高等数学不定积分教法浅议

【摘要】高等数学是高职高专院校各专业必修的一门重要的公共基础课程，通过本课程的学习，可以使学生获得高等数学方面的基本理论、基本概念和基本知识，为后继课程的学习和今后工作打下必要的数学基础，它对培养、提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学知识解决实际问题的能力都有着非常重要的作用.高等数学的主要内容是微积分，而我们在教学过程中，最棘手的也是函数的求导与积分的计算问题，尤其是复合函数的求导和第一类换元积分法（凑微分法）求积分.本文就如何判断并使用凑微分法求积分的问题谈谈个人心得体会.

【关键词】积分；凑微分；被积函数；复合函数

【中图分类号】G642

【文献标识码】B

在《高等数学》的教学过程中，学到导数时就会有一部分同学掉队，再学积分时就会在导数的基础上又有一部分同学掉队.这也是《高等数学》学习过程中拉开学生档次的一个重要地方.那么如何抓住这部分内容呢?笔者认为既然不定积分是导数的逆运算，那么微分运算公式在积分中的地位就不言而喻了，只有在掌握了导数运算的基础上，我们才能看积分的运算，而积分运算中最重要的、使用最多的是第一类换元积分法，也就是凑微分法，它的运算基本上就是不同类型的微分公式的逆推.如何判断所给积分能否使用凑微分法求不定积分呢？下面我们就由浅入深观察凑微分法的判定与运算.

凡是能够使用凑微分法的不定积分中被积函数均可以看成是若干个函数的乘积，且其中必包含一个主函数（一般复合函数居多），将其中若干函数经过一次或若干次还原必可以得到主函数或主函数的一部分，系数我们就不考虑了，因为系数可以根据实际情况凑.下面我们就先以最简单的，主复合函数为二重复合函数（或基本初等函数）的不定积分（即只需经过一次还原的凑微分法）为例对其进行解释.

1.若不定积分中含有f(x)g［φ(x)］dx,且有∫f(x)dx=φ(x)+C或∫f(x)dx=g［φ(x)］+C，则该不定积分一定可以使用凑微分法进行计算，即必有∫f(x)g［φ(x)］dx=∫g［φ(x)］dφ(x)或∫f(x)g［φ(x)］dx=∫g［φ(x)］dg［φ(x)］，这样我们只要将φ(x)看成一个整体使用积分公式进行计算即可.

例1 判定下列哪些不定积分可以使用第一类换元积分法求解.

（1）∫x・sinxdx;（2）∫x・sinx2dx;（3）∫x・sinexdx;（4）∫lnx[]xdx.

求解过程如下：

（1）因为∫xdx=1[]2x2+C不等于x+C,也不等于sinx+C，所以不满足凑微分法的条件.

（2）∫xdx=1[]2x2+C，系数不影响判定，因此原式可使用凑微分法.

原式=1[]2∫sinx2dx2=-1[]2cosx2+C.

（3）∫xdx=1[]2x2+C不等于ex，也不等于sinex，所以不满足凑微分法的条件.

（4）∫1[]xdx=lnx+C，因此原式可使用凑微分法进行计算，即∫lnx[]xdx=∫lnxdlnx=1[]2(lnx)2+C.

这样基本上所有该类型的不定积分我们就都可以进行计算了，只是形式不同而已，原理都是一样的.例如下列各题：

例2 求解下列积分：

（1）∫arcsinx[]1-x2dx;（2）∫earcsinx[]1-x2dx;（3）∫1[]arcsinx1-x2dx.

求解过程如下：

（1）∫1[]1-x2dx=arcsinx+C，所以原式=∫arcsinxdarcsinx=1[]2(arcsinx)2+C.

（2）原式=∫earcsinxdarcsinx=earcsinx+C.

（3）原式=∫1[]arcsinxdarcsinx=ln|arcsinx|+C.

有了简单凑微分法的计算方法，我们就可以在此基础上增加难度了，比如被积函数需经过至少两次凑微分才能求解.下面我们就将凑微分法的基本公式推广至被积函数需经过两次换元的不定积分，其他的可以以此类推.

2.需经过两次凑微分运算的不定积分又有什么样的特征呢？我们同样给出例子来进行判定.

例3 ∫x・sinx2・coscosx2dx.

经过观察我们会发现coscosx2是一个三重复合函数，而且式子之中目前只有x可以参与凑微分，试将其凑成微分会发现原式可变形为1[]2∫sinx2coscosx2dx2,将x2看成一个整体，那么该式又变成了和被积函数经一次凑微分运算的不定积分类型相同的积分了，接下来按照上面的方法将sinx2的原式可变形为-1[]2∫coscosx2dcosx2，根据积分公式可得出原式等于-1[]2sincosx2+C,相应的，其他具有该特征的不定积分我们就又都可以求解了.下面我们再举一些例子.

例4 求解下列不定积分：

(1)∫1[]xlnxlnlnxdx;（2）∫lnlnx[]xlnxdx;（3）∫coslnlnx[]xlnxdx.

求解过程如下：

（1） 原式=∫1[]lnxlnlnxdlnx=∫1[]lnlnxdlnlnx=ln|lnlnx|+C.

（2） 原式=∫lnlnx[]lnxdlnx=∫lnlnxdlnlnx=1[]2(lnlnx)2+C.

（3）原式=∫coslnlnx[]lnxdlnx=∫coslnlnxdlnlnx=sinlnlnx+C.

这样所有的利用凑微分法求解不定积分的题我们就都可以进行求解了，当然我们说会做题还不是我们对这部分内容掌握的最高境界，如果只给出题的一部分让你能够将该题补充完整并使之能够应用凑微分法进行计算，这才说明我们对凑微分法理解得非常透彻了.下面我们也举一些该类型的例子进行一下观察，首先是使用一次凑微分法进行计算的题.

例5 补充下列各式使之能够使用凑微分法进行计算并求解：

（1）∫lnxdx; （2）∫cosexdx; （3）∫sintanxdx.

考虑求解方法，那就需要运用我们的求导公式了，分别看谁的导数是lnx,ex,tanx，然后将其以乘积的形式补充给被积函数即可.

求解过程如下：

（1） 原式应补充为∫lnx[]xdx且∫lnx[]xdx=∫lnxdlnx=1[]2(lnx)2+C.

（2） 原式应补充为∫excosexdx且∫excosexdx=∫cosexdexsinex+C.

（3） 原式应补充为∫sec2xsintanxdx且sec2xsintanxdx=∫sintanxdtanx=-costanx+C.

相应的我们还可以将这些题变得更复杂一些.

例6 补充下列各式使之能够使用凑微分法进行计算并求解：

（1）∫1[]lnlnxdx; （2）∫lnlnxdx; （3）∫coslnlnxdx.

求解过程如下：

（1） 原式应补充为∫1[]xlnxlnlnxdx且∫1[]xlnxlnlnxdx=∫1[]lnxlnlnxdlnx=∫1[]lnlnxdlnlnx=ln|lnlnx|+C.

（2）原式应补充为∫lnlnx[]xlnxdx且∫lnlnx[]xlnxdx=∫lnlnx[]lnxdlnx=∫lnlnxdlnlnx=1[]2(lnlnx)2+C.

（3）原式应补充为∫coslnlnx[]xlnxdx且∫coslnlnx[]lnxdlnx=∫coslnlnxdlnlnx=sinlnlnx+C.

这样就算再有变化也就是形式上的改变了，计算方法和原理都是一样的.