数学解题过程的眼动研究

摘要数学解题过程的眼动研究可划分为3个阶段：第一阶段是对数字运算过程的眼动研究，第二阶段是对数学应用题解题过程的眼动研究，第三阶段是对几何题解题过程的眼动研究。在我国，对数学解题过程的眼动研究尚为空白。加强这一领域的研究，可以深化对数学问题表征的认识，对数学学科的教与学具有重要意义。

关键词眼动，数学解题过程，比较应用题，不一致问题。

分类号B842.1

1引言

教会学生解数学题是数学教学中一项非常重要的任务。数学题包括可用解题者已有的方法、程序或算法就能直接解决的问题，也包括那些需要接受和寻找信息并加工已有方法、程序或算法方能解决的问题，而后者在数学学科的教与学中显得更为重要。20世纪50年代，人们对解题过程的研究常用出声思维或写出解题过程的方法。这些方法均有其局限性，因为在解题过程中，若不打断解题者的思路，他们就无法报告出那些没有达到“意识”水平的推理。而解题过程中解题者的眼动特征可以给研究者提供一个探查其心理活动的窗口，它不仅能帮助研究者分析出声思维的加工过程，而且还可以用眼动数据构建解题过程的认知加工模型。19世纪末20世纪初，国外就有人对阅读过程的眼动特征进行研究[1]，发现了很多有关眼动的基本事实，如注视、眼跳、回视等，为数学解题过程的眼动研究打下了很好的基础。20世纪60年代，心理学家开始进行数学解题过程的眼动研究。纵观其历史，数学解题过程的眼动研究涉及3个方面：数字运算过程的眼动研究、数学应用题解题过程的眼动研究、几何题解题过程的眼动研究。

2数学解题过程的眼动研究

2.1数字运算过程的眼动研究

研究者通过分析解题者在数字运算过程中的眼动情况，探讨了解题者在数字运算过程中的认知加工特点，还给出了关于注视持续时间的理论模型。

Rosen要求被试用心算对几列数字求和并记录其眼动[2]。实验过程中，当被试加到某个数字时打断他的心算，并在下面两种情况下重新进行运算。一种情况是打断被试心算的同时改变呈现的数字；另一种情况是不改变呈现的数字。结果表明，当数字不改变时，对数字序列的注视持续时间较短，而且计算所用的总时间也较短，这意味着最初进行的心算对后来的运算有促进效应。Winikoff以问题解决中常用的字母密码算术题为实验任务，考察了注视模式与出声思维之间的关系[3]。结果表明，解题过程中，解题者倾向于注视正在计算或试图回忆其数值的字母。

在数字运算过程的眼动研究中，研究者不仅探讨了解题者在数字运算过程中的认知加工过程，还给出了关于注视持续时间的理论模型。Suppes等人通过记录被试在数字运算过程中的眼动情况，以注视、眼跳、回视为指标提出了眼动的程序性理论[4]，这一理论可以解释解题者在做数字加减法过程中对某个数字的注视持续时间和眼跳方向等。他们认为注视持续时间服从一个指数分布和两个指数分布的卷积之和。他们还发现，加减法的某种结构性特征影响题目的难度，对这种结构性变量的回视可能是解题者对不同数字的注视持续时间变化相对很少的原因。

对数字运算过程的眼动研究取得了一定成果，研究任务中既有简单的加法运算，也有复杂的密码算术题，研究内容比较丰富。但是也要看到，这些实验使用的眼动指标较少，且没有深入分析和探讨被试解题过程中的认知加工过程。

2.2应用题解题过程的眼动研究

Just等人提出，解题者阅读理解和解题过程与其注视有联系，即被试注视某个词时，他就在对其进行心理加工；被试注视某个数字时，这个数字就在他要进行的心理活动中起重要作用[5]。基于此，心理学家开始了对数学应用题解题过程的眼动研究，希望通过分析解题过程中的眼动特征及影响因素，了解并解释解题者对题目的表征过程。

2.2.1应用题语意结构对解题过程影响的眼动研究

Riley等人认为一步应用题具有不同的语意结构，解题过程中语意加工是非常重要的，低能力解题者虽然也进行语意加工，但缺乏完备的语意图式，特别是遇到一些语意结构复杂的应用题，他们就无法对问题情境构建合理的心理表征[6,7]。De Corte等人分析了一步加减应用题的语意结构对不同能力解题者解题过程的影响[8]。他们把解题过程分为对题目的语意分析阶段（第一阶段）和运算阶段（第二阶段）。结果表明，语意结构复杂性既不影响第一阶段的注视时间，也不影响这一阶段对语句部分的注视时间，但对第二阶段的注视时间和对语句部分的注视时间均有影响；语意结构复杂性在解题的不同阶段对语句部分注视时间百分比的影响不同，对第一阶段的影响显著高于第二阶段；不同能力解题者在解题的2个阶段的表现也不同，低能力解题者在第一阶段对语句部分的注视时间较长，但对数字部分的注视时间与高能力解题者几乎相同，他们在第二阶段对语句及数字的注视时间明显多于高能力解题者；不同能力解题者在第一阶段对语句的注视时间百分比相同，但在第二阶段，高能力解题者对语句的注视时间百分比显著高于低能力解题者。

2.2.2比较应用题解题过程的眼动研究

比较应用题是指题目中包含了1个关系陈述句，它对题目中的2个量做了比较（如：小明比小红多5个苹果）。如果题目中包含的关系陈述句的内容与所要求的算法一致（如：题目中关系句的内容是“……比……多”，题目的正确算法为加法)，则把这样的比较应用题称为一致问题。若题目中包含的关系陈述句的内容与所要求的算法不一致（如：题目中关系句的内容是“……比……多”，要列出减法算式才能得出正确结果），这样的比较应用题称为不一致问题。

Lewis等人把学生解应用题的过程分为题目转换、题目整合、计划算法和执行算法4个阶段[9,10]。他们认为，解题者解不一致应用题时容易出现相反算法错误，出现这种错误是因为他们错误地理解题意（关系句表征错误）并由此得出错误的算法，而不是在执行算法阶段的计算错误。

Hegarty等人基于Lewis等人的理论，分析了大学生解一致问题和不一致问题的不同过程[11]。他们把解题全过程及不同阶段定义为：题目的全部解题时间（从题目呈现到给出答案）、转换阶段（从题目呈现到对整个题目的第一次扫视结束）、整合与计划算法阶段（从对整个题目的第一次扫视结束到口头给出解法）。结果表明：①解题者解不一致应用题时容易出现相反算法错误，由于实验并不进入解题的执行算法阶段，所以这种错误肯定出现在执行算法前的某个阶段。②高正确率解题者解决不一致问题所需的时间显著多于一致问题，这种解题时间上的延长说明解不一致问题需要额外的加工过程；在解题过程的题目转换、整合与计划算法阶段所用时间方面，他们解不同类型题目时转换时间没有显著差异。这就说明关系句与算法的不一致不影响题目转换阶段，但对不一致应用题整合与计划算法的时间显著多于一致应用题，表明解题者把题目中的每句话单独表征后，再试图整合句子之间的信息或计划算法，因此可以说明关系句与算法的不一致影响解题过程的整合和计划算法阶段。③低正确率解题者解不同类型题目时不仅转换时间相同，而且整合与计划算法的时间也相似，这可能是他们没有认识到需要对不一致问题进行额外的加工，没有根据题目的不同表述来调整其认知加工过程。研究者在随后的研究中提出了表征比较应用题的2种策略：直译策略和问题模型策略，并据此解释上述研究结果[12]。直译策略是指解题者仅根据“关键词”来选择算法，如看到“……比……多”就用加法，看到“……比……少”就用减法；问题模型策略是指解题者根据变量之间的关系建立数学表征并依此选定算法，不受所谓“关键词”的影响。研究者通过比较成功解题者与不成功解题者对题目中词语和数字的注视，提出不成功解题者在表征变量之间关系时，可能运用了直译策略，看到“关键词”就选择了与之相应的算法，这可能是他们遇到不一致问题时容易出错的原因；而成功解题者则运用问题模型策略，即根据变量之间的关系建立数学表征并依此选定算法，而且对题目的情境充分表征后才选择算法，不受题目中“关键词”的影响。

Verschaffel等人也用眼动分析法验证了Lewis等人的理论[13]。他们设计了3个眼动实验，第一个实验要求大学生解一步应用题，但实验结果并没有验证Lewis等人理论的正确性，研究者的解释是一步应用题过于简单，出现了天花板效应；第二个实验是要求小学三年级学生解一步应用题，实验结果较好地支持了Lewis等人的理论；第三个实验仍以大学生为被试，要求他们解两步应用题，其结果验证了Lewis等人理论的正确性，同时也解释了第一个实验中的天花板效应。由此可以看出，只有当实验材料对被试提出较复杂的认知任务时，Lewis等人的理论才成立。

这一阶段的研究主要集中在简单的算术应用题的解题过程，没有把研究内容拓展到更广泛的数学应用题领域，实验得出的解题理论在其它类型应用题中的适用性无法得到验证。同时也存在着眼动指标过少、没有得到很好的数学模型等问题。

2.3几何题解题过程的眼动研究

解几何题是一个复杂的认知过程，解题者要经历：读题、构建图形（若题目未提供图形）、在已有图式中搜索、从记忆中提取相关内容、推理并最终使问题得以解决，其中包括数值计算等过程。对几何解题过程中的认知加工和眼动行为之间关系的研究还很少。Viviam等人认为，在眼动研究中，对眼动数据的解释要在一个特殊的理论框架内进行[14]。Epelboim等人提出了一种量化模型――动眼几何推理引擎模型(oculomotor geometry reasoning engine，简称OGRE模型)[15]，该模型可以解释几何解题过程中的眼动规律并估计视觉工作记忆容量。该模型的核心内容是视觉工作记忆，它负责对视觉感知到的结果做短时储存。视觉工作记忆储存的视觉对象的记忆映像是有意义的并与当前的任务背景有关。在几何题中，这些视觉对象是角、线段、图形的形状（如三角形）和文字内容。记忆映像进入视觉工作记忆的机制就是动眼扫视，遗忘的机制就是当前扫视的对象和已存在于视觉工作记忆中的对象之间产生了干扰。

OGRE模型把几何解题过程中的注视序列描述为一个普阿松过程（psisson process），并认为注视持续时间服从Γ分布。研究者还利用该模型估计了视觉工作记忆容量，他们认为对于给定被试和题目，几何解题过程中视觉工作记忆容量是一个常数。其原理是某个新元素的记忆映像添加到视觉工作记忆中，原来存在于视觉工作记忆中的某个元素的记忆映像就会被覆盖。用该元素的记忆映像被覆盖的概率就可以估计视觉工作记忆的容量。OGRE模型还定义了被试解几何题过程中的扫视路径，并认为被试的扫视路径具有近似独立性。研究者以不同能力解题者为被试，以10道复杂程度不同的平面几何题为实验材料，通过注视持续时间、扫视路径、眼跳、回视等眼动指标分析了他们的解题过程。实验材料中的每个题目都给出了图形，有些题目还包括对一些初始条件的简要说明，要求被试求出题目中标示着“？”的角的值。研究者根据实验数据，用OGRE模型估计视觉工作记忆容量，其结果似乎比以往研究得出的短时记忆容量“7±2”小一些。他们还认为，视觉工作记忆容量大小的变化与题目的复杂程度无关。

在几何题解题过程的眼动研究中，研究者开始选择既有文字又有图形的平面几何题，由于这种类型题目对解题者提出了更高的认知要求，因此这一阶段的研究对深入了解几何解题的认知过程具有重要意义。该阶段的研究内容也不仅局限于对眼动模式的研究，还扩展到了对视觉工作记忆容量的估计，并提出了OGRE模型，形成了视觉工作记忆容量研究的一个新思路。OGRE模型的提出不仅可以解释几何解题过程，而且还可用于算术中的竖式计算、代数应用题的解题过程等。但该模型在解释解题过程的眼动模式和估计视觉工作记忆容量时，其过程很繁琐，只适用于解释简单几何题的解题过程，不适用于解释复杂的几何题（如平面几何证明题、立体几何题等）的解题过程。

3结束语

国外对数学解题过程的眼动研究从20世纪60年代开始至今已有40多年了，而且随着眼动技术的发展，有更多的研究者加入到这一研究领域，并取得了丰硕的研究成果。

在我国，虽然取得了一些汉语阅读的眼动研究成果[16,17]，但对数学解题过程的眼动研究还很少有人涉足，加强这一领域的研究，可以深化对数学问题表征的研究，深入分析学生解题过程中的认知加工过程，从而对数学学科的教与学具有重要意义。

参考文献

1 Tinker M A. The study of eye movements in reading. Psychological Bulletin, 1946, 43: 93~120

2 Rosen L D. Memory trace of transient cognitive process. Unpublished doctoral dissertation. University of California, San Diego. 1975

3 Winikoff A. Eye movements as an aid to protocol analysis of problem solving behavior. Unpublished doctoral dissertation. Carnegie-Mellon University, 1967

4 Suppes P, Cohen M, Laddaga R, et al. A procedural theory of eye movements in doing arithmetic. Journal of Mathematical Psychology, 1983, 27(4): 341~369

5 Just M, Carpenter P A. The psychology of reading and language comprehension. Allyn and Bacon. Inc. 1987, 370~375

6 Riley M S, Greeno G J, Heller J I. Development of children＇s problem-solving ability in arithmetic. In H. P. Ginsburg (Ed.) The development of mathematical thinking. NY: Academic Press. 1983: 153~196

7 Riley M S, Greeno G J. Developmental analysis of understanding language about quantities and of solving problems. Cognition and Instruction, 1988, 5: 49~101

8 De Corte E, Verschaffel L, Pauwel A. Influence of the semantic structure of word problems on second graders＇ eye movements. Journal of Educational Psychology, 1990, 82(2): 359~365

9 Lewis A B, Mayer R E. Students＇ miscomprehension of relational statements in arithmetic word problems. Journal of Educational Psychology, 1987, 79: 363~371

10 Lewis A B. Training student to represent arithmetic word problems. Journal of Educational Psychology, 1989, 81: 521~531

11 Hegarty M, Mayer R E, Green, Carolyn. Comprehension of arithmetic word problems: evidence from students＇ eye fixations. Journal of Educational Psychology, 1992, 84(1): 76~84

12 Hegarty M, Mayer R E, Monk C A. Comprehension of arithmetic word problems: a comparison of successful and unsuccessful problem solvers. Journal of Educational Psychology, 1995, 87(1): 18~32

13 Verschaffel L, De Corte E, Pauwel A. Solving compare problems: an eye movement test of Lewis and Mayer＇s consistency hypothesis. Journal of Educational Psychology, 1992, 84(1): 85~94

14 Viviam P. Eye movements in visual search-cognitive, perceptual and motor control aspects. In E. Kowler, Eye movements and their role in visual and cognitive processes. 1990: 353~394

15 Julie Epelboim, Patrick Suppes. A model of eye movements and visual working memory during problem solving in geometry. Vision Research, 2001, 41: 1561~1574

16 闫国利, 白学军. 中文阅读过程的眼动研究. 心理学动态, 2000, 8(3): 19~22

17 沈德立主编, 白学军, 闫国利副主编. 学生汉语阅读过程的眼动研究. 北京: 教育科学出版社, 2001