计算行列式的方法

【摘要】AbstractThe various kinds of methods for determinant calculation were investigated in this paper, and some examples were given to illustrate the applications. Key words...

摘要本文归纳了行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用。

中图分类号：O241文献标识码：A

Methods of Determinant Calculation

ZHENG Yaqin

(South China Business College, Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou, Guangdong 510545)

AbstractThe various kinds of methods for determinant calculation were investigated in this paper, and some examples were given to illustrate the applications.

Key wordsdeterminant; vandermonde determinant; method of the reduction of order; mathematical induction

1 利用行列式定义直接计算，适用于行列式中零比较多的情形

例1.计算行列式的值.

解：根据定义，D等于n!项的代数和，然而在这个行列式里，除了a1a2…an这一项外，其余各项均为0，与其对应的排列为23…n，故D = (-1)n - 1a1…an

2 利用范德蒙行列式计算

利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化成范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。

例2.计算。

解：Dn中各行元素都是幂的形式且次数递增，但不是从0到n - 4，而是由1到n，若提取各行的公因子，则次数便从0递增到n - 1。于是有

上式右端行列式的转置是范德蒙行列式，而转置与其本身相等。故

评注：此题所给行列式不是范德蒙行列式，但是可以利用行列式性质将其转化为范德蒙行列式，从而利用结论写出结果。

3 化为三角形行列式计算

例3.计算。

解：将第1,2,3,…,n + 1列都加到第一列，得

将第一列的-a1倍加到第2列，将第一列的-a2倍加到第3列，……，将第一列的-an倍加到最后一列，得

评注：本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化成三角形行列式。化零时一般尽量选含有1的行（列）及含0较多的行（列）；若没有1，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，利用行列式性质，已达到化为三角形行列式的目的。

4 利用降阶法计算

例4.计算20阶行列式

分析：若考虑化三角形行列式来做，需进行多次加减法和乘法运算，很繁琐。此行列式相邻两行（列）对应元素都相差1，可利用行列式性质，很快算出结果。

解：

5 递推公式法

若行列式具有较低阶的相同结构，则可利用行列式性质，化为低阶的具有相同结构的行列式的线性关系式，即递推法。

例5.

解：

即有Dn - 5Dn-1 = 4(Dn-1 - 5Dn- 2),或者Dn - 4Dn-1 = 5(Dn-1 - 4Dn- 2)

于是有Dn - 5Dn-1 = 42(Dn-2 - 5Dn-3) = … = 4n - 2(D2 - 5D1) = 4n - 2(61 - 45) = 4n

同理有Dn - 4Dn-1 = 52(Dn-2 - 4Dn-3) = … = 5n - 2(D2 - 4D1) = 5n - 2(61 - 36) = 5n

即

评注：按照第一列展开，可由两个低阶同型的行列式来表示，即得出递推关系式，从而求出Dn的值。

6 加边法

在原行列式的基础上加上一行一列再进行计算，称加边法或升阶法，前提是加边后必须保值，要根据需要和原行列式特点选取所加的行和列，使得新的高一阶的行列式较易计算。适用于除主对角线元素外，各行（列）对应的元素分别相同的行列式。

例6.求, b1b2…bn≠0的值。

解：

7 拆项法

由行列式的性质，若行列式的某行（列）的元素都是两数之和，则该行列式可拆成两行列式之和，利用这一性质，有时较容易求出行列式的值。

例7.

解：

8 数学归纳法

先找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出证明。此方法一般用来证明行列式等式。

例8.证明：

证：当n = 1时，D1 = 1 + a1 = a1(1 + )，结论成立。

假设n= k时结论成立，即Dk = a1a2…ak(1 + )，对n = k + 1，将Dk + 1按最后一列拆开，得

所以时结论成立，故原命题得证。

综上所述，共给出了计算行列式的8种方法，有些是常见的基本的方法，还有一些是特殊但很实用的方法。在课外书中还有其他的一些方法，如：极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等，但这些方法用处不多，所以不加以介绍。具体到解每一道题目，就要仔细分析，灵活选用合适的方法，着眼点不同，选用的方法就会不同，希望以上归纳的几种方法能帮助学生提高自身的运算能力和分析问题的能力。当然，也有些题目需要多种解法并用，或一题多解，这就看大家的灵活应用程度，能否找出一个最简便的方法解出其值。

参考文献

[1]吴赣昌.线性代数（经管类第三版）.中国人民大学出版社,2009.

[2]高等数学编写组.高等数学习题解答.中国人民大学出版社,2010.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文