如何实施数学思想方法教学

摘 要：自20世纪末以来，素质教育已成为国际教育的主潮流，在中学数学中重视数学思想方法教学又是素质教育的一个重要方面. 本文简要介绍了数学思想方法的重要作用及进行数学思想方法教学的途径，并分析了数学思想方法教学应注意的几个问题.

关键词：数学思想方法；归纳法；化归思想；符号思想

义务教育数学新课程标准明确提出：“学生要获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本思想”，进而又指出：“学生要学会独立思考，体会数学基本思想”. 由此可以看出，新课标已经打破了传统只重视具体知识教学而忽视思想方法的教学，转向既注重数学知识，又关注思想方法的教学. 那么，为什么要把数学思想方法作为课程目标？数学思想方法又该怎样来教呢？在教学中应该注意哪些问题？

[?] 数学思想方法的重要性

数学的各分支领域日益发展，在有限的时间内要让学生学会所有的数学知识是不可能的，学生应该学会的是获取数学知识、应用数学知识的思想方法. 正如日本学者米山国藏所说：“唯有数学的思想方法对学生来说是最为受益的”.

1. 数学思想方法是数学创造和发展的源泉

数学的发展史告诉我们，数学思想方法总是存在于整个数学的发展进程之中. 例如，笛卡儿用变量的思想方法创立了解析几何；牛顿、莱布尼兹提出的无穷小量方法，创立了微积分；康托尔的集合思想不仅解决了许多实际数学问题，稳固了微积分的理论基础，而且对数学基础的研究有着深刻的影响.

2. 数学思想方法是数学应用的关键

实践证明，数学在科学技术和社会的各个领域都有着广泛的应用，大到军事、航天事业，小到日常消费，无时无刻不在应用着数学. 数学在各个领域的应用不仅需要数学知识，更重要的是依靠数学思想方法向各领域渗透和移植.

3. 数学思想方法是培养数学能力和数学人才的需要

数学教育的根本目的在于培养数学能力，即运用数学认识世界、解决实际问题和进行发明创造. 而这种能力，不仅表现在对数学知识的一般理解和良好记忆上，而且更主要依赖于对数学思想方法的掌握和运用. 数学史上的诸多重大创造性工作，不仅仅在于这些数学家对数学知识的直接运用，更重要的是他们在数学思想方法上做了创造性的变革.

[?] 实施数学思想方法教学的途径

数学思想方法作为一种隐性的知识，并不是把它单独拿出来讲，而应贯穿于具体数学知识的教学过程中. 以数学知识教学为主体，在具体数学知识的教学过程中，有意识地渗透相关的数学思想方法并使之明确化，从而通过知识传授过程达到思想方法教学之目的. 数学知识的形成过程实际上也是数学思想方法发生、发展的过程. 在具体的教学中，概念的形成、结论的推导、规律的揭示过程等都是渗透数学思想方法的最好时机.

1. 在概念的学习过程中渗透数学思想方法

数学概念的学习包括概念的形成和概念的同化. 概念的形成一般要经历“具体――抽象――具体”的过程. 这是一个从特殊到一般，再由一般到特殊的过程，它是一个先归纳再演绎的推理过程.教师应适时地介绍归纳、演绎推理方法或其他有关方法. 在数学概念的形成过程中，最常用的是“归纳法”. 例如，在子集、n次方根、函数单调性与奇偶性、对（指）数函数、等差等比数列等这些概念的学习中，都运用到了归纳法. 此外，为了帮助学生理解概念，我们往往借助符号和图象，而这也无形之中渗透着数形结合的数学思想方法. 以概念同化方式学习数学概念，往往伴随着某些数学思想方法的运用，例如，由等差数列的概念类比出等比数列的概念；用映射思想定义函数，一一映射思想定义反函数；用函数思想看“数列”等，这不仅可以突破教学难点，促进学生更好地理解概念，更重要的是学生在这一过程中接收到了一些重要的数学思想方法.

2. 在定理（公式、法则）的学习过程中运用数学思想方法

定理（公式、法则）的教学应摒弃以往“告诉――应用”的方式，遵循“过程教学原则”，即命题是怎样提出的，提出来后是怎样证明的，证明之后又是如何应用的. 这一过程包含着各种数学思想方法，教师应适时地、适当地渗透有关的数学思想方法，使其得到应有的体现. 例如，在几何体体积公式的推导过程中，涉及公理化思想、转换思想、类比法及割补转换方法，教师应通过问题解决的思路分析，系统展示推导过程的具体线索，把各种思想方法的作用明确地呈现在学生眼前，学生才能从中领悟到数学家当初的创造性思维. 这对于激发学生创造意识，理解数学思想有着十分重要的作用.

3. 在解题的过程中指导数学思想方法的应用

数学思想方法存在于问题解决的过程中；一个有意义且高效率的解题过程的每个步骤无不体现着数学思想方法的指导作用；数学问题的解决过程就是“综合运用各种数学思想分别解决各个步骤出现的子问题，并最终获得整个问题答案”的过程. 加强解题教学并不是要搞题型训练，也不是搞题海战术. 一方面，通过解题和反思，归纳解题方法，并提炼上升到思想的高度；另一方面，在解题中要充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，突出它对解题的统摄和指导作用. 例如，柯西不等式的证明.

[?] 数学思想方法教学应注意的问题

1. 注重知识教学和思想方法教学的综合与渗透

数学知识和数学思想方法是数学的有机组成部分，二者是相互统一的，在教学中不能将二者割裂开来，但它们也并非是数学知识和数学思想方法的简单叠加. 过多地强调知识的教学，而不注重相关数学思想方法的渗透，学生看到的仅是一副光秃秃的骨架，缺少灵魂的润泽；而单纯地追求数学思想方法的教学，就会犯形式主义的错误，数学思想方法就会缺乏基础的支撑. 因此，在教学中要将数学知识作为主体，在知识的发生、发展过程中有意识地渗透数学思想方法并使之明确化，这样才能在知识的传递过程中实现思想方法的教学. 例如，“代数式”的教学：如图1所示，搭一个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要7根小棒，搭3个正方形需要10根小棒.

（1）搭10个这样的正方形需要多少根小棒？

（2）搭100个这样的正方形呢？你是怎样得到的？

（3）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根小棒？

（4）你是怎样表示搭x个这样的正方形需要多少根小棒的？

在这个过程中，学生从经历搭1个正方形到同时搭2个正方形、10个正方形、100个正方形，再到更一般的情况搭x个正方形需要多少根火柴棒. 这一过程，学生并不是顺利地完成每个问题的，而是经过反复观察，总结归纳出一般规律后并运用字母表示，其中不仅蕴涵着归纳法、观察法、实验法，还体现了从特殊到一般的数学思想和符号思想等. 在第一问时，有的学生可能会通过画图，最后数出来. 这时，教师先不要着急，让学生接着做下一问，在学生开始做时可以提问“这时我们是不是还要把这100个正方形画出来呢？”当然，此时就有学生不同意画的方法了，接着说：“要把这100个正方形画出来，得费多少时间啊！”“我们能不能有其他更简洁的方法？”“我们来看看从搭一个正方形到搭10个正方形所需的火柴个数，看看能不能从中发现什么？”这样，代数式的概念不仅来的比较自然，而且在无形中引导学生运用了观察法、归纳法等数学方法来解决问题，并初步体会了其中所蕴涵的数学思想.

2. 要注重对教材的分析

作为教师，首先要知道教材中都反映了哪些数学思想方法，要站在数学思想方法的高度去审视教材，弄清每一定理的证明、习题的解答、各章节知识点中都反映了哪些数学思想方法，而各种数学思想和方法又都具体反映在哪些知识点上，在程度上有何要求等. 这些不仅要体现在教师的备课之中，更重要的是要在课堂教学上具体落实. 例如“数列”这一概念就集中反映了集合、映射、函数的思想，既可将数列看成是自然数集和某一数集间构成的一一映射，也可看成是某一函数在定义域为自然数集时函数值的集合，而对数列的分类也反映了集合的思想. 可见，“数列”这章集中反映了集合、映射、函数的思想.此外，方程思想、化归思想在数列这章也时常可见.

3. 注重数学思想的提炼与总结