如何建模或连续建模解决问题

【摘 要】解决实际问题的过程，是根据数学变量之间的关系或关系网建构解法的过程，也就是结合运算意义建模或连续建模过程。苏教版三年级上册解决问题的教学，关键在于三点，即掌握基本数学模型，用策略引领建模方向，培养综合建模能力。也就是要引导学生从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，初步学会从已知条件出发并在条件和问题之间建立联系的思考方法，让学生能够结合对加减乘除四则运算意义的理解及其基本模型的建构，提炼出相关的数量关系式，灵活地运用四则运算及运算组合建立相关模型或连续建模，最终解决相关问题。

【关键词】基本模型；建模方向；建模能力；解决问题

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）01-0009-03

苏教版三年级上册的教材包括八个单元，依次是“两、三位数乘一位数”“千克和克”“长方形和正方形”“两、三位数除以一位数”“解决问题的策略”“平移、旋转和轴对称”“分数的初步认识（一）”“期末复习”。其中解决问题的内容大致是这样分布的：①具有明显指向性的从条件出发分析和解决的问题，集中在第五单元；②与计算教学紧密结合的简单实际问题，指第一、四单元中直接运用两、三位数乘（除以）一位数计算或估算解决的问题，如“求一个数是另一个数几倍”和“求一个数的几倍是多少”，以及相关的单两步计算的问题；③其他简单问题，如涉及重量单位换算、长方形和正方形周长计算、简单同分母分数加减计算的简单实际问题。

解决实际问题的过程，是根据数学变量之间的关系或关系网建构解法的过程，也就是结合运算意义建模或连续建模过程。解决问题的关键在于合理地建模或连续建模，小学阶段数学建模的基础在于对加减乘除四则运算意义的理解，其关键在于对问题中出现的数量关系的分析。

而学生在一、二年级已经知道了最基本的数量关系，理解了四则运算的意义，并初步建立了它们的模型（把部分合起来得整体是加法的基本模型，从整体中去掉一部分得另一部分是减法的基本模型；而乘法是求几个相同加数的和的简便运算，除法则是把整体按一定的要求平均分，求平均分的结果）。同时学生已经能够简单模糊无意识地运用解决问题的基本策略――从条件想起和从问题想起，进而建模或连续建模解决简单实际问题。

三年级上册解决问题的教学，需要引导学生有意识地从条件出发，结合四则运算的意义，分析数量之间的关系或关系网，建立或连续建立数学模型，进行运算及运算组合解决问题。在帮助学生积累分析数量关系、探寻解题思路经验的过程中，培养学生“从条件想起”的策略意识（渗透从问题想起的策略），鼓励学生尝试简单推理，初步发展抽象思维。

一、掌握基本数学模型

1. 复习巩固，熟练运用基本运算模型

三年级的学生已经对加减乘除四则运算的基本模型非常熟悉：加法本质是“合”，把部分合成整体，“部分+部分=总体”；乘法的本质也是“合”，是把相同部分合起来的简便运算，“每份数×份数=总数”。减法的本质是“分”，表达把整体分成部分的过程，“总体-部分=部分”；除法的本质也是分，要求每部分完全相同，“总数÷每份数=份数”，“总数÷份数=每份数”。

四则运算，既相互区别，也有所联系：①加法和减法，乘法和除法互为逆运算，本册也经常用到这一点。比如第四单元中提倡用乘法验算两、三位数除以一位数，观察“商×除数（+余数）=被除数”是否成立。第二单元中克与千克之间的单位换算，5千克=5000（5×1000）克，5000克=5（5000÷1000）千克。②加法和乘法的本质都是“合”，乘法是求几个几的和的简便运算，减法和除法的本质都是“分”，除法是特别的平均分。乘法可以转化成加法，除法可以转化成减法，但在实际运用中一般选择更加简便的表达方式。第三单元学生在探索长方形和正方形周长的过程就体现了这一点。

这些已知的运算模型在本册的解决问题中，被不同情境包装后以不同的形式不断重复出现。比如同样是乘法模型，在书P1例1中以图文结合的方式呈现，“王阿姨在购物网站订购了3箱黑玉米，每箱20根，一共有多少根？”，每箱根数×箱数=总根数。在书P15第5题中以表格的方式呈现，“每个书包39元，2个一共多少元？每个文具盒12元，5个一共多少元？每瓶墨水4元，18瓶一共多少元？”，每个书包的价格×书包个数=书包的总价格，每个文具盒的价格×文具盒个数=文具盒的总价格，每瓶墨水的价格×墨水瓶数=墨水的总价格，都是“单价×数量=总价”。

因此三年级上学期解决问题的教学，首先要让学生能够从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，然后不断地建立模型、解决模型，进而熟练地运用这些运算模型，最后在加深基本数量关系理解的基础上，掌握这些“简单的”模型。

2. 迁移新知，丰富调整基本运算模型

复习巩固已知的运算模型是一种“同化”，是学生将外界信息纳入到已有的四则运算基本模型的认知结构的过程。但是有些信息与现存的认知结构并不十分吻合，比如学生之前没接触过“分数”运算，不了解“倍”的概念，这时就应调整改变原来对于运算模型的认知，进行“顺应”。当学生的新认知结构能够轻松同化环境中的新经验时，就会再次感到平衡，从而在不断地“平衡――失衡――再平衡”中，实现对基础运算模型的认知发展。

（1）加法和减法模型。“同分母分数加减法”的教学，需要学生结合对加减运算意义的理解，在把同分母分数加减法与整数运算相联系，丰富对原有加减法基本模型应用范围的认识。

①学生找出“小明吃了这块巧克力的 ”和“小红吃了这块巧克力 ”这两个信息，并从条件出发提出问题“两人一共吃这块巧克力的几分之几”，“小明比小红多吃了这块巧克力的几分之几”？

②根据加法意义，得出“小明吃的+小红吃的=两人一共吃的”，求“两人一共吃这块巧克力的几分之几”，也就是求“ + =？”。学生自由探索，如把整块巧克力想象成一个由8块小长方形组成的大长方形，把它的 涂上红色， 涂上绿色，思考“5个 加上2个 是7个 ，就是 ”，得出涂色部分共占大长方形的 。在过程中体会，分数加法的意义与整数加法的意义相同，是把两个数合并成一个数的运算，再次丰富学生对加法的运算模型的认识。

③根据减法意义，得出“小明吃的-小明吃的当中与小红吃的同样多的部分=小明比小红多吃的”，求“小明比小红多吃了这块巧克力的几分之几”，也就是求“ - =？”。其探索过程与同分母分数加法相似，通过迁移整数减法中“大数-小数=相差数”，认识到分数减法与整数减法意义一样，都是从总数中去掉一个数得另一个数的运算，从而丰富学生对减法的运算模型的认识。

④进行相关变式的题组练习，总结出运算模型“ + = ”。

（2）乘法和除法模型。“每份数×份数=总数”，“总数÷每份数=份数”，“总数÷份数=每份数”是解决乘除法问题的基本数量关系式，其他如“单价×数量=总价”，“路程÷时间=速度”等都是对它们的简单延伸。本册教材要求学生联系对乘、除法运算含义的已有认识，理解“倍”的含义，能正确解答求一个数是另一个数的几倍和求一个数的几倍是多少的简单实际问题。这是对乘法、除法运算模型的丰富，也是对乘除法运算意义的再认识。

求一个数的几倍是多少的实际问题的关键是建立“倍”的概念。求一个数的几倍是多少，就是求几个这个数的和，本质上是求几个相同加数的和，符合乘法的运算模型。而要知道一个数是另一个数的几倍，就是要把一个数平均分，看能分成几个另一个数。其本质上是一种包含除，大数里有几个小数那么多，有几个那么多就是几倍，符合除法的运算模型。

二、策略引领建模方向

“解Q问题的策略”单元是苏教版教材特色之一，三年级上下册分别安排了“从条件想起”和“从问题想起”，这也是学生建立模型解决问题的两种基本思路。

1. 明确“从条件想起”的策略

（1）提取条件信息，并理解其含义：信息的呈现方式多种多样，有文字、表格、图片等，有的很明确，有的却很隐晦。因此，在解决问题前必须用画线段图、列表统计等手段提取信息，同时设法理解其中的关键，如“至少”“不大于”“照这个速度”等。

（2）组合条件信息，碰撞解决问题：根据数量关系组合条件，看能否直接解决问题，如果不能则先得出新信息，帮助解决问题。像这样从已知条件向问题推理的方法，就是“从条件想起”。

比如，书P71例1：“小猴帮妈妈摘桃，第一天摘了30个，以后每天都比前一天多摘5个。小猴第三天摘了多少个？第五天呢？”

学生在提取条件信息“第一天摘30个”和“以后每天都比前一天多摘5个”后，需要先理解“以后每天都比前一天多摘5个”这一关键的条件。根据它表明的数量关系，通过列式计算、填表列举等方法，依次得出第二天摘的、第三天摘的......

2. 渗透“从问题想起”的策略

解决问题可以“从条件想起”，自然也可以“从问题想起”，或者把二者相结合。比如同样是解决书P71例1，可以先通过画线段图，分析条件得出第n天摘的比第一天摘的多（n-1）个5的桃，那么求第5天摘的桃，就是求“比第一天摘的30多4个5的数是多少”。甚至当所要求的数比较大，比如第100天摘了多少个桃时，也能轻松解决。

三、培养综合建模能力

本册教材有计划地依次安排了比起低年级更多的连续两问的实际问题、两步计算实际问题，这对学生来说无疑是一次思维的飞跃。为了帮助学生实现这次飞跃，我们需要从以下几个方面培养学生综合建模的能力。

1. 提取信息，理解含义

《数学课程标准》中希望学生“经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程”，在本册教材中，我们需要关注学生的画图（尤其是线段图）和列表整理。比如在解决与“倍”相关的问题时，我们常让学生“圈一圈”，也常用到直条图、线段图。书P27的思考题：“小欣家离学校850米。一天早晨，她从家去学校上学，大约走到总路程的一半时，发现忘记带数学书。于是她又回家拿书，再去学校。这天早晨，小欣上学大约一共走了多少米？”利用线段图能够很直观地发现题中的信息表示小欣一共走了“2个850米”。

2. 叠加组合，接力建模

学生认知的是发展的，其发展是有规律的。教材在学生掌握基本数量关系后有层次地安排了难易不同的实际问题，这就要求我们根据不同的数量关系或关系网，把有联系的不同条件进行一次或多次的组合，甚至叠加组合，进行不断地建模或接力建模。比如书P44第10题：“一块长方形菜地，长8米，宽5米。菜地四周围上篱笆，篱笆长多少米？如果菜地一面靠墙，篱笆至少长多少米？”从条件出发能够先求出长方形的一组邻边的长度，进而得出长方形周长，解决“篱笆长多少米”这一问题。然后结合“菜地一面靠墙”这个新条件，得出“篱笆长度=长方形周长-靠墙那条边的长度”或“篱笆长度=一组邻边的长+一条边的长度”，进而由“至少”两字入手解决最后的问题。

3. 结合现实，灵活思考

有些问题并不能直接通过计算解决，有些问题的解决方法不止一种，因此就需要我们从不同的角度思考，建立模型后，再根据实际问题的现实意义，进行判断和推理，最终解决问题。

比如在第一、四单元中直接运用两、三位数乘（除以）一位数估算解决的问题。书P15第7题，“一个影剧院有318个座位。东华小学近1200名师生分4场观看一部电影，能都有座位吗？为什么？（口答）”。观看一场电影的人数×观看电影的场数=观看电影的总人数，每人对应一个座位，300×4=1200（人），318×4>1200，所以能都有座位。或者需要观影的总人数÷观影的场数=每场需要容纳的人数，如果每场需要容纳的人数比318个座位数少，则人人都能有座位。1200÷4=300（人），300

三年级上学期的解决问题的教学，关键在于帮助学生更好地合理地建立数学模型，主要应做到三点，即掌握基本数学模型，用策略引领建模方向，培养综合建模能力。也就是要引导学生从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，初步学会从已知条件出发并在条件和问题之间建立联系的思考方法，让学生能够结合对加减乘除四则运算的义的理解及其基本模型的建构，提炼出相关的数量关系式，灵活地运用四则运算及运算组合，建立相关模型或连续建模，最终解决相关问题。

参考文献：

[1] 黄为良.苏教版义务教育数学教材三年级上册修订说明[J].教育研究与评论（小学教育教学版），2014（8）：32-37.