高等数学中的初等方法

摘 要： 初等数学方法在高等数学中有着广泛的应用。从初等数学的角度来思考高等数学中的问题对于高等数学的学习非常重要。这种思维在培养学生观察分析能力的同时，可使学生将所学数学知识融会贯通，提高学生的数学素养。本文通过数道例题对初等方法在高等数学中的应用技巧作一分析。

关键词： 高等数学教学 初等方法 应用技巧

初等数学是高等数学的基础，初等数学的很多知识点在高等数学中有着广泛的应用。因此，在高等数学教学中，教师巧用初等数学的知识与方法，注意引导学生思考例题的初等解法，不仅可以丰富高等数学的教学内容，而且能使学生将所学数学知识融会贯通，提高学生的数学素养。本文通过数道例题，对初等方法在高等数学中的应用技巧作一分析。

一、极限与导数运算中的初等方法

例1：已知：x=，x=，x=，x=，求x。

高数授课传统解法:根据定理“单调有界数列必有极限”，首先证明数列{x}单调递增，然后证明数列{x}有界，最后求极限。

初等方法：利用三角函数中的倍角公式。

解：x==2cos45°

x====2cos

x===2cos

x==2cos

所以：x=2cos=2。

例2：已知：y=，求y′。

高数授课传统解法:利用复合函数求导法则结合除法公式求解。

初等方法：利用对数公式化简后，再运用隐含数求导公式求解。

解：y=

两边同时取对数，得：

lny=［ln（1+x）+ln（1+2x）-ln（1-x）-ln（1-2x）］

两边同时对x求导，得：

y′=+++

即：y′=+++。

上述两例题中，初等方法的应用在拓宽学生解题思路的同时大大简化了高等运算。

二、极值应用题中的初等方法

例3：要求设计一个容量为1升，形状如直圆柱的油罐，什么样的尺寸用的材料最少？

高数授课传统解法:

解：假设材料厚度均匀，则当油罐表面积最小时所需的材料最少。设油罐的底面半径为r cm，高为h cm，则油罐的表面积A=2πr+2πrh，油罐的体积为πrh=1000，我们所需解决的问题是在满足约束πrh=1000的条件下，使总的表面积尽可能小的r和h的尺寸。为了把表面积转化为单变量函数，我们从πrh=1000中解出一个变量并带入表面积函数，

得：A=2πr+2πrh=2πr+2πr（），

即：A（r）=2πr+，r∈（0，+∞）

求导得：A′=4πr-

令A′=0，得唯一驻点r=≈5.42

即，当r≈5.42时，A=2πr+取最小值，相应的h=2r≈10.84。故当所求1升油罐的直径与高相等时使用材料最少，其中h≈10.84cm。

初等方法：利用算术平均不小于几何平均的不等式，即：

≥（当且仅当a=a=…=a时等号成立）

解：A（r）=2πr+=2πr++≥3=300，即：对?坌x∈（0，+∞），A（r）≥300，当且仅当2πr=时等号成立。故当r=≈5.42时，A（r）=2πr+，取得最小值。

例4：通过从一个边长12cm的方形硬纸板的四角切去全等的四个小正方形，再把四边向上折起制作成一只无盖的方盒子，四个角要切去多大的正方形才能使方盒子装得尽可能多？

高数授课传统解法：

解：设切去的正方形的边长为x，则盒子的体积就是变量x的函数设为V（x），则：

V（x）=x（12-2x）=144x-48x+4x，其中0＜x＜6。

求导：V′（x）=144-96x+12x

=12（12-8x+x）

=12（2-x）（6-x）

令V′（x）=0，得定义域内驻点x=2。

所以，当x=2时V（x）取最大值V（2）=128，故最大体积为128cm，切去的小正方形的边长应为2cm。

初等方法：同样利用算术平均不小于几何平均的不等式。

V（x）=x（12-2x）

=・4x（12-2x）（12-2x）

≤

=128

即对?坌x∈（0，6），V（x）≤128，当且仅当4x=12-2x时等式成立。即x=2时体积最大。

总之，初等数学方法在高等数学中的应用是比较广泛的，从初等数学的角度来思考高等数学中的问题对于高等数学的学习非常重要。这种思维在培养学生观察分析问题能力的同时，能使学生将所学数学知识融会贯通，提高学生的数学素养。因此，在高等数学教学中，我们应有意识地加强这方面的训练。

参考文献：

［1］曾庆武.“直观教学”在高职数学教学中的作用.甘肃科技，第19卷，第12期.

［2］张武.反例在高等数学教学中的作用.太原教育学院学报，第19卷，第4期.

［3］关红钧.关于高等数学习题课的教法研究.沈阳教育学院学报，第7卷，第1期.

［4］侯风波.高等数学.高等教育出版社.

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