图形的变换范文

图形的变换篇1

关键词：多媒体教学 初中数学 图形变换 应用分析

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1674-2117（2014）06-0112-01

1 创设真实情境，获得新的认知

由形象到抽象是人的思维发展的必然。在初中“空间与几何”相关知识的学习中，学生处于智力快速提升阶段，对于数学知识的学习，教师可以借助多媒体的丰富资源，收集生活中的实例图片，并抽象出数学知识，来进一步引导学生学习。对于图形的学习，从初步认识到最后深入了解并实际应用，这是一个比较漫长的过程。在此过程中，如果只是借助教师的口头传达，或许达不到很好的学习效果，就需要借助多媒体技术，展开比较形象直观的分析，让学生能对图形理解得更加透彻。

图形学习过程，如果只是用形象的语言来进行表述，可能显得苍白无力，语言只是知识的综合总结。在此之前我们需要建立形象直观的图形表述，才能让学生对这个概念理解的更加深刻。像这样借助多媒体精细营造一个实际的生活空间，并采取图形变化的方式演示概念的真实转换过程，就会让学生对图形认识得更加深刻，也提升了学习效率。

2 运用动态展示，促进深层理解

数学知识是对复杂的生活现象的高度总结，它源于生活而又高于生活。根据真实生活中的群体现象或者是形体规律，归纳出一般性的规律。数学知识中的一些概念、原理或者是公式，会让学生觉得枯燥而乏味。而多媒体能将静态的东西动态化，实现对比分析和归纳，在激发学生的兴趣的同时，能有效提高教学效率，促进学生对知识更好的掌握。

例如，初中数学关于点的运动、图形的运动等都是重点内容。在关于这些知识点的学习时，可以通过多媒体技术的动态表现功能，使得学生能够进行直观的分析和理解。用一个例子来分析：正方形ABCD是边长为4，现在有一点P从A点出发，以2cm/s的速度前进，分别经过B、C、D、A，请问：

（1）P在运动的过程中，P到A点、D点的距离PA、PD与时间t有什么关系？

（2）在第一问的前提下，P到AD线段的距离与时间t有什么关系？

（3）形成的APD的面积与时间t有什么关系？

图1 图2

图3

解答：上图多媒体演示图，在P点移动过程中，图形进行了相对应的距离、点到线段的距离如图2、面积的图示演示如图3。学生观察的清晰并且对题目的理解更加深刻，题目解答起来就会更加方便和会计。

在这里，由时间参数我们知道在如下情况：

（1）0≤t≤2时，PA=2t，PD=■；P到AD的距离为2t；APD的面积是4t；

（2）2≤t≤4时，

PA=■，

PD=■；P到AD的距离为2t；APD的面积是8；

（3）4≤t≤6时， PA=■；PD=12-2t；P到AD的距离为2t；APD的面积是-4t+24。

结合多媒体的应用，不管图形经过了什么变化形式，多媒体的强大的展示功能，都能带领学生进行清晰的分析，如Flash演示过程等，让学生对每个变化过程都了如指掌，从而细化了分析过程，也更加明确地了解了题目的解答过程。

3 感悟渐进演变，诱发直观想象

空间平面图形和立体图形的学习，都是初中数学学习知识的关键部分，人的思维过程，能够简单地分析出具体的图形，但是在很多图形进行笼统的摆放之后，却会让人的思维产生混乱。由多媒体的教学让图形变换显得更加清晰，并且带领学生直观地分析出图像的渐变过程，诱发学生的直观想象和分析，促进学生提升解题能力。

有30°的直角三角板在旋转过程中，旋转方式如下，绕直角顶点C点旋转，当A落在AB边上时，设为A'点，求B走过的路径长如图4。

图4

解答：由多媒体展现的旋转过程我们可以清晰的知道，哪些量是相等的，哪些量没变。本题中，CA'=CA，CB=CB'而由这个三角板的特殊性，我们可以知道AA'C是正三角形，并且很容易的分析出旋转的角度也是60°，从而计算弧度长就不困难了。

总结：CAI教学系统是基于多媒体平台上的比较实用的系统，在此学习过程中，可以利用这个学习系统，也就是通过多媒体平台来展开教学。在图形的变换学习中，不管是平移、移动还是旋转，这些过程我们都需要经过仔细的分析和研究，将每个过程通过图像细化出来，才可能得出正常的答案。

4 设置图像模型，解决实际问题

将数学语言中抽象的文字表述归纳概括出数学模型，这样更直观地分析用数学专业语言来分析数字问题与图形问题。开展数形结合的数学学习方法，让数字的精确化与图形的直观化进行更好地融合，促进解题过程的顺利开展。

在初中数学的学习过程中，利用多媒体教学将抽象的问题直观化、将复杂的问题简单化、将变换的问题步骤化，经过分析，从而解决问题。初中的图形问题，是“空间与图形”知识领域的关键问题，也是数学几何知识的起步。利用多媒体技术的先进性，做好初中数学几何知识的教学，提升教学效率的同时，也促进了学生学习到更多的知识和方法，为今后的几何学习奠定良好的基础。

图形的变换篇2

1 平移变换

把一个图形从某一点沿着一定的方向移到另一点，图形的这种移动，称平移. 平移前后的两个图形全等、各组对应点间的线段平行(共线)且相等.

例1 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线ACBD，交点为O，且AC=8cm，BD=6cm，求梯形的高.

2 轴对称变换

把一个图形沿着某一条直线折叠，得到它的轴对称图形叫轴对称变换. 轴对称变换前后的两个图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分.

例4 如图5，正方形ABCD的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.

解析 观察发现，BD、DE、EC三条线段中最长的线段为DE，要证以BD、DE、EC为边构成的三角形是直角三角形，可证BD2+EC2 =DE2，先通过图形变换的方法，把这三边搬到一个三角形中.

3 旋转变换

在平面内把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转变换. 在旋转变换下，旋转前、后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

例6 如图8，在四边形ABCD中，AD∥BC，ABBC，E为AB中点，DECE. 求证：AD+BC=DC.

解析 题中的三条线段分散，且没有具体的长度. 由于 E为AB中点，AD∥BC，ABBC，所以将ADE绕点E旋转180°至BFE处，有F、B、C三点共线，DE=EF，AD=BE，又知DECE，于是CD=CF， 从而得到AD+BC=DC.

图8图9例7 如图9，已知1×2的矩形ABCD，以点D为圆心，AD为半径作AE，再以AB的中点F为圆心，FB为半径作BE，求阴影部分的面积.

解析 AE和BE都是半径为1，圆心角为90°的圆弧，所以AE=BE. 把曲边BCE绕点E顺时针旋转90°，曲边BCE和扇形ADE正好能组成一个边长为1的正方形. 于是，S阴影 =2×1-1×1=1.

例8 如图10，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，过点A作AGBE，垂足为G，AG交BD于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)如图11，若点E在AC延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给予出证明；如果不成立，请说明理由.

图10图11解析 (1)中的OE=OF可以用三角形全等来证明，但利用旋转变换证明比较简便.

因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD，OA=OB，又因为AMBE，所以以点O为旋转中心，把AOF逆时针旋转90°必与BOE重合，所以OE=OF . 显然，(2)中的OE与OF也是相等的. 证明与(1)相同.

4 相似变换

把一个图形按一定比例放大或缩小为另一个图形，这样的图形变换叫做相似变换. 相似的两个图形对应角相等、对应边的比相等.

图12例9 如图12，在ABC中，AD是中线，AB=6，AC=4，求AD的取值范围.

解析 AD与AB、AC关系分散，不好确定AD的取值，把AC、AB缩小或者把AD放大，再把这三条线段转换到一个三角形中来，问题就容易得多. 过点D作DE∥AC，交AB点E，则BDE∽BCA，有DE=12 AC=4，AE=12 AB=3. 因此，AD的取值范围是1

利用图形变换，为学生创造一个可以实验“操作”的学习环境，有助于学生认识和理解问题的本质，培养学生的观察能力、思维能力和灵活解题的能力.

图形的变换篇3

关键词：数学；旋转；解题

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）11-319-01

例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆，若正方形的边长为 ，求阴影部分的面积。

解：连AC、BD如右图，则绕AD中点将图中②逆时针旋转 到图中③，将图中①绕AB中点顺时针方向旋转 到图中④，则原图中阴影部分的面积就和DBC的面积相等，所以图中阴影部分的面积=SSDCB = S 正方形ABCD= 。这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置，从而顺利地完成了计算。

例2、如图⑵所示，在SABC中，AB=AC，∠BAC= ，D是BC上任一点，试说明 。

证法一（非旋转法）：过A点作

AEBC于E，如图⑶，则容易证明AE=BE=EC，又BD=BE-DE，DC=CE+DE，

所以 ， ，所以 = + = ，而在直角三角形ADE中，存在 ，所以 ，这是传统的证明方法。

本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中，而且构成平方和的条件不明显，若利用旋转变换，将BD、DC放到一个三角形中，若这个三角形是直角三角形，则创造 就更能接近所证的目标了。

证法二（旋转法）： 将ADC绕A点顺时针方向旋转 到AEB，如图⑷， 连DE， 易知ADE、DBE均为直角三角形，且AE=AD，BE=DC， 所以在RtEBD中有 ，在RtAED中有 ，所以

例3、如图⑸所示，P为正方形内一点，且PA=1，BP=2，PC=3，求∠APB的大小

解： 如图（6），将SBPC绕B点逆时针旋转 到BEA， 连EP易知∠PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2，在RtSBEP中， ， 且∠EPB= ，在SAEP中 ，又 ，所以APE是直角三角形，即∠APE= ，∠APB=∠APE+∠EPB= + = ，即∠APB为

传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。如图（7），正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。

将CDQ绕C点逆时针旋转90°像图（8）那样，立刻可得QA+AB+BE=2，由APQ周长为2得 PQ=PE，进一步可得CPQ≌CPE，∠PCQ=∠PCE，又∠QCE=90°，所以∠PCQ=45°

又如图（9），ABC中，AB=AC，P为三角形内一点，且∠APB>∠APC，求证：PC>PB。将APB绕A点逆时针旋转成右图那样，不难得到条件∠APB>∠APC变成了∠PQC>∠QPC，从而PC>CQ，由旋转关系，PC>PB。

最能体现旋转法的莫过于下面这个问题了：如图（10），四边形ABCD中，AB=AD，∠A=∠C=90°，其面积为16，求A到BC的距离。通过旋转变换，将图（10）变成图（11），答案可以脱口而出：距离为4！类似的例子可以举出许多，这里不再赘述。

综上可见，正确利用图形的旋转变换可大大提高解题效率，不过在使用这一方法解题时还需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，故这种方法一般常用于等腰三角形，正方形图形中。

参考文献：

[1] 吴秀明.加强基本图形研究，有效实施初中数学图形归纳[J].数理化学习：初中版，2015（3）.

图形的变换篇4

关键词： 基本图形 分解 构造 变换 中考题

直线形、圆形是初中平面几何的一个主要内容，它们的定义、公理、定理和图形，是进一步研究直线形、圆形和其他几何图形性质的基础，因此，我们把这些几何图形叫做“基本图形”。在学习直线形性质时，已初步培养了逻辑推理能力。一个几何命题，由条件（A）和结论（B）两部分构成。证明一个几何命题，是从条件A出发，应用基本图形的性质，推导出一连串过渡结论，从而在此基础上推出结论B，其基本形式为ACDE…B，这里的过渡结论C、D、E、…，都是由一些基本图形的性质得出的几何命题。因此，应用基本图形进行命题转化的能力，表现出逻辑推理的水平，从而说明要提高逻辑推理能力。特别是近几年来，中考几何题突出考查基本图形和基本元素间的相互关系，考查学生对图形的分解、组合、变形的能力，需要学生观察，分析题意，重新构造组合熟悉的基本图形进行计算和推理等。因此教师在平时的教学中应该让学生熟练地掌握一些基本图形及其应用的方法。

从一般的经验来看，有一些重要的例题、习题中常见的图形，它们虽不是课本中定义、公理、定理的图形，而是由基本图形变形得到的，但由于它们在解题中用得较多，亦是研究比较复杂几何问题的基础，这些图形也被当做基本图形而应用。

例如下面是关于梯形的两个基本图形：

图1中将一腰AD平移到BE构成BCE，它含有梯形的两腰，两底角、两底之差。图2中将一对角线AC平移到BF构成BDF，它含有梯形的两条对角线、两对角线和一底的夹角、两底之和。这两个基本图形由于将梯形的主要元素集中于三角形之中，加强了元素间的联系，开拓了解题思路，因而应用颇多。像这样的基本图形，也是我们要熟练掌握的。在明确了基本图形的重要作用之后，对于基本图形的应用，从数学方法考虑，概括为分解、构造、变换三个方面，现逐一加以介绍。

一、分解

有时一个平面几何图形，它的线条纵横交错，局部图形重叠遮盖，基本图形如草里藏珠，令人视而不见，思路阻塞。这时，应根据解题的需要，将复杂的图形进行剖析，并分解出有用的基本图形，或应用它们的性质，或应用它们的联系，以便找到正确的解题途径。由于几何学是研究几何图形性质的学科，因此培养认识几何图形，善于把有用的基本图形分解出来的能力，是一项首要任务。

平面几何证题的基本思路，通俗地讲，一是“从已知看可知到未知（求证）”，二是“从未知想需知到已知”。那么如何看可知?告诉我们应从条件图中看有用的基本图形；又如何想需知?就是从条件图中找需要的基本图形。这里的会看、会找，就是会分解的意识。

二、构造

研究几何题，经常需要给图形添设辅助线，添设辅助线的实质在于构造基本图形，以便将复杂的问题化简，将隐蔽的关系明朗化，将分散的元素相对集中，从而找到一种解题途径。同时，设计基本图形的构造，有时还需配合使用联想、代换、转化等数学思想方法。

例：（2006宿迁市中考题）如图，在?荀ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．

（1）试说明：AEBF；

（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明.

分析：

（1）如图4，延长BC、AE相交于点P，构造基本图形等腰三角形ABE，利用三线合一性质可证APBF；

（2）如图5，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，由两个基本图形ODF∽OAB，PCE∽PBA得比，可知线段DF与CE是相等关系.

说明：解题时在一些问题所对应的图形中，常常缺少基本图形的某一部分，为了利用它的性质，我们应根据问题的需要构造出基本图形。例如例题中通过延长BC、AE构造了基本图形ODF∽OAB，从而问题得以证明。

三、变换

这里所说的变换，是几何变换的简称。平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。应用几何变换解题时，主要是通过运动有关的几何图形，改变它们的位置，或将条件与结论相对集中，使它们的联系明朗化，或在改变图形的位置后，使条件与结论之间出现新的联系，从而易于找到一种解题方法。

例：（2005无锡市中考题）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.

（1）将PAB绕点B顺时针旋转90°到P′CB的位置（如图6）；①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求PAB旋转到P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；

.

②连接PP′，证PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6.

（2）利用旋转变换将PAB绕点B顺时针旋转90°到P′CB的位置，由勾股逆定理可证∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上.

说明：熟练掌握基本图形，掌握住变换的条件、变换的性质，把几何命题中分散的缺乏逻辑性的几何元素通过变换加以有效集中，就能提高应用几何变换法解题的能力。

以上介绍了基本图形的分解、构造与变换，这是应用基本图形的研究直线形、圆形性质的几种基本方法。从智力训练的角度来看，它们是重要的创造性思维活动，有利于培养灵活、独创性等思维品质。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

图形的变换篇5

关键词 轴向变换；图形转换；投影面；轴向；坐标转换

中图分类号 U416 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-（2012）121-0110-01

随着经济的发展、基础设施的建设与土地的大规模开发及生态脆弱地区地质灾害的频发，在以民为本的执政理念指导下，近年来，国家实施了一系列的民生工程。其中，对地质灾害的防治，已从中央电视台的预报中提升到国家战略层面的高度。

在地质灾害的危岩整治工程中，需要对诸如陡崖等地段进行测量。目前的测量实施方法通常有三维激光扫描建模与免棱镜全站仪数据采集进行纵、横断面测量（等高为横、上、下为纵）。但是，如果在其表达方式上，依然采用传统的三维表达模式的话，将产生如下缺陷：

1）进行纵断面测量时，在突出的悬崖部位有可能产生同点（线）不同高，从而在断面图上产生线交叉不便于图形阅读与工程量批量计算的缺陷（表现在地形图上则为等高线交叉）；

2）进行三维激光扫描建模时，一是在突出的悬崖部位有可能产生阴影与重叠，从而不便于图形阅读；二是在工程量计算时其存在竖向截断面的多值性从而影响整治面的连续性。

因此，在危岩整治工程中进行科学的坐标系统建立与实用的图形转换方法，从而达到图形表达直观、工程量计算方便的目的是很有必要的。

本文根据相关工作项目的经验与笔者的相关研究，就基于轴向变换的图形转换方法在危岩整治工程中的应用进行初步的控讨，以期对相关工作与作业人员有所启迪。

1 危岩整治工程对测量成果的工作要求

在危岩整治工程中，对测量工作成果一般有如下要求：

1）测量工作成果的图面表达要便于阅读；

2）测量工作成果的图面表达要利于设计成果的图面加载；

3）测量工作成果的图面表达要利于工程量的计算；

因此，在危岩整治工程中如采用传统意义上的三维坐标系统进行测量成果的表达时，不仅将产生如引言中所述中的缺陷，而且不可能满足危岩整治工程对测量工作成果的要求。

2 危岩整治工程中测量成果图形转换的技术方法

为达到危岩整治工程对测量成果的工作要求，归根到底，就是要将立面表达的测量工作成果，转换为根据危岩段的走向确定的竖向投影面进行图形转换后的图面表达。既将立面表达的测量工作成果转换为将投影面进行旋转后的平面表达工作成果。

为此，需要解决如下技术问题：

1）投影面如何选择；

2）轴向怎样确定；

3）与传统坐标系统如何关联。

2.1 投影面与轴向的确定

将立面测量工作成果转换为平面工作成果，其最基本的工作要求就是选择立面测量的转换投影面与轴向，并使投影面与传统坐标系统建立数学关联，以便于进行坐标的数学转换计算。

对危岩整治工程来说，转换投影面的选择原则是：以危岩段的走向确定竖向投影面的投影轴线方向、以危岩段的朝向确定其另一轴线方向（并不适用于右手法则）；并确定投影面的基准量值。

由于危岩段的走向呈现多样性，因此，其投影面轴线的方向确定要以便于坐标的转换计算与考虑纵横断面的图面幅值大小及立面投影为正值为基本原则。

其基本方法有如下3种：

1）对于接近东西走向的危岩段，如果危岩段面南朝北（北高南低），则其投影面轴线要选择Y向方向且投影面的基准量值要选择危岩段北端的最大X值；其另一轴线方向则要为-X方向（向南）；

如果危岩段面北朝南（北低南高），则其投影面轴线要选择Y向方向且投影面的基准量值要选择危岩段南端的最小X值；其另一轴线方向则要为X方向（向北）；

2）对于接近南北走向的危岩段，如果危岩段面东朝西（西高东低），则其投影面轴线要选择X向方向且投影面的基准量值要选择危岩段西端的最小Y值；其另一轴线方向则要为Y方向（向东）；

如果危岩段面西朝东（西低东高），则其投影面轴线要选择X向方向且投影面的基准量值要选择危岩段东端的最大Y值；其另一轴线方向则要为-Y方向（向西）；

3）对于其它走向的危岩段，则其投影面轴向要选择与危岩段走向一致且与危岩段最近相切的切线；此时，其另一轴线方向要以立面投影为正值确定其方向；其投影面的基准量值要选择靠近危岩段一端且轴向保证危岩段峭壁面投影值为正值的一端为原点。

2.2 坐标转换计算方法

通过上述的投影面选择与轴向确定后，在进行图形转换前，要对测量成果进行坐标转换。坐标转换的基本方法为：

1）对于接近东西走向的危岩段，可将原（X，Y，H）坐标调为（X-X0，H，Y）坐标；其中，X0为原坐标系中的危岩段北端的最大X值或危岩段南端的最小X值；既将原XOY体系坐标转换为了以投影面为基准的XHY体系坐标；

2）对于接近南北走向的危岩段，可将原（X，Y，H）坐标调为（X，H，Y-Y0）坐标；其中，Y0为原坐标系中的危岩段东端的最大Y值或危岩段西端的最小Y值；既将原XOY体系坐标转换为了以投影面为基准的XHY体系坐标；

3）对于其它走向的危岩段，要根据所选择的轴线方向的方位角与选定的原点值，进行坐标的转换计算。其计算的基本参数为：

平移参数为原点的原X、Y坐标值减其给定的基准值；旋转角值为轴线方向的方位角±1800（要根据实际情况确定Y方向）；根据上述参数既可利用相关公式进行坐标转换计算，计算新的坐标

后，将（X，Y，H）坐标再调为（X，H，Y）坐标，既将原XOY体系坐标转换为了以投影面为基准的XHY体系坐标；

2.3 基于轴向变换的图形转换方法

通过上述的坐标转换计算与坐标调换后，既可利用其数据进行图形的编辑，从而达到图形转换的目的。既将立面表达的测量工作成果转换为以竖向截面为投影面的测量工作成果，从而达到直观、便于设计与工程量计算的目的。

此时，在表达形式上要明确如下几点：

1）对纵横断面图，其图形体现为危岩在高程方向上的X（Y）方向向峭壁内外的凹突量值。

2）对建模成果，其图形体现为危岩在高程方向上峭壁内外的凹突形态。

3 结束语

基于轴向变换的图形转换方法是测量成果的不同表达形式，其在实现图形可视化、直观表达等方面具有独到的表达功能，除了在危岩整治工程中大量应用外，在其它诸如立面等测量中亦广为使用。在三维工业、三维文物激光扫描的测量成果表达方面，亦具有广阔的应用前景。

参考文献

[1]常明.计算机图形学[J].武汉：华东科技大学出版社，2009.

[2]杨元喜等.不同坐标系综合变换法[J].武汉：武汉大学学报，2011，6，26.

作者简介

图形的变换篇6

关键词：三维图形变换；矩阵；MATLAB；投影；计算机图形学

中图分类号：TH126.2文献标志码：A

文章编号：1672-1098（2016）02-0036-04

Abstract：A very complex calculation of homogeneous coordinate vertex matrix is needed in 3D graphic transformations. The process of calculation is complicated and obscure. It is very difficult to realize 3D visualization by using the traditional programming language. MATLAB is introduced into 3D graphic transformations. By using its ability of powerful matrix operation and rich graphic processing， we can calculate matrix and output graphic rapidly， and show the method and process of graphic transformation clearly and intuitively.

Key words：3D graphics transformation； matrix； MATLAB； projection； computer graphics

几何图形是CAD系统中的基本元素，无论以何种方式建立的模型，最终都需要转换为几何图形进行显示和输出。几何图形由顶点坐标、顶点间的拓扑关系和组成图形的线面模型共同决定[1]。图形变换是计算机图形处理的基础，是计算机图形学的重要组成部分，图形的处理、显示和形体构造等都需要使用到图形变换。图形变换的实质是对图形顶点的坐标进行变换，这种变换不改变图形各元素的属性和它们之间的拓扑关系，仅改变各点的坐标。

三维图形变换包括比例变换、对称变换、错切变换、平移变换、旋转变换、投影变换和透视变换等基本变换，更复杂的变换可以通过基本变换组合而成。每一个变换都可以表示为矩阵计算的形式，通过矩阵的相乘构造更复杂的变换[2]。在图形变换中需要进行大量的矩阵运算，计算繁琐且变换过程晦涩抽象，使用C语言等传统的计算机语言实现可视化程序设计十分困难。因此在图形

变换中使用MATLAB软件，利用其强大的矩阵运算能力和丰富的图形处理能力，快速准确地进行矩阵计算和图形输出，直观地展现图形变换的方法和过程。

1三维图形变换矩阵

三维空间的点具有三个坐标，可以用矩阵的行向量[x y z]或列向量[x y z]T来表示，称为点的位置向量，点的位置向量的集合构成位置矩阵。矩阵记录了三维空间的形体的顶点坐标信息，可以由此构建三维形体的数学模型。

为了对三维形体进行图形变换，需要引入齐次坐标的概念。将n维空间的点用n+1维坐标表示，即为该点的齐次坐标。例如将点的三维坐标（x， y， z）表示为四维坐标（H×x， H×y， H×z， H），当H=1时为齐次坐标的规格化表示形式[3]。齐次坐标为图形变换提供统一的矩阵运算基础，同时也可以方便地表示无穷远点等通常难以处理的信息。

空间点的三维坐标（x， y， z）使用齐次坐标的规格化表示为（x， y， z， 1）。坐标变换可以对点的齐次坐标集合构成的矩阵进行乘法运算来实现，形如[x’， y’， z’， 1] = [x， y， z， 1]×T，T为变换矩阵，得到变换后的坐标矩阵。三维图形变换就是对图形顶点的坐标进行矩阵变换，变换矩阵T是一个4×4的矩阵，形如abcp

2投影变换的MATLAB实现

在CAD系统的图形显示和输出中，三维形体需要投影到二维平面上，才能将图形在屏幕上显示和打印输出。“投影”是三维形体的二维表示方法，投影变换能够将三维形体投射到平面上，生成二维平面图形。通常使用的投影图主要有三视图、类似“三维”性质的轴测图和立体感强的透视图[4]。通过MATLAB软件进行矩阵运算和图形显示，可以形象直观地展现出变换的过程和最终结果。

2.1正投影变换

在工程制图中需要采用国家标准规定的三视图来表达形体。利用垂直于坐标平面的投射线将三维形体分别投射到三个坐标平面，即为正投影变换，得到形体的主视图、俯视图和左视图。

已知三维棱台的各顶点坐标，使用MATLAB建立顶点的齐次坐标矩阵M，创建棱台的线框模型，根据坐标矩阵M绘制棱台的线框模型，如图1所示。

对棱台的三维模型进行正投影变换得到三视图，主视图坐标变换矩阵为M×TV，俯视图坐标变换矩阵为M×TH，左视图坐标变换矩阵为M×TW。根据图形的大小和位置选择其中l、m、n的数值，在MATLAB中使用变换后的矩阵绘制正投影图，如图2所示。

2.2轴测投影变换

将三维形体连同直角坐标系沿不平行于坐标平面的方向，用平行投影法投射到投影面上所得的图形，就是轴测投影图。轴测图在一个投影面上同时反映出物体三个坐标面的信息，更接近于人的视觉观察习惯，所得图形形象、逼真，富有立体感，在工程设计和生产中常用作辅助图样，用来弥补正投影视图的不足。

正轴测投影变换：以正平面作为投影平面，先将形体绕Z轴逆时针旋转γ角，再绕X轴顺时针旋转α角，然后向V面投影，得到正轴测投影图。其变换矩阵为旋转、投影变换组成的复合矩阵TZ=T旋转×T旋转×T投影：

对棱台的三维模型进行轴测投影变换，得到轴测投影图，正等轴测图坐标变换矩阵为M×TZ，斜二轴测图坐标变换矩阵为M×TX。选择合适的α和γ角度，以及d和f的数值，在MATLAB中使用变换后的矩阵绘制轴测投影图，如图3和图4所示。

2.3透视变换

透视变换产生三维形体在不同视点位置和视线方向下的投影图。透视图从一个视点透过一个平面观察物体，其视线不平行，给人产生一种渐远渐小的深度感。透视图采用中心投影法绘制，将投射的视线与投影平面相截交即得到透视图[5]。通过投影中心将三维形体投影到平面上的变换称为透视变换。为了使透视图立体感强、图像逼真，要先对形体进行平移、旋转等操作，然后进行中心投影，得到逼真的透视投影图。

将形体绕Z轴旋转γ角，再相对X、Y、Z三个坐标轴平移l、m、n距离，然后使用两点透视矩阵进行坐标变换，最后将向V面作正投影，得到棱台的透视图。其变换矩阵为旋转、平移、透视、投影变换组成的复合矩阵TT=T旋转×T平移×T透视×T投影，该矩阵还需正常化后得到透视投影的变换矩阵。

对棱台的三维模型进行透视变换，得到透视投影图，坐标变换矩阵为M×TT。选择合适的γ值以及p、q、r的数值，在MATLAB中使用变换后的矩阵绘制透视投影图，如图5所示。

3总结

三维图形变换包括了几何变换和投影变换等，是计算机图形处理领域中的重要内容，矩阵运算是进行多种图形变换的统一方法。图形变换时需要对三维形体顶点的齐次坐标矩阵进行复合运算，计算过程繁琐且变换过程晦涩抽象，使用传统的程序设计语言实现变换过程的三维可视化非常困难。在计算机图形变换中引入MATLAB工具，利用其强大的矩阵运算能力和丰富的图形处理能力，快速准确地进行矩阵计算和图形输出，清晰直观地展现出图形变换的方法和过程，降低了学习的难度，增强了对图形变换方法的深层次理解，并将研究的重心转移到概念的理解和原理的运用上，有效地提高了系统开发的效率。

参考文献：

[1]王隆太，朱灯林，戴国洪.机械CAD/CAM技术[M].第3版.北京：机械工业出版社，2013：8-200.

[2]刘极峰.计算机辅助设计与制造[M].北京：高等教育出版社，2011：5-150.

[3]姚英学，蔡颖.计算机辅助设计与制造[M].北京：高等教育出版社，2011：10-50.

[4]何援军.投影与任意轴测图的生成――论图形变换和投影的若干问题之二[J].计算机辅助设计与图形学学报，2005，17（4）：729-733.

[5]何援军.透视和透视投影变换――论图形变换和投影的若干问题之三[J].计算机辅助设计与图形学学报，2005，17（4）：734-739.

[6]田秀萍，高慧.三维图形变换的统一矩阵[J].太原理工大学学报，1999，20（2）：130-132.

[7]连瑞梅.三维图形的几何变换及其变换矩阵[J].潍坊学院学报，2005，5（4）：76-78.

图形的变换篇7

一、几何变换的意义

1. 有利于对几何图形的认识

平面几何教学过程中，利用几何变换有助于对平面几何图形的认识和理解。初中平面几何知识多是基础几何，教师可以从基本图形变换过程中体现图形性质，提高学生对基础图形结构特点的认识，加深对图形变换的理解，拓展学生从更高的角度认识和分析几何问题。不仅能够活跃学生思维，也能运用几何变换观点解决平面几何问题，提高平面几何教学质量。

2. 有利于提高观察和推理能力

做平面几何题目时，条件往往比较隐晦，很多学生找不到突破点。其实不然，平面几何比起立体图形往往更为形象、直观、全面，认真观察图形，结合教材知识点利用直观感知能力，正确运用图形翻折、平移变换、旋转变换等使静态图形动起来探索图形特征，往往轻易找到不变量实现顺利解题。所以几何变换的运用很大程度抽象了几何概念、几何方法，开拓了学生创新性思维，提高了学生直观感知能力，激发学生发散性思维和推理能力。

3. 有利于提高学生思维的敏锐性

平面几何题型中，几何元素相对分散、孤立，适当的几何变换可以使几何元素相对集中，容易把握几何元素之间的联系。利用几何图形性质，化一般图形为特殊图形、化不规则图形为规则图形等等逐渐把隐性条件显现出来得以使用，找到不变量和变化量及其关系变化，从而找到解题突破点顺利解题。此阶段中，环环相扣，充分培养和提高了学生思维的敏锐性和灵活性。

二、几何变换的具体应用

1. 平移变换

平移变换中，不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。利用平移图形大小和形状的不变性和图形位置的改变性，能够把复杂问题简单化特别是解决零散图形求值问题。

【例题】如图1，某小区有一块长42m、宽20m的矩形草坪，现要在草坪中间铺设一横两纵三条等宽的甬道，若铺设后草坪的面积为760m2，求通道的宽。

【分析】此类型题目一般解题方法是设甬道的宽为x米，草坪的长为（42-2x）米，宽为（20-x）米，根据总面积减去空白部分的面积，可列以下方程：42×20-2×20x-42x+2x2=760，然后进行求解、检验，但是从解题过程不难看出这样很容易列错式子，解错答案。如果当题目中甬道不是规则图形而是曲形（如图2），这种方法就有局限，式子很难列出来。如果利用平行变换解题，将六块草坪平移拼接到一起形成新的矩形来作答（如图3），问题就变得简单，当然也适用不规则图形。

2. 旋转变换

旋转变换是将图形中某一部分绕某点旋转适当角度的变形模式，是从运动角度理解几何图形的手法。旋转始终保持图形全等，能保持原有图形性质却又能组成新的有利论证的图形。

【例题】如图4，等边三角形ABC内有一点P，PA=1，PB=2，PC=■，求∠APC的度数。

【分析】PA、PB、PC不在一个三角形内，就不能有效的用到已知条件，可以把APC顺时针旋转60°得到AP′B。由于AP=AP′，∠PAP′=60°，不难得到APP′为等边三角形，且由勾股定理易求PP′B为直角三角形，则∠AP′B=∠APC=150°。

通过这道题可以看出，旋转变换可以将分散的线段跟角集中到新的三角形中，起到转化作用。

3. 翻折变换（对称变换）

对称变换就是通过作关于某一直线或点的对称图，对称到另一个位置上，是分散的条件集中。

【例题】如图5，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6，BC=8，求BF的值？

【分析】利用对称变换的性质，可得出ED=AB，∠EBD=∠CBD，易求得∠FDB=∠FBD，得到FB=FD，再由勾股定理易求出BF值。

图形的变换篇8

1、数学里的图形变换，指一个图形(或表达式)到另一个图形(或表达式)的演变。图形变换是函数的一种作图方法。已知一个函数的图形，通过某种或多种连续方式变换，得到另一个与之相关的函数的图形。

2、在具体领域图形变换有着各自不同的意义，比如在计算机图形学中图形变换是计算机图形学的基础内容之一，通过图形变换，可以由简单的图形生成负复杂的图形，可以用二维图形表示三维图形，甚至可以对静态图形经过快速变换而获得图形动态效果等等。另外，图形变换在机械工程、航空制造、计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。

（来源：文章屋网 ）