开放题问题解决的模型

【摘 要】开放题是极富教育价值的一种数学问题的题型，它的出现不仅是社会发展的产物，也是数学文化发展的产物。指导学生建构相应的开放题问题解决的模型，能够开启数学学习、研究的新天地，能够使数学学习达到最优化的境地。“模型解题法”是我国最优秀的教学经验的结晶之一，它抓住了数学学习的本质规律，让学生在“抓题型、套模型、出结果”等学习研究中，实现学习效益的最大化。用活开放题问题的模型，不仅能促进知识的积淀、经验的积累，更能促进数学思维的发展，培养学生的创新求异能力。

【关键词】开放题;解决问题的模型;数学思维;数学素养

【基金项目】本文系全国教育科学规划“十二五”教育部重点课题“数学开放题学习对小学生思维发展影响的评测研究”（项目编号：DHA140327）阶段性研究成果。

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）01-0050-03

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”从中不难看出，在知识、经验等应用过程中模型建构与模型运用将成为学生解决问题的制胜法宝，也是发展学生数学素养的有效策略之一。开放题问题的研究与探索是发展学生数学思维、综合素养的有效路径。同时，如能引导学生建构对应的解决问题的模型，不仅能提高学习数学的兴趣和解决问题的效率，更能发展学生的数学应用意识，拓展学生的视野，从而让数学学习、解决问题变成一种的快乐体验之旅。

一、把握准条件类开放问题

数学开放题是相对传统的封闭题（条件完备、结论确定）而言的，一个数学问题，如果它的条件不完全确定、答案选择不唯一，或者解决问题的方法与策略也具有多样性，那么，它就是一个开放性的数学问题。这类习题的核心是发展学生的开放性思维，引导学生学会求异，学会创造，从而实现发展学生数学思维、提升数学素养、丰厚数学能力的基本夙愿。作为小学数学教师，在指导学生研究开放性问题的过程中，要关注学生的经验积累，帮助学生在问题解决的过程中掌握基本的数学模型，使问题解决的方法便捷、高效。其中，指导学生建构条件类开放问题的解决模型就是一种明智之举。

1. 明晰条件不足的开放题

数学开放题的编制方法是千变万化的，其中条件不足就是较为典型的一类。因此，教师需要帮助学生领悟把握这类习题的特点，使思考更具靶向性，从而加速学习的推进。

如，把钟面上的数分成两部分，使它们的差为0。这就是一道典型的条件不足的开放题，在教学指导中，一方面要求学生知晓钟面数字的特点，另一方面还得明晰习题的根本要求，把钟面上的12个数分成两部分，保证两部分的和相等，这样才能达成差为0 的基本要求。明确解答的思路：1+2+3+4+…+12=78，应该分成两组数的和分别等于39。因此，学生应掌握其中条件不充足的基本模型，从1～12这十二个数中取出其中的若干个数，使它们的和是39。

2. 理解条件弱化的开放题

弱化陈题的条件，使其结论多样化，也是编制开放题的基本模型之一。指导学生把握该类题目的特征，也会达成训练数学思维、发展数学能力的基本目的。

如，利用上述问题（钟面数字问题）的范式，弱化一些条件，帮助学生建构对应的解题模型，形成可靠的解题经验。“在一个蓝色星球上，那里每天只有18个小时。你能把钟面上的数也分成两份，使它们的差为0吗？”问题条件的变化，目的不是解答，而是要引导学生学会分析问题、比较问题，并能够进行知识、经验的链接，促进数学视角的拓展，从而延展学习经验，丰厚知识储备，使学生的数学思维有所发展。

3. 掌握条件变化的开放题

开放题不是无根之水，也不是海市蜃楼，而是与实际生活紧密联系的具体问题。教师要引导学生学会联系，学会积极的联想，从而使数学学习成为体系。

如，仍然是上述的钟面数字的问题，进行变换条件，使之延展开来。12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 =21，添上合适的符号使等式成立。这个问题既可以看成钟面问题的模仿题，也可以看作是钟面数字问题的延伸，其目的不是一味地让学生学会解答，而是建模，形成经验，从而发展数学思维。

总之，通过既有问题（陈题）的条件改造，使之成为开放题，从而丰富学生感知，促进学习经验、解题经验的整合与发展，真正促进数学思维的发展。

二、理解准结论类开放问题

结论类开放题就是指在一定的条件下，可以是既满足条件，且所得结果的意义相同的问题，也可以是提供一定的条件，满足条件的答案有多个的题型。指导学生理解准这类开放题的解题模型，就是帮助学生进一步理解这类习题的分析方法、解答方法，促使学生积淀对应的解决问题的经验，形成敏捷的解决问题的思维。

1. 理解透不同问题同一结果的开放题

如，一艘货船和一艘客船同时从相距876千米的A、B两港口相对开出。客船顺水航行，每小时行驶38千米;货船则逆水航行，每小时行驶35千米。

①经过多少小时后两艘船在途中相遇？

②客船开出几小时后两艘船相遇？

③货船行驶多少小时才能遇到客船？

题目中看似三个不同的问题，但不难发现这一组问题的基本结构相同，解答过程相同，结论也相同。这类习题的训练目的就是指导学生学会辨析，学会把握问题的本质：“相遇时间=总路程÷速度和”。进而帮助学生进一步理解“速度和”的概念，领悟这类问题的基本架构，形成对应的解题模式，丰富学生的解题经验，并在训练中提升学生的思维感悟力。

2. 掌握好同一问题不同结果的开放题

结果多样化的开放题是最值得教师们推崇的一类习题。这类习题不仅能开阔学生的视野，更能激活学生的多维感知力，引导学生创新，促进学生思维能力的发展。

如，小明和小华到学校都是直的公路，一天，他们同时从家中出发到学校。小明每分钟走60米，小华每分钟走70米。经过20分钟两人同时到达学校，他们两家相距多少米？粗看一下，学生有熟悉感，解答过类似的问题。但解答中会出现答案唯一的现象，因此，引导学生多角度思考就成为训练的重点，促使建构对应的解题模型就成为难点。指导学生联系已经解答过的类似习题，引导学生辨别其中的差异，学生就会把握准该题的要点，从而能较为科学地把握住这类习题的基本结构：

①两家和学校在一直线上，并且在学校的两边。60×20+70×20=2600（米）。

②两家和学校在一直线上，且在学校同一方向的一边。70×20-60×20=200（米）。

③两家和学校不在一直线上。那么两家的距离就一定小于2600米，大于200米。

由此可以看出，开放题的结论可能是一样，也可能是多元化的。这就需要教师在解题训练中不能只盯住答案，而要着力于学生解题经验的积累，帮助学生建构解题模型，有效地促进学习思维的提升。

三、吃透策略类开放问题

解决开放题也需要掌握一定的技巧与策略。因此，吃透一些常规性的策略类开放题的解决方法，就成为小学数学教学的基本任务之一。同时，这一过程不仅能扩展学习的储备，更能促进学习建模，使学习效率大幅度提升。

1. 知晓常规策略的开放题

指导学生学会根据问题的条件去进行分析、推理、判断等数学活动，就一定能感悟到或掌握好解决问题的常规途径、手段，丰厚解决问题的经验，使数学学习充满情趣，更闪烁着智慧的光芒。

如，在第一个话题中遇到的“钟面数字问题”，如果任凭学生自主思考，自主揣摩，尽管学生获得答案的途径呈现出多元化的格局，但对学生的有序思考的训练、思维的严密性等层面的训练将会出现较为尴尬的局面。因此，指导学生掌握必要解决问题的模型，把握准对应的解题策略，无疑能让数学学习步入到“百尺竿头更进一步”的理想境地。

题中要求“差为0”，这就说明要把12个数分成两部分，每一部分的和都是39。为防止遗漏和重复，就得帮助建构“取数时遵循由大到小”的数学模型，使思考过程更加严密。首先，取其中最大的三个数，12+11+10=33，发现是小于39，所以至少要去4个数。这样就获得最基本的四组数：（12，11，10，6） （12，11，9，7） （12，10，9，8）。然后，指导学生学会由4个数推广到5个数、6个数等，这样就会获得（12，11，10，5，1） （12，11，10，4，2） （12，11，9，6，1）……最终，通过学生的集思广益，我们会得到124个解答。

帮助学生建立这样的解题模型，不仅能优化学习，更能保证学生有序思维能力得到长足的发展，促进学生数学素养的全面发展。

2. 了解非常规策略的开放题

非常规策略的开放题就是指那些超越教材的常规解题思路或基本经验的习题，重点是引导学生学会使用非常规思路、方法等去研究问题，在解决问题的过程中学会求异，学会创新。

如，有36名学生去公园划船。船价显示：每人票价8元，如果满40人可以享受团体票价―八折优惠。算一算，用最合算的方法去购票需要付多少钱？这类习题就超越了常规的经验，在购票过程中不是买36张，而是卖40张，尽管多卖了，但实际却少用了32元。

综合上述两个案例，它清楚地显示了指导学生掌握基本策略和非常规策略等解决问题的模型，能够加速思考的深入，有效地改进练习的状态，使数学学习徜徉在幸福与快乐之中。

四、挖掘准综合类开放问题

综合开放题中的条件、问题、策略等基本都是多元化的，这就要求学生运用已有的知识储备、经验、技能等去假设和寻找，并在此基础上去探索解决问题的路径，实现问题的突破。

如，在一块100平方米的花圃中种上一半的郁金香，你会怎么设计图案呢？这是一道开放度极大的习题，首先，要求学生想像出自己心目中的花圃;其次，还要构思一半面积的构成;第三，还要进行简单的验证。我们曾经在五年级学生中做过简单的测试，发现学生给出了近30种图案。由此可见，指导学生挖掘准综合类的开放题，能够开启数学学习新的一扇窗户。

开放题是极富教育价值的一种数学问题的题型，它的出现不只是训练的需要，更是学生的发展的需要，也是时代呼唤的结果。因此，在小学数学教学中，教师应适度地引入开放题教学，通过开放题多样性、探索性、层次性等特点为学生运用知识、技能提供训练场，为学生发挥各自的想象，达到数学思想、方法等得以顺利交流的学习目的。并指导学生掌握必要的开放题解题模型，以较大限度地激发学生学习数学的兴趣，训练学生的开放思维、集中思维、逆向思维等，从而有效地培养学生的创新能力。

总之，通过开放题解题模型的建构，能够促使学生掌握更科学的学习方法，促使学生具备举一反三的能力，也能让每一个孩子都能学会学习，爱上学习。同时，教师还应积极地营造训练的氛围，促进学生思维的发展，逐步使之成为一种新的文化，并根植于具有中国特色的数学文化中，绽放它的光彩。

参考文献：

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