高等数学极限概念引入探究及极限求解方法

［摘要］极限概念比较抽象，不少学生理解和学习起来感到困难。在这里做一些探讨，结合个人教学过程中所使用的例子进行阐明。极限求解类型比较多，多数学生在学习过程中，都会或多或少遇到困难。本文将把经常使用和遇到的极限求解问题，进行分类和归纳。

［关键词］极限自变量因变量洛必达法则无穷小量

［中图分类号］O13［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2013）08-0060-03

一、极限概念的引入

关于极限概念的引入，很多高等数学的教材采用求圆的周长的例子，这本身是一个很好的例子，但总是用同一个例子，缺乏创新性，并且，也缺乏趣味性，也非常“数学性”。教学过程中，本人发现，学生在理解极限的概念时，往往存在困难。为了让学生更好地理解极限的概念，本人考虑了以下几个例子，通过多次的教学实践，收效不错。以下将这些例子详细陈明。

（一）超导体

一般材料在温度接近绝对零度的时候，物体分子热运动几乎消失，材料的电阻趋近于0，此时称为超导体，达到超导的温度称为临界温度。随着各国代代科学家的不懈努力，能实现超导现象的材料陆续被发现，发生超导现象的温度逐渐提高。超导材料的用途非常广阔，如超导发电机、磁流体发电机、超导输电线路、超导计算机、超导天线、超导微波器件、磁悬浮列车和热核聚变反应堆等。这里主要涉及两个变量，一个是温度，用T表示，另一个是电阻，用R表示，并且温度是自变量，电阻是因变量。通过控制材料的温度，使它的温度不断降低，在这个过程中，该被测材料的电阻不断改变，当温度降低到临界温度时，材料的电阻变为零。电阻为零是一个确定的数值，不再是变量，这是控制温度到临界温度时，所得的极限值。以上过程用数学符号表示为：■R（T）=0。R（T）是变量，但是加上极限符号■之后，■R（T）是一个确定的量，在这个例子中，极限等于0。

（二）配件组装

日本本田的摩托车和汽车配件是在零下十几度组装的，买来后，大多数使用环境都是在零度以上，金属热胀冷缩的属性使得本田汽车和摩托车非常牢固。这里主要涉及两个量，一个是温度T，另一个是金属的体积V。温度T是自变量，体积V是因变量，当环境温度改变时，金属的体积也跟着改变。装配时，零部件金属在零下十几度时，设此时温度为T1，受冷收缩，设此时的体积为V（T1），可以表示为■V（T）＝V（T1）；装配好的成品在常温下使用时，设常温为T2，此时，金属体积为V（T2），可以表示为■V（T）＝V（T2）。其中T1＜T2，V（T1）＜V（T2）。V（T）是变量，但是加上极限符号之后■V（T）和■V（T）就称为一个确定的量，分别记为V（T1）和V（T2）。

（三）忍无可忍

每个人的忍受力是有限度的。再好脾气的人，也会有忍无可忍之时。设晓明受到小宝的欺负，晓明忍气吞声，就这样一天、两天，一个月、两个月……一年、两年.……，再好的脾气终有爆发的一天。这件事上，主要涉及两个变量，一个是时间，一个心情。时间是自变量，心情是因变量。设时间为t，心情为f。当晓明处于忍受小宝的过程中，他即便没有爆发，心情却不能说是好的，而是不断地在积蓄能量，这个能量当然是负能量，也就是f（t）是个变量。但是，当晓明忍无可忍而爆发的那一时刻，记这一时刻为t0，心情状态已经发生了质的变化，原先可以看上去和气，但是这爆发的一刻，恐怕至少怒目相视了，甚至动起手脚，把这个爆发的状态记为F，可以表示为■f（t）＝F。即f（t）是一个变量，但是加上极限符号■之后，■f（t）就是一个极限的状态，是一个确定的量。

（四）尺缩效应

爱因斯坦的广义相对论解释了物体以光速运动，在地面上的人看那以光速运动的物体的长度变短了，这就是著名的尺缩效应。当运动物体的速度不够大时，地面上的人用肉眼是不容易察觉到尺缩效应的，但是它却是真实存在的。这里主要讨论两个变量，一个是速度，记作v，另一个是物体的长度，记作l，速度v是自变量，物体长度l是因变量。随着物体运动速度v不断增加，l不断变小，即l（v）是一个变量。物体的最大运动速度是光速c，当物体加速到光速c时，其长度也达到了极限值■l（v），这个极限值是一个确定的数，记为l0，即■l（v）=l0。

二、极限的求解

以上对极限概念的理解有所帮助，都是通过控制自变量、因变量最终达到一个极限值。但是，要特别提出的是，极限有时存在，有时是不存在的。存在时，极限值是一个确定的量；不存在的时候，又有多种情况，有时是因为极限为无穷大，有时是因为存在两个极限值，即极限不唯一，有时是因为遇到震荡极限。下面将通过具体的例子来说明极限的求解。下面给出的例子，尽量简单明了，更注重的是方法的理解。遇到比较复杂的例子，只要把它们转化成下列各类型加以处理即可。

（一）连续函数求极限

1.特别地，常值函数

■c=c。（其中x0可以是一个有限量，也可以是无穷大量）

例1.■8=8；

例2.■3=3；

2.一般的连续函数

例3.■（x2+3）=3；

例4.■（sinx+1）=2

例5.■（3x-5）=4

（二）自变量趋于无穷大时，多项式比值的极限

自变量趋于无穷大时，求多项式比值的极限，关键看分子和分母的最高次。当分子和分母的最高次相同时，极限值是分子和分母系数的比值；当分子的最高子高于分母的最高次时，极限值为无穷大；当分子的最高次小于分母的最高次时，极限值为0。

例6.■■=■；

例7.■■=∞

例8.■■=0

（三）通分法

两分式之差为无穷大减无穷大时，可以考虑先通分再求极限。

例9.■（■-■）

解：原极限=■■-■

=■■=-■■=-■

（四）消去法

当自变量趋于有限值，函数是零比零时，可以考虑用消去法。这可以和前面所述“2. 自变量趋于无穷大时，多项式比值的极限”做比较。

例10.■■

解：原极限=■■=■■=■

（五）分母有理化与分子有理化

当函数含有根式，极限又不易确定时，可以考虑分子有理化或分母有理化。

例11. ■■-■（运用分子有理化）

解：原极限

=■■

＝■■＝0

例12. ■■（自变量趋于0）（运用分母有理化）

解：原极限

＝■■

=■■=1+■

（六）特殊极限

（1）■■=1型或■■=1型，x的位置可以是一串连续的函数表达式。

例13.■■=1

例14. ■■=1

（2）■（1+■）x＝e型或■（1+x）■＝e型，x的位置可以是一串连续的函数表达式。

例15.■（1+■）x＝■［（1+■）3x］■＝e■

例16.■（1-x）■=■｛［1+（-x）］■｝=e■

（七）无穷小量替换

当且仅当分子和分母都是乘积式的无穷小量时，才可以用无穷小量替换。下列给出一些常用的等价替换公式：

当x0时，x～sinx，x～tanx，x～ln（1+x），x～（ex-1），x～arcsinx，x～arctanx，■x2～（1-cosx），2x～［（1+x）2-1］。

以上x的位置可以是一串具有连续性的函数表达式。实际上，只要能证明两个量是同一过程（即自变量趋于相同的路径）的等价无穷小量，就可以进行等价替换。

例17. ■■

解：因为当x0时，x～sinx，x～arcsinx，所以■■=■■=1。

例18.■■

解：因为当x0时，■x2～（1-cosx），x～arctanx，所以■■=■■=0。

例19.■■

解：因为当x0时，x～ln（1+x），x～（ex-1），且当x1时，（x-1）0，x-1～ln［1+（x-1）］，x-1～（ex-1-1），所以■■=■■＝1。

例20.■■

解:因为x0，所以5x0，7x0，3x0，2x0，则：sin（5x）～5x，arctan（7x）～7x，tan（3x）～3x，（e2x-1）～2x，于是原极限=■■=■■。

（八）洛必达法则

对■或■的比值型极限，可以考虑用洛必达法则。前面介绍的“2.自变量趋于无穷大时，多项式比值的极限”和“7. 无穷小量替换”都可以用洛必达法则求解，对具体的例子可以选择相对简单的方法。

例21. ■■（也可以使用无穷小量替换）

解：原极限■■=■=■=■

例22.■■（也可以使用“2.自变量趋于无穷大时，多项式比值的极限”所介绍的方法，直接给出答案）

解：原极限=■■＝■■＝■■＝■

例23. ■■

解: 原极限■＝■

=■＝■

=■＝6

（九）对数法

对00型，a∞型（其中a是非零常数），∞0型等幂指函数求极限，可以考虑对数法。具体如下。

例24.■（tanx）2x（00型）

解：令：y=（tanx）2x ，则lny=2x・ln（tanx）=■

■lny=■■=■■■=■■=0

于是■y=■（tanx）2x=e0=1。

例25.■x■（2∞型）

解：令：y=x■，则lny=lnx■，于是■lny=■■■■■=2。

即■y=■x■=e2。

例26.■（■）x （∞0型）

解：令：y=（■）x，则lny=-x・ln（5x），■lny＝-■■■-■■=0。

即■y＝■＝（■）x=e0=1

（十）极限不存在的情况

1.极限不唯一

例27.■＝（-1）n=1，n取正偶数-1，n取正奇数，因极限若存在，则必唯一，可见，该极限不存在。

2.极限为无穷大

如前面的例7.■■＝∞和例12.■■＝∞，都是极限为无穷大的情况。

3.震荡极限

经常涉及正弦函数sinx、余弦函数cosx、正切函数tanx、余切函数cotx等三角函数及其连续的混合函数。

例28.■sin（11x） 和■cos■，当x∞时，两者的极限都是震荡的，不确定的。因此极限也是不存在的。

［参考文献］

［1］韩群，宋立温.新编高等数学［M］.北京：冶金工业出版社，2009,（8）.

［2］候风波，李仁芮.工科高等数学［M］.沈阳：辽宁大学出版社，2006,（7）.

［3］李娜.IT职业数学［M］.大连：东软电子出版社，2013,（4）.

［4］侯风波.高等数学［M］.上海：上海大学出版社，2009,（8）.

［5］侯风波.经济数学［M］.上海：上海大学出版社，2009,（8）.