例谈高中数学中的构造法

《普通高中数学课程标准》（实验）指出：“高中数学新课程应力求通过各种不同形式的自主学习、研究活动，让学生体验数学发现和创造历程、发展他们的创新意识.”因此，数学教育不应是简单地如何把知识传授给学生，更重要的是如何培养学生的创造性思维以及锻炼学生具有解决问题的强大的头脑.也就是说数学教育注重学生的数学精神、数学思想的培养.日本数学教育家米山国藏所说：“学生们在初中、高中等接受的数学知识，因毕业进入社会几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，通常是出校门不到两年，很快就忘掉了.然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法和着眼点（若培养了的话）却随时随地发生作用，使他们受益终身.”

因此，数学教育的目的是通过数学知识的传授使学生真正掌握解决数学问题的方法与思想.在各种各样解决数学问题的思想方法中，构造法便是其中的一种.所谓构造法是指根据数学题设条件，给予题中涉及的公式、概念及数学关系赋予恰当的实际意义，构造数学模型，谋求解决数学的方法、途径.作为传统的解决问题的方法之一的构造法，在实际教学中有着两个主要问题困扰着教师：一是构造法本身的问题.由于构造法具有连接各个分支的功能，要求学习者能根据题目中的条件、题设构造出数学模型，因此，具有难度大、规律性不易寻找的特点；二是实际教学中的问题.由于高中数学处在整个初等数学的末端，抽象性、概括性比较强.并且由于面临升学的压力，教学中，教师常常是以自己的讲解代表这个教学过程，学生在这个教学中处在消极、被动的地位.学生不能或很少经历如何通过构造思想对所学知识进行构造的过程.基于上述两个问题，为了帮助教师真正应用构造法进行教学，引导学生利用构造法解决问题，现笔者介绍几种常见的构造法.

一、 背景构造

通过对数学问题的分析，合理巧妙地构造问题的情境，展现问题的真实背景，可以使所要解决的问题巧妙、独特被解决，使学生深刻感受到数学问题所隐含的数学思想.这是一种比较高级的数学思维，要求学生具有开放的思维和敏锐的洞察力.

案例1：已知：a

分析：|x-a|的几何意义是，在数轴上表示两数x与a之间的距离.因此要求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值就是要求在数轴上找一点x，使其到a，b，c的距离之和最短.所以，当x取在b以外的地方时，三条线段|x-a|，|x-b|，|x-c|都有重叠部分，所以当x取在b点时|x-a|+|x-b|+|x-c|有最小值，最小值为c-a.你看这种方法多好啊！你说没有敏锐的洞察力能运用这么好的方法解决这个问题吗？

二、拓展构造

教师通常是依据教材进行教学的，但一位好的教师并不是把教材从头到尾教一遍，而是把教材作为教学的桥梁，通过对教材的前后思考，理清知识之间的联系，恰当提出问题，引导学生参与到对所学问题的讨论中.通过学生的自主或合作交流等，引导学生归纳出隐含在问题中的结论.通过对旧知识的拓展研究，使学生学到了新的知识，提升了能力.例如，通过对平面向量的相关知识的研究，可以得出空间的相关知识；而利用椭圆研究方法来研究双曲线、抛物线，会使学生不自觉地掌握了新的知识等，达到新的教育理念的要求.

三、数形构造

数形结合思想是数学中的重要思想之一.数学研究总是围着数与形进行的.如果单纯利用数学中的数量关系解决问题可能会因过于复杂而走投无路，而从由数量关系所表示的几何图形方面进行研究，很多时候会呈现柳暗花明的感觉.

五、联想构造

学会联想是学好数学的优秀品质之一，通过联想学

生可以发现知识之间的联系，从而构造出新的知识所需的数学模型.这需要教师对不同知识进行分析，剖析其隐含的相同点，即教师能够从题目中的题设、条件出发，依据题目的特点联想到处理问题的其他形式，使问题得于解决.例如，利用相关点代入法求函数关于点或者线的对称，联想到用同样的解题思想解决圆锥曲线关于点、线的对称图形的方程；三角函数中利用同样思想引导出角的诱导公式；在矩阵内容中可以解决函数图像在矩阵变换下的图形解析式问题等.再如，在研究函数知识时常常构造新函数：如遇见f（x）+xf′（x）的函数形式通常构造函数F（x）=xf（x），这时问题就转化为利用条件研究函数F（x）的相关知识，同样如遇见f（x）-xf′（x）的函数形式一般构造函数F（x）=xf（x）ex

.这样的例子在数学教学中太多了，在这就不一一列举了.如果教师在教学中注意到这点，学生就会感受到新旧知识之间的联系，就不会对学习数学感到惧怕，从而调动学生学习数学的极大热情.

六、反例构造

在判断数学命题的真假时，我们不应只是用直接方法进行判断，有些数学问题涉及“不是”“无限”“至少”“至多”等时，利用直接法证明有时比较困难，而结论的反向比较明确，像这种情况通常选取反证的方法进行构造.

五、联想构造

学会联想是学好数学的优秀品质之一，通过联想学

生可以发现知识之间的联系，从而构造出新的知识所需的数学模型.这需要教师对不同知识进行分析，剖析其隐含的相同点，即教师能够从题目中的题设、条件出发，依据题目的特点联想到处理问题的其他形式，使问题得于解决.例如，利用相关点代入法求函数关于点或者线的对称，联想到用同样的解题思想解决圆锥曲线关于点、线的对称图形的方程；三角函数中利用同样思想引导出角的诱导公式；在矩阵内容中可以解决函数图像在矩阵变换下的图形解析式问题等.再如，在研究函数知识时常常构造新函数：如遇见f（x）+xf′（x）的函数形式通常构造函数F（x）=xf（x），这时问题就转化为利用条件研究函数F（x）的相关知识，同样如遇见f（x）-xf′（x）的函数形式一般构造函数F（x）=xf（x）ex

.这样的例子在数学教学中太多了，在这就不一一列举了.如果教师在教学中注意到这点，学生就会感受到新旧知识之间的联系，就不会对学习数学感到惧怕，从而调动学生学习数学的极大热情.

六、反例构造

在判断数学命题的真假时，我们不应只是用直接方法进行判断，有些数学问题涉及“不是”“无限”“至少”“至多”等时，利用直接法证明有时比较困难，而结论的反向比较明确，像这种情况通常选取反证的方法进行构造.