体验“过程”,提炼“思想”

研究近几年苏州市的中考数学命题，其明显变化是中高档题目越来越“活”，越来越注重考查学生的综合素质。特别是近几年苏州市中考试卷的压轴题，在关注“双基”的同时，越发注重对数学思想方法综合运用的考查。众所周知，数学思想的形成非一日之功，单靠教师讲几个题或者学生做几张讲义形不成完善的数学思想。一个好的数学教师，不是看他掌握了多少数学概念、定理、公式，而是看他是否掌握了数学思想和精髓，看他利用数学思想分析、解决问题的能力，看他能否把数学思想传授给学生，培养学生的数学能力。初三数学教师要深入钻研题目，讲解时循循善诱、举一反三，让学生在活动中体验，渐渐触类旁通。下面结合我对苏州市2011年中考压轴题的讲解作一说明：

【例题回放】

29.已知二次函数 的图像与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C。点D是抛物线的顶点。

（1）如图①，连接AC，将OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O|恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧。小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）。”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由。

【分析反思】

本题共计390字符，阅读量偏大。观察2幅图，均有抛物线，故以二次函数为“载体”，考查三角形与四边形，起点较高，难度较大。主要体现在两个方面：一是考查的知识点较多并且需深入挖掘；二是数学思想运用得较为广泛，对学生的综合素质要求较高。一见到本题，大多数学生感觉无从下手，即使是尖子生，面对第（2）问时也一头雾水。真的这么难吗？

一读题目：理清基本知识点，寻找解题思路

教学时，首先让学生尝试说出本题考查的知识点，主要包括折叠问题、三角形的有关知识、命题、二次函数的交点式以及对称性、平行四边形、解直角三角形、垂线段、解方程、解不等式等。从这么多的知识点中快速寻找解题思路，对基本能力（特别是化归能力）的要求颇高；同时，本题阅读量偏大，还应关注学生获取、收集、处理、运用信息的能力；题目新颖，又考察学生的创新精神和实践能力。教师在教学中应做到：

1.及时归纳，寻找“突破点”

俗话说，万变不离其宗。图形在平移、旋转或翻折过程中，位置和方向会有所改变，但其本质是全等变换，其中蕴含的不变往往是解决问题的突破口。针对第（1）小题，学生大都思路清晰，能把握住“折叠”这一全等变换，从而利用对应边、对应角的不变性进行分析。再联系到求解二次函数与坐标轴的交点坐标以及对称性这一经常性问题，通过解直角三角形求解。教师在引导学生归纳解题思路时应紧扣不变量，关注方法，要把解题的思维贯穿于一种题型中，让学生自我形成知识建构。

2.适时提升，体验“全过程”

教师在日常教学中要重视学生体验知识产生、发展的过程，理顺知识的来龙去脉，理清知识呈现的过程，理解公式、定理、法则等的推导过程，杜绝死记硬背，给学生充分的反思时间，逐步提升学生的能力。第（2）问考查的知识，需要提醒学生关注第一个正确命题，找准关键点，体会不构成平行四边形是考虑边的数量关系不满足平行四边形的判定，从而大胆猜测证明一条与另外三条不相等，类似解决方法在2011年《中考数学能力自测》208页第2题最后一问中有所体现。对于新颖的能力提升题，应该让学生在体验分析问题、解决问题的全过程，做到事半功倍。

二读题目：挖掘思想方法，体验解题过程

本题运用的数学思想方法较多，主要包括化归思想、数形结合思想、特殊到一般思想、方程思想等。圆满解决本题离不开这几种数学思想的综合运用，教师在教学中应关注这几种思想的展现过程：

1.体验过程，重视思考和交流

“解题就是把要解的题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。“学而不思则罔”，教师应引导学生解题时勤于思考，不仅立足于原题思考，还要有举一反三、触类旁通的变式思考。拿到一个压轴题，不要急于动手，而是思维在先。有相当一部分学生在压轴题的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念和简单的计算上，或是输在“审题”上。讲解本题时，我让学生尝试把自己的体会主动、大胆地讲给其他同学听，遇到问题要善于和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。当时第（2）问他们讨论得很热烈，讨论重点并不是浅显的成立不成立，而是如何去说明不构成平行四边形，个别同学甚至已经初步得出PB比另外3条小的突破点。通过思考、交流和体验的过程，慢慢展示自己分析问题的能力，再加上扎实的基本功，压轴题也不在话下。

2.优化思维，提炼思想和方法

在讲课时，教师要注意展示学生解题的思维过程，更要注重一些典型题目的运算技巧。参加2011年苏州市中考阅卷的老师深有感触：许多同学做最后一题的思维混乱。中考考试时间毕竟有限，要解决这么多的问题，应该在考前冲刺做文章。台上一分钟，台下十年功。在日常训练中，对待一些疑难问题，应引导学生多思考、多探究、多尝试，发现创造性的解法。要教会学生“大题小做”，即对一些综合题应化“大”为“小”，以“庖丁解牛”的精、气、神，把它“肢解”成一个个小问题，然后对这些小问题逐个推导，找出规律，再将其融合，升华为大题。要注重培养学生的直接观察，大胆猜测以及多种数学思想的灵活运用，让学生碰见难题时“化难为易，化繁为简，化未知为已知”，切实提高学生的基本功。

“授人以鱼不如授人以渔。”由一道题的方法掌握一类题的做法，是我们所倡导的。基于此，我们要引导学生理清这一类题的大致思路及一般解法，找出其共性；更要抓住其中的细微区别，找出其特殊性。我们希望学生不仅会对老师讲过的题“依葫芦画瓢”，而且对其变式题更要求“同”存“异”。数学题目是无限的，但数学的思想方法却是有限的。只要学好有关的基础知识，掌握必要的数学思想和方法，就能轻松应对那无限的题目。

（作者单位：江苏省吴江市南麻中学）

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