经典经济订货批量模型的灵敏度分析

一、引言

随着近年来企业对库存决策方面的重视，企业库存决策研究得到了很大的发展。不少学者认为，经典的威尔逊-哈利斯(Wilson-Harris)经济订货批量模型由于存在较大的局限性，而使得其对企业的管理造成一定程度的决策偏差。本文试图通过对该模型的建立推演及灵敏度问题的深入分析，揭示影响经济订货批量的各参数变动对订货批量的敏感度,并着重计算出修正经济订货批量的变动的有效范围，力求为企业库存决策提供一定依据。

二、经济订货批量模型的推演与分析

该模型最早由F.W.Harris于1915年提出，后来Wilson 把其结果纳入存储管理系统方面做了积极的工作，故世人常称之为威尔逊-哈利斯(Wilson-Harris)模型。它建立在如下假设基础上：

①单一的存贮资源；②不允许缺货，即缺货损失（成本）无穷大；③采购时间很短，可以近似地看作“0”，即一旦库存立刻得到补充；④每次的采购费用为常数C2，不随采购数量的多少而改变（不考虑数量折扣）;⑤需求是连续稳定的，即假设需求速度（单位时间的需求量）为常数D；⑥单位物品在单位时间的存贮费用为常数C1。

模型系统的动态过程可用下图来加以描述。从某一时点开始（不妨假设此时的存贮量为“Q”），随着需求连续而稳定地发生，存贮量将以速度D下降，当存贮量降为“0”时（由于采购时间为零，所以不需要提前采购），为了确保需求的连续性必须进行第一次采购，若采购批量为“Q”，库存立即恢复到初始状态。此后，库存量仍以速度D下降，从而导致第二次、第三次采购，如此循环下去。

图中t代表相邻两次采购的时间间隔，那么Q=D×t，每次订货量。由于每隔t个单位时间订货一次，无库存货物就立即补充，则在单位时间内库存相关总成本（费用）为单位时间平均存贮成本与单位时间平均订货成本之和。

即:

在这一方程里，我们感兴趣的是Q的取值，即选择适当的Q以使单位时间费用最小。对上述成本费用方程两边求关于Q的导数，并令其为零得出：

最小采购批量即经济批量此时定货周期，最小成本,该公式也被称为威尔逊-哈利斯公式（Wilson-Harris）或平方根法则。

三、灵敏度分析

灵敏度分析(sensitivity analysis)是系统研究的一个重要方面，这是一个广泛的课题，并非仅仅限于线性规划。

1.灵敏度分析的一般概念

(1)考虑一种映射关系。其中x可代表系统的参数、结构、系统的输人变量,以及问题的输人数据等等，y可代表系统的性能、系统的输出变量，以及问题的解。可大可小可以是任何方向，不一定是微增量。特别是线性情况，有可能实现“大增量”灵敏度分析。

(2)系统的灵敏度、容错性和鲁棒性：三者本质相同。灵敏度多对系统的输入变量而言，容错性和鲁棒性多对系统的结构和参数而言。

2.经济批量模型的灵敏度分析

(1)由于根据经济批量计算出的结果一般不为整数，实际工作中需要修正、取整，但这样修正处理以后对库存成本（费用）有何影响呢？下面加以探讨。

设修正、取整后的实际补货量,（K为一比例常数）。代入原成本费用方程得：

显然，

即，费用增长的百分比为：

为得到直观的感受，不妨取值进行演算，见下表。

与总费用增长情况

由上表说明成本（费用）对经济批量Q0的变化极不敏感。完全可在预期的费用增长的幅度内调整批量。但是，当Q的取值范围从Q0向左右两边移动时，有无限制呢？答案是肯定的。

对于成本费用方程两边除以D，得到单件物品成本费用方程。

记为：利用求根公式可得：这就意味着只允许在Q1和Q2之间进行修正、取整。

当K取两端值时，在实际中不可避免的会出现批量折扣问题，这与该模型假设相矛盾，就必须重新建立批量折扣模型进行处理。

(2)下面继续考察当单位存贮费C1、每次采购费C2分别发生K倍变化时，对最小成本方程的影响。

当单位存贮费由时，可把最小成本方程记为：

即，;同理,以上表明变化前后只是发生了倍的变化，因此，模型中的库存系统参数变化对结果没有太大影响。

四、结论

诚然经济订货批量模型确实在很大程度上给企业解决库存决策带来了便利，也是许多扩展模型的基础，但不可否认的是这一模型存在着很大程度的限制因素和一定缺陷。事实上，理想状态下的经济订货批量模型必须满足的假设条件，不难发现在这些假设中，不乏一些与实际情况相背的条件。如果不符合经济订货批量模型的条件，不能生搬硬套，否则只能产生错误的结果，给企业造成损失。尽管如此，通过以上研究分析发现，并不影响经典EOQ模型的实用性和可操作性。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。