数学建模与数学应用题

数学应用泛指用已有的数学知识解决新的数学问题,或解决任何可与数学建立联系的实际问题,这需要透彻理解我们所学过的知识,包括数学概念产生的背景、数学方法形成的过程、数学结论的推证过程及其蕴藏的数学思想方法．

1. 实数对(x,y)与点的对应――列表描点是最基本的建模方法

实数对(x,y)与坐标平面内的点一一对应是高中数学最重要的基础知识,也是函数图像的本质含义．

【例1】 某商场统计了5个月空调销售量的如下数据:

x(月份)13678

y(百台)12345

(1) 为研究销售行情,甲、乙两统计人员提供给经理的拟合函数分别为y=13x+1与y=12x+12,你认为谁的答案拟合程度更好？用数学方法证明；(2) 公司游艺活动时将表中x 数字做成五个相同形状的标签置于A盒中, y 数字做成五个相同形状的标签置于B盒中,游艺员工从A,B盒中等可能地各摸一个标签,规定数字之和不小于10者获取奖品一份,求每个参加者获奖的概率．

解析 (1) 在坐标系中描出(x,y)对应点,y=13x+1过其中两个点,y=12x+12过其中三个点,故后者更好．

证明 用y=13x+1为拟合直线时,所得y值与y的实际值的差的平方和为

S1=43-12+(2-2)2+(3-3)2+103-42+113-52=73．

用y=12x+12作为拟合直线时,所得y值与y的实际值的差的平方和为

S2=(1-1)2+(2-2)2+72-32+(4-4)2+92-52=12．

S2

“最小二乘法”的结论是线性回归方程,故本题的另一个证法是:求出线性回归方程为=917x+617,故y=12x+12拟合程度更好．

(2) 从x,y各取一个数组成数对(x ,y),共有25对,其中满足的有,共9对

故使x+y≥10即每个参加者获奖的概率为925.这里采取的方法是“枚举法”,如类比“九九乘法表”列表观察,则过程更为直观且枚举不会遗漏．

点评 实数对(x,y)与坐标平面内的点一一对应,这个知识还应用于线性规划或概率中的几何概型问题.其关键都是建立两个未知变量与实数对的对应关系,继而转化为点(图形)相关问题,这里不再一一举例说明．

2. 基本函数模型是重要的解题思路

近年江苏高考的应用问题集中于函数、解三角形知识,特点是回归课本,从课本中寻找应用问题的载体,因而对建模能力的要求不是很高.依据近年江苏高考应用题考查的知识点,我们设计了如下例题:

【例2】 某建筑的金属支架如图所示,根据要求AB至少长28 m,C为AB的中点,B到D的距离比CD的长小05 m,∠BCD=60°,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问怎样设计AB,CD的长,可使建造这个支架的成本最低？

解析 设BC=a m(a≥1,4),CD=b m.连结BD．

在CDB中由余弦定理得

b-122=b2+a2-2abcos 60°.

b=a2-14a-1.b+2a=a2-14a-1+2a.①

设t=a-1,t≥2.82-1=0.4,

则b+2a=(t+1)2-14t+2(t+1)

=3t+34t+4≥7,

(当且仅当t=0.5时取等号),故AB=3 m,CD=4 m建造这个支架的成本最低．

点评 上述步骤①体现了”消元”的基本思想.此外y=ax2+bx+cmx+d类函数是近年高考重点,令mx+d=t,转化成y=At+Bt+D形式,再运用基本不等式(或者函数的单调性)求最值可简化运算.本题可与江苏高考2009年19题、2010年17题解答对照．

【例3】 某直角走廊的示意图下,两边走廊的宽度均为2 m．

(1) 过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A,B两点,且与走廊一边的夹角为θ0

(2) 一根长度为5 m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊？说明理由(铁棒的粗细忽略不计)．

解析 (1) sin θ=2PB,PB=2sin θ,

同理PA=2cos θ

l=2(sin θ+cos θ)sin θcos θ0

(2) 令sin θ+cos θ=t,t∈1,2,

则l=4tt2-1=4t-1t对t递减,

t=2即θ=π4时lmin=42,这个距离为走廊外侧两墙上A,B两点间最短距离,故为铁棒可通过的最大长度.42>5,可通过．

在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。―毕达哥拉斯

点评 本题可与2008年江苏高考17题对照, 涉及的三角知识主要是sin θ+cos θ与sin θ•cos θ之间的关系转化(和积转化),这历来为三角函数考查的重点知识之一;本题的另一种解法是l对θ直接求导判断其单调性.此外,任意角的三角函数定义、三角恒等式、解斜三角形等都可设计成应用问题考查．