数学问题解决系统案例分析及启示

【摘要】近年来，学生的“数学问题解决”能力越来越受到重视，我国已将学生的数学问题解决能力作为数学的教学目标之一。在信息技术迅猛发展的今天，如何借助信息技术和人工智能更好地帮助学生提高问题解决能力成为我国研究者亟待解决的一个问题。文章介绍了在美国取得较好反响的两个问题解决系统――贾斯珀系列和IMMEX系统，并分析了这两套系统各自的特点，最后为建设更加完善的数学问题解决系统提出了自己的建议。

【关键词】信息技术；问题解决；人工智能

【中图分类号】G420 【文献标识码】A【论文编号】1009―8097（2009）06―0040―04

引言

目前，培养学生的数学问题解决能力已经受到世界各国教育界的重视。美国课程标准（1989年NCTM发表的《中小学数学课程与评估标准》）把“能够解决数学问题”列为学校数学要达到的五个目标之一；在其分项标准中，“数学用于问题解决”居于首位。日本数学教育界也十分重视“问题解决”，从1994年开始全面实行新数学教学大纲，把“课题教学”列入大纲内容，而所谓“课题教学”就是以“问题解决”为特征的数学课[1]。我国在2000年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》首次将解决问题与数学思考、知识技能、情感与态度作为并列的培养目标[2]。

问题解决能力的培养已经受到世界范围的重视，如何提高学生的问题解决能力成为了研究者关注的焦点。刘元宗（2004）认为，若要问题解决教学取得良好成效，数学问题的设计是基础。数学问题是一种情境，这种情境应根植于现实，是有趣的、能引起学生探索欲望的情境[3]。Stone（2006）认为问题的展现形式是非常重要的环节，不同的呈现方式会对学生的情感、态度以及问题解决能力均产生不同的影响[4]。同时，在进行问题解决的教学过程中，适时地指导、及时地反馈会引发学生高水平的思维、促使学生进行深层次的意义建构。对学生问题解决过程中采用了怎样的策略及问题解决能力的评价更是教师和研究者关注的问题。那么，在培养学生的问题解决能力过程中，如何利用信息技术更好地提高学生的问题解决能力，目前在我国相应的研究还较少。本文介绍了在美国有广泛影响力的两个以培养学生问题解决能力为目的的系统：贾斯珀系列和IMMEX系统，并从问题情境的展示形式、系统的指导和系统评价3个方面具体分析了这两个系统是怎样利用信息技术支持问题解决能力的培养和评价，

最后为建设更加完善的数学问题解决系统提出了自己的建议。

一 贾斯珀系列和IMMEX系统概述

贾斯珀系列和IMMEX都是利用信息技术培养学生问题解决能力的典范，在美国都引起了较大的反响。贾斯珀系列是由美国温特贝尔特大学认知与技术小组（CTGV）在20世纪80年代结合自己多年的研究成果，充分利用了计算机和网络等技术，以培养学生的问题解决能力为目的的教学系统[5]。贾斯珀系列以建构主义学习理论为指导，以抛锚式教学为主要教学设计原则，共创设了12个生动、逼真的历险故事作为问题的情境。这些历险故事都是以发现和解决数学问题为核心，同时融入了科学、社会学、历史等其他的学科，为学生呈现了广阔的问题探索空间。在富有情趣和挑战性的情境中，解决问题需要的数据被镶嵌到故事情境中，学生至少要经过14步才能解决问题，而这些问题往往是一个人很难独立地完成的，因此又为学生间进行合作提供了机会。贾斯珀系列最初的实验研究遍及美国9个州的16所学校，实验研究的结果充分表明了贾斯珀系列的巨大生命力。

IMMEX（Interactive Multi-Media Exercises的缩写）系统是美国加利福尼亚大学洛杉矶分校的医学院教授罗纳德．史蒂文森博士（Dr.Ronald Stenvens）及其团队，在美国自然科学基金会（NSF）和其他促进教育创新和改革基金的支持下，经过多年潜心研究开发出来的用于培养、评价学生问题解决能力的在线系统（www.immex.ucla.edu）。目前，已有超过500，000名学生使用IMMEX系统，用于提高他们的问题解决能力[6]。目前在该系统中，已经有超过100（包括了各个学科）个用于培养学生问题解决能力的问题集。每个问题集都提供了具有挑战性的故事情节，并抛出了需要学生解决的问题。学生需要在大量的信息中寻找对解决问题有帮助的信息，并制定解题路径。在IMMEX系统中每个问题集的解决路径是多条的，而不同路径反应了学生不同的解题策略。

贾斯珀系列和IMMEX系统在帮助培养学生的数学问题解决能力方面各有特色，各有侧重。下面具体分析了贾斯珀系列和IMMEX系统是如何使用技术在问题的呈现方式、系统的指导、系统的评价三个方面促进提高学生的问题解决能力的。

二 案例的具体分析

1 问题情境的呈现方式

（1） 贾斯珀系列的问题呈现方式

贾斯珀系列为每个问题赋予了丰富的、富有挑战性的问题情境。问题情境以影片的形式呈现给学生，每个影片约17分钟，且都是以提出各种各样的挑战性问题而结束[7]。解决问题所需要的数据也同样镶嵌在故事情境中，学生在解决问题的时候可以按照自己的需要控制影片播放的速度、顺序，同时在观看影片的时候进行相应数据的记录。

贾斯珀系列历险故事以影片的形式将问题情境展示给学生。在影片中有真实的生活情境、真实的人物、真实的问题。这种情境的呈现方式具有强烈的现场感、真实感和视觉听觉的冲击力，能够非常好地激发学生的兴趣、探索欲望，使学生在好奇心的驱动下解决问题。

（2）IMMEX系统的问题呈现方式

IMMEX系统问题情境的呈现方式设计得非常巧妙，与现实生活中的问题解决过程中信息的获取途径基本是同构的。在现实生活中，问题解决过程通常是这样的：首先是遇到问题，然后分析解决问题所需的信息。在真实情境中会存在大量的信息，而这些信息的获得是要付出代价的（时间或费用），因此在付出代价之前需要认真考虑是否有必要获得某些信息，之后再采取行动。这个过程是信息的筛选过程。也许在获得某些信息后才知道这些信息与解决问题是不相关的，这样的话就需要重新选择。

在IMMEX系统中，每个问题都发生在一个真实的情境中，情境中包含的大量信息都以网页的形式呈现给学生。在首页中呈现给学生的是整个的情境背景，同时抛出需要解决的问题。这类似于在现实情境中遇到的问题。情境中包含的信息根据在具体情境中的相互关系被组织在不同的主题下（通过网页链接彼此关联），在网页中可以看到这些主题信息（在网页的上部，其下一级主题在网页的左边）。这些主题信息类似于现实中的各个方面的信息。点击需要的主题链接后，IMMEX系统并没有直接将网页信息呈现出来，而是先弹出一个确认对话框，提示学生如果认为该信息确实具有价值的话请点击“确定”，但同时会扣除一定的分数，如果点击“取消”则看不到相应网页中的信息，也不扣除分数。这与现实生活中的信息获得都是要付出代价是一致的。如果学生选择“确定”，则表示学生认为该信息确实与问题解决相关，是值得付出代价的，否则表示学生认为该信息与问题解决不相关。

2 系统的指导

由于问题解决的情境通常都较复杂，包含了大量的信息。在与情境相关的信息中，有些信息是问题解决必需的，而有些信息只是情境信息，与问题解决没有关系。如果学生不善于发现问题、提出问题时，常常会迷失在扑面而来的大量信息中而找不到解决的路径。此时系统适当的指导是非常有意义的。否则，学生对完成任务会失去兴趣，产生挫折感并丧失信心，这样对培养学生的能力是非常不利的。

（1） 贾斯珀系列的指导

在贾斯珀系列中，学生与系统的交互除了系统能够向学生展示信息外，学生还可以在问题解决过程中得到系统的指导。贾斯珀系列的帮助主要体现在“专家示范”。学生可以在问题解决过程中查看专家的做法，以便更好地理解在这样的情境下应采取什么样的行动，以促进决策；或者当学生尝试自己的方法时，示范还可以给出指导和帮助。

（2） IMMEX系统的指导

IMMEX系统提供的帮助是在每个问题集的主题项中都包括了一个“图书馆”。在“图书馆”中系统地为学生提供了解决问题所必需掌握的学科知识，但是不包括任何提示信息。如果学生在解决问题时忘记了某些具体的学科知识，则可以通过“图书馆”进行查询。例如在解决问题时需要用到“速度=距离 时间”而学生忘记了这个公式，那么他可以在“图书馆”中得到帮助。从图书馆中获取信息是不扣除分数的。在学生完成问题解决时，如果学生没有得出正确答案，系统还给学生一些提示信息，启发学生怎样顺利完成问题解决。

3 系统的评价

问题解决能力的评价不能只依据最后的问题解决结果来进行判定。同样的结果，不同的学生采用的策略可能存在较大的差异。只有掌握学生问题解决过程中的思维变化，才能有针对性地帮助学生提高问题解决能力。因此对学生在解决问题过程中采用的策略是进行问题解决能力评价的关键，也是广大教师普遍关注的问题。在问题解决能力评价方面，贾斯珀系列和IMMEX系统采用了不同的评价方式。

（1）贾斯珀系列的评价方式

贾斯珀系列十分重视学生问题解决过程中的形成性评价。在贾斯珀系列中，系统与学生的交互除了给学生呈现信息外，还包括对学生输入的解决方案的模拟，以作为对学生的形成性评价。例如在贾斯珀系列的“成功蓝图”故事情境中，要求学生设计秋千。在这个情境中学生需要考虑秋千架的摆长和秋千的高度的关系。有些学生将秋千架的摆长与高度设计成相等。当学生向系统输入他们的设计方案时，系统会依据学生的输入进行建模，为学生展示出他们的设计结果，当学生得到了他们设计的结果后会立即意识到这种方案是行不通的。系统为学生提供的模拟模型如图1所示[9]。

这种形成性评价对提高学生思维是非常有帮助的，它使得学生有机会及时发现自己的错误，并在反思发生错误的原因后纠正错误，再进行下一步的学习。反馈信息的及时获得有利于学生解决问题能力水平的提高。

（2） IMMEX系统的评价方式

IMMEX系统的强大功能之一在于对问题解决能力的评价方面[8]。IMMEX独特的信息呈现方式一方面模拟了现实问题解决过程中信息的获得形式，另一方面为捕获问题解决过程中策略的选择提供了可能。在IMMEX系统中，每个问题集都有多条解题路径，不同网页的浏览及其顺序代表了不同策略的选择。后台的服务器会捕获学生对网页的点击情况并利用人工神经网络对学生的策略进行聚类，并将结果进行了可视化，如图2所示[10]。在目前的系统中一共将学生的策略聚为36类，教师可通过查看学生所属的类型详细地了解学生在解决问题时所采用的策略。

三 案例的启示

通过以上分析可知，贾斯珀系列和IMMEX系统各有自己独到之处，它们彼此之间从培养学生的问题解决能力方面又相互补充，为建设更好地问题解决系统提供了有意义的借鉴。

1 在问题情境的呈现方式上，贾斯珀系列采用的是影片的呈现形式。虽然为学生提供了逼真的问题情境、生动的画面，但毕竟拍摄这样的影片要付出较大的人力、物力、财力，花费较多的时间，而且系统的修改也非常困难。因此笔者不赞成这种情境信息呈现方式。IMMEX系统巧妙地利用网页间的链接关系模拟了现实情境中信息间的关系，在网页中依据情境的需要加入了生动有趣的动画或图片，也能够吸引学生的兴趣，为学生创造了一个较真实的问题情境。此外，每一个网页呈现的信息量与将所有信息同时呈现给学生的文字形式比较起来，这种呈现方式降低了学生的认知负荷，有助于学生问题解决能力的提高。因此IMMEX系统的这种信息呈现方式是很值得借鉴的。

2 在系统提供的指导方面，IMMEX系统提供的帮助相对较单薄，只简单地再现了相关的教科书中的知识和对问题的简单提示。IMMEX系统强调的是对学生问题解决能力的评价，希望对学生的策略进行区分，因此在过程中并没有进行干预。但是在学生经过多次努力都失败后，IMMEX系统也没有给予帮助，这样学生会丧失信心甚至放弃，对学生的情感会造成消极影响，不利于学生问题解决能力的提高。贾斯珀系列的专家示范功能是一种有针对性的帮助和指导，能够使学生在不同情境下获得不同的帮助。这种帮助具有针对性和及时性的特点，因此对促进学生问题解决能力的提高是很有益的，贾斯珀系列的指导功能为我们提供了很好的经验。

3 在问题解决能力的评价方面，贾斯珀系列重视形成性评价，对学生的策略给予了及时的评价，而IMMEX系统的评价是在学生完成问题解决之后，是对学生问题解决过程中策略的捕获及学生策略的分类。笔者认为如果能将两个系统的评价功能融为一体是非常理想的。

四 总结

本文分析了贾斯珀系列和IMMEX系统是如何利用信息技术在问题情境的呈现方式、系统的指导和系统评价三个方面促进学生数学问题解决能力的，为我国建设更好的数学问题解决系统提供了有益的借鉴。但同时也应该看到，这两个系统都没能为学生提供个人指导等方面的欠缺。如何利用信息技术建设更完善问题解决系统还有待进一步的研究。

参考文献

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[4] Stone, J. R.,Alfeld, C.,Pearson,D.,Lewis,M.V.,& Jensen,S.Building academic skills in context: Testing the value of enhanced math learning in CTE[R].Minneapolis: National Research Center for Career and Technical Education,University of Minnesota,2006:77-78.

[5] 王文静. 贾斯珀系列对我国小学数学教学改革的启示[J]. 课程.教材.教法,2001,11:67-72.

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[7] 美国温特贝尔特大学认知与技术小组.美国课程与教学案例透视――贾斯珀系列[M].华东师范大学出版社,2002:1.

[8] Charles T Cox Jr,Joni Jordan, Melanie M Cooper, Ron Stevens. Assessing Student Understanding with technology[J].The Science Teacher,2006,73(4):56-61.

[9] 美国温特贝尔特大学认知与技术小组.美国课程与教学案例透视――贾斯珀系列[M].华东师范大学出版社,2002: 12.

[10] R Stevens,A Soller,M Cooper,M Sprang.Modeling the Development of Problem Solving Skills in Chemistry with a Web-Based Tutor[A].Proceedings of the 7th International Conference on Intelligent Tutoring Systems (ITS 2004)[C].Berlin Heidelberg,Germany: Lecture Notes in Computer Science,2004,3220:580-591.

Analysing the System for the Problem Solving of Mathematics

MA Yu-huiZHOU YingHUANG Rong-huai

(R&D Center for Knowledge Engineer, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Abstract: In recent years, the abilities of the mathematical problem solving are taken focus. The ability of the mathematical problem solving has already been instructional object in China. With the rapid developing of the technology, the problem, that how to use the technology to help improving the ability of mathematical problem solving is expected to be solved. This paper describes two mathematical problem solving system which is popular in the United States-The Jasper Project and IMMEX, and analyses the characters of them. Finally provide some suggestions of the system for mathematical problem solving.

Keywords: Information Technology; Problem Solving; Artificial Intelligence