函数的概念及其表示

本部分内容由映射及函数的概念、函数的表示组成，函数的定义域、值域、解析式是构成函数的三大要素. 纵观近几年的高考试题，本节内容以客观题为主，主要考查对概念的理解能力、逻辑思维能力，突出考查函数的三要素、函数的定义域与函数的表示方法、分段函数概念的理解与应用、抽象函数的性质讨论.

重点：掌握映射的概念、函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法――图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.

难点：函数的概念，求函数的解析式.

1. 理解映射的概念，应注意以下几点

（1）集合A，B及对应法则“f ”是确定的，是一个整体系统.

（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.

（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.

（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

2. 理解函数的概念，应注意以下几点

（1）函数是从非空数集A到非空数集B的映射关系.

（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.

3. 求函数定义域的基本思路

如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：

（1）分母不能为0.

（2）对数的真数必须为正.

（3）偶次根式中被开方数应为非负数.

（4）零指数幂中，底数不等于0.

（5）负分数指数幂中，底数应大于0.

（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.

（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.

如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定义域就是求x∈[a，b]时g（x）的值域.

注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.

4. 求函数解析式的基本策略

函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f ”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.

（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当做整体，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.

（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，然后利用消元法求出f（x）的表达式.

（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入相关值求出系数.

（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.

思索 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围.

破解 根据对数函数真数大于0及二次根号下数大于或等于0得1-x>0，x≥0？圯0≤x