垂直可以获得一个关于x,y,z的方程，这样你就获得了两个方程组成的方程组，这个方程组有无数组解（事实上，平面的法向量是不确定的，就其方向来说，也有两大类，再加上模不确定），那么这些，你可以由上面的方程组里，目测一下，哪个量的绝对值较小，便取这个量为1（当然2等等也可以，这样就可以确定出所有的坐标了）.如：得到2x+3y-z=0,x-2y=0这样的方程组后，可以发现x是y的两倍，便设y＝1，这样x＝2，则z＝9，于是便可取法向量n＝（2，1，9），事实上，所有与这个向量共线的向量均为法向量，如（1，1/2,9/2）等。

三、法向量的应用

用空间向量解决立体几何的“三步曲” ：

(1)建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

利用法向量来解决上述三类立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等.