函数图象与性质

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由于函数性质是高考命题的主线索，函数图象是函数形的体现，所以在近几年各地的高考数学试题中都有与函数图象相关的试题，有的是“显性”考查函数与图象问题，即直接考查相关函数的图象；有的是“隐性”考查函数的图象与性质，即在题干中虽然没有明确提到函数的图象，但在解决问题的过程中又必然要用到相关函数的图象. 从近几年的试题来看，一般以中等难度、题型新颖的综合试题出现.

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（1）在复习和应试中，要努力提高利用函数的图象解决问题的意识.

（2）熟悉基本函数的图象，掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换是迅速准确地作出函数图象的基础.

（3）注意图象的几何特征与函数性质的数量特征之间的关系（如函数的定义域、值域、零点、单调性、奇偶性、周期性等性质在对应图象中的体现）.

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■ 设函数集合P={f（x）=log■（x+a）+ba=-■，0，■，1；b=-1， 0，1}，平面上的点集Q={（x，y）x=-■，0，■，1；y=-1，0，1}，则在同一直角坐标系中，P中的函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

破解思路 由于Q是由12个确定的点组成的集合，而集合P是由12个确定的函数组成的集合，所以可对这12个函数逐个进行验证，确定满足条件的函数的个数，在操作时以分类讨论的思想为指导，可简化验算的过程.

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图1

经典答案 如图1，集合Q共有12个元素（点），集合P中的元素均可通过把函数y=log■x的图象进行平移而得到. 其中只通过左右平移就能得到的函数有：①y=log■（x+1）；②y=log■x+■；③y=log■x；④y=log■x-■.满足条件的函数可通过对函数图象①、②、③、④再作上下平移就可得到，其中①、②、③依次可分别得到两个满足条件的函数，而对④作上下平移后的函数至多经过Q中的一个点.故满足条件的函数的个数为6个.

评注 这是一道有关函数图象的计数问题，而分类讨论思想是解决较复杂的计数问题最常用的手段，因此在解决本题时，在明确集合P中的任意一个元素（函数）的图象均与函数y=log■x的图象全等的基础上，还需注意分类讨论思想的运用.

■ 若设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（2+x），当x∈[-2，0]时， f（x）=■■-1，记g（x）=f（x）-loga（x+2）（其中a>0，a≠1），试讨论函数g（x）在区间（-2，6）上零点的个数.

破解思路 注意到g（x）的零点个数即为函数y=f（x）与函数y=loga（x+2）的图象公共点的个数，不难发现函数y=f（x）唯一确定，因此可先作出其图象，再利用a的值的大小与函数y=loga（x+2）图象之间的关系讨论它们公共点的个数.

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图2

经典答案 由f（2-x）=f（2+x）可知f（4+x）=f（-x），又因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），由此可得f（4+x）=f（x）. 当x∈[-2，0]时， f（x）=■■-1，作出函数y=f（x）的图象（如图2），其中A（2，1），B（6，1）. 当a=4时，y=loga（x+2）的图象过点A（2，1），当a=8时，y=loga（x+2）的图象过点B（6，1）.

由图象可知：①当08时，g（x）在区间（-2，6）上有且仅有4个零点.

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1. 已知y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈[-1，1]时f（x）=x2，y=f（x）与y=log■x的图象的交点的个数为_______个.

2. 定义在R上的偶函数f（x）满足：f（2-x）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，有下列一些关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（5）=0；③f（x）在[1，2]上是减函数；④f（x）在[-2，-1]上是减函数. 其中正确的判断是__________（把你认为正确判断的番号都填上）.