数值方法范文

数值方法篇1

关键词：最值，换元法，均值定理，几何

 

在科学领域里，实践生活中，我们常会碰到一些有关事件的范围问题，也就是事件的最值问题。当然，在数学的学习当中，也就在必然会遇到很多的最值的求解、研究。她会指导生活中的我们去解决一些实际问题或者说科研问题。这里，笔者就初中数学阶段里的部分最值的求解进行一些回顾、分析。特别是在新课程改革的今天，强调学生能自己探索总结、归纳学习规律，对部分最值的求解利用数行结合，三角形三边关系，三角形内角和定理，不等式的传递性，函数性质等方面进行一些回顾、分析，与学生教师进行交流、探讨，会有一定的帮助的。下面我根据自己十年来对数学教学的体会谈几点看法和大家共同商榷

一、求函数的最值

在最值问题中,以二次函数为内容的最值问题最为常见,有很多表面看非二次函数类型的最值问题通过适当的变换均可转化为二次函数最值问题,因此,首先要熟悉二次函数最值问题的求解方法。其常见方法有:

(1)配方法:形如y=ax2+ bx c(a≠0)的函数,可将它首先配方成y=a(x )2 (a≠0)的形式,再根据x的取值范围与对称轴x=-的位置关系,联系单调性或图象即可确定函数的最值。

(2)分离常数法或反函数法:形如y=f(x)的函数我们可以转化为函数的值域问题来解决。

(3)判别式法:形如y=(f(x),g(x)中至少有一个为二次函数)的函数求最值,可以化为一个系数含y的方程,a(y)x2 b(y)x c(y)=0然后讨论a(y)是否为0。当时a(y)≠0时,若x∈R,则≥0,从而确定y的取值范围,即可确定函数的最值。

(4)换元法:形如y=ax b 以及一些特殊的高次函数或复合函数求最值,通常可以用代数换元或三角换元转化为二次函数等常见函数来予以解决。

(5)重要不等式法:形如y=f(x) 的函数求最值,我们可以利用均值定理来进行求解,但要注意的是“取全正”和“等号成立的条件”,两者缺一不可。

(6)有界性法:这一方法着重用于求三角函数问题的最值。论文格式，几何。形如y=或y=asinx bcosx或y=asin2x bsinxcosx ccos2x等形式的三角函数问题求最值,通常首先进行三角变换化为同名函数y= Asin(ωx )或y= Asin(ωx )或y= Atan(ωx )的形式,然后利用三角函数的有界性来解决。

(7) “夹逼法”求最值: 在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。 例. 不等边三角形 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。论文格式，几何。

二、求解析几何中的最值问题

解析几何中的最值问题是解析几何综合性问题的重要内容之一,常以直线与圆、圆锥曲线等内容为载体,综合考查函数、不等式、三角等知识,涉及的知识点较多,属偏难问题。其常见方法有:

(1)代数法:即先建立一个“目标函数”,再根据其特点灵活运用求函数最值的方法求得最值。

例如:椭圆中心在坐标原点,长轴在x轴上,e=,已知P(0,)到这个椭圆上的最远距离为,求这个椭圆的方程。

解这个题时我们可以首先设椭圆方程为 =1,再设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,联立椭圆方程消去x(或y)可建立d关于y(或x)的函数关系,然后用配方法可求出d的最大值,从而求出b的值,即可求出椭圆方程为 y2=1。论文格式，几何。论文格式，几何。

(2)几何法:是借助图形特征利用圆或圆锥曲线的定义及几何性质来求最值的一种方法。例如:已知x,y满足(x-3)2(y-1)2=1,求的最值。此问题可以转化为在圆(x-3)2 (y-1)2=1上找一点,使它与原点连线的斜率最大或最小。论文格式，几何。

又如:已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为 。论文格式，几何。

此问题可借助抛物线的图像及抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,转化为“在抛物线y2=4x上找一点P,使P到准线的距离与P到Q的距离之和最小”画图可知,过P作准线的垂线,重足为A,当A、P、Q三点共线时,和最小,得解。

应用数形结合（特别是几何体的问题），三角形三边关系，三角形内角和定理（内角和不变而各内角可变），不等式的传递性，二次函数（及图像最低点最高点）等等的性质来解决部分中学数学中的最值求解会有很大的帮助和必要。

当然求最值问题的方法有很多种，以上所列的涉及到的一点有关最值的求解，是笔者在教学过程中的一些自见，可能较浅陋，希望大家能批评指正。

参考文献：

[1]周盛威三角函数最值问题的常见类型及求解策略

[2]刘培达例谈最值问题基本解法的思路

[3]姜继学最值问题的求解八法

 

数值方法篇2

一、直接代入法

直接代入法是当所求代数中有几个字母，已知条件就明确了几个字母的值，我们就采用直接代入法求代数式的值。直接代入法是最简单、最基础的求代数式值的方法。

二、求值代入法

求值代入法是由于所求代数式中字母的值没有直接告诉，但可以通过已知条件求出各个字母的值后再代入求代数式求值。

三、赋值代入法

赋值代入法是由于代数式中的字母没有明确告诉数值，但可以根据条件中的字母间的数量关系，赋予字母一个恰当的数值，使关系成立，再采用直接代入的方法求代数式的值。

四、变形代入法

变形代入法是通恒等变形改变已知条件或所求代数式的形式，使改变后的已知条件形式符合所求的形式，或者改变所求代式的形式符合已知条件形式，从而代入求值的方法。常用的方法有两种：

（一）代简代入法

代简代入法是把条件或代数式化繁为简，再代入化简后的式子求值的方法。此类方法在教材体现较多。

（二）整体代入法

整体代入法是由于代数式与已知条件存在某种关系，如倒数关系、倍分关系、互为相反数关系、平方关系等，根据这种关系对代数式进行恒等变形后，整体将条件代入变形后的代数式求值。

例如：若x2-3x-1=0，求代数式2x3-3x2-11x+8的值。

解：2x2-3x2-11x+8=2x•(x2-3x-1)+3(x2-3x-1)+11=2x×0+3×0+11=11

通过以上几个数学方法的教学，我们从教学中受到启发，初中数学教学过程中，我们不仅仅是指导学生进行演算的问题，关键是要进行思维训练。大科学家钱学森说过，人的聪明才智主要是通过思维训练来达到。钱学森还说过，思维是智慧的核心。在初中数学教学中，因此我们要结合数学教学积极地开展思维训练。以下我们可以举一些例子加以说明。

第一，在数学教学中，开展积极的集中思维训练。所谓集中思维训练，就是在一个集中的问题提出后，围绕这个问题，从多方面，多角度，多层次地展开思考。通过教师之引导，把这个问题让学生弄清楚，弄明白。比如：讲数学中的几何图形问题，当然也涉到计算问题。数学教师首先提出几何问题。这时，数学教师可以从画图说明，可以举出图形的具体实物，可以让学生上黑板去画出图形，也可以让学生举出图形的具体实物等等，让学生去理解什么是几何问题，集中解决学生对几何问题的认识。通过数学中集中思维的训练，培养了初中学生多个方面，多个层次对一个集中的重点问题之认识。

第二，在数学教学中，积极地开展发散思维训练。笔者认为，从一个总的问题出发，一个分支问题，一个小的问题去认识这个总的问题，问题让学生弄明白了，这就达到了发散思维训练之目的。圆是一个总的概念，总的问题。教师为了让学生解决认识问题，可以从圆出发，派生出无数问题，让学生一个小点，一个小点去认识。这些以圆为中心，分派出的无数个小问题，实质上就是发散思维。数学教师通过发散思维之训练，培养学生围绕一个问题一个点一个点的发散分析问题之能力。

另外，在数学教学中，还应积极开展逆向思维训练，积极开展顺向思维训练，积极开展综合思维训练。

数值方法篇3

【关键词】航测数据；处理；空间插值方法；比较

一、前言

作为航测数据处理中的重要工作，其中空间插值方法的比较在近期得到了有关广泛关注。该项课题的研究，将会更好地提升空间插值方法的应用实践水平，从而有效优化航测数据处理工作的整体效果。本文从概述相关内容着手本课题的研究。

二、概述

本文研究数字高程模型的内插方法，并不是要去研究出新的更适合的内插算法，也不是说明如何探索待插值数据的各种特征以更好的进行内插，也不单单是分析更适用于某一个区域数据的内插模型，而是通过同一种插值方法对不同采样数据的插值以及同一个采样数据使用不同的插值方法进行插值，对其结果进行分析比较，得出各种插值方法在不同环境下的精度以及其适应性。

从本质上说，插值问题，包括数字高程模型内插，是人们利用已知信息的规律所做出的对未知数据的一种猜测。这种猜测并不可能与真实情况完全一致，肯定存在一定的误差偏移。既然误差是不可避免的，那该如何在生产中减少这种误差？能否根据已知的数据情况选择出一种适合该插值领域的内插方法？各种内插模型的插值结果又有多大的区别？同一种内插模型在不同采样数据情况下，插值结果又会如何？本论文在对数字高程模型内插问题中各种内插方法的精度与适应性的对比，因此文中会通过自编程序运算大量的采样数据，用几种插值方法对同一组数据进行插值和对不同采样间隔的数据进行插值，还会对两种地形的采样数据使用不同插值方法进行插值，然后将它们的插值结果进行对比和分析，得出有意义的结论。

三、航测数据生产流程及关键技术

1.资料准备

航摄资料如航摄底片、控制点资料、相关的地形图、航摄机鉴定表、航摄验收报告等应收集齐全；对影像质量、飞行质量和控制点质量应进行分析，检查航摄仪参数是否完整等。

2.影像扫描

根据航摄底片的具体情况，设置与调整扫描参数，使反差适中、色调饱满、框标清晰，灰度直方图基本呈正态分布，扫描范围应在保证影像完整（包括框标影像）的前提下尽可能地小，以减少数据量。影像扫描分辨率根据下面公式确定：影像扫描分辨率R=地面分辨率/航摄比例尺分母。

3.定向建模

自动搜寻框标点，放大切准框标点进行内定向，对定向可由计算机自动完成，人机交互完成绝对定向如不符合要求，需重新定向，直至符合限差要求。检查定向精度，需满足要求；相，完成定向后需检查坐标残差。

4.数据采集

（一）立测判读采集，需严格切准目标点，要求按中心点、中心线采集的要素，其位置必须准确，点状要素准确采集其定位点，线状要素上点的密度以几何形状不失真为原则，密度应随着曲率的增大而增加。每个像对的数据必须接边，自动生成的匹配点、等视差曲线或大格网点、内插的小格网点均需漫游检查，保证其准确性，为提高DEM精度，需人工加测地形特征点、线和水域等边界线。

（二）采集的数据应分层，进行图形和属性编辑，矢量数据线条要光滑，关系合理，拓扑关系正确，属性项、属性值正确；利用DEM数据，采用微分纠正法对影像重采样获得DOM数据。

（三）DEM和DOM数据需进行单模型数据拼接，检查拼接处接边差是否符合要求。

5.元数据制作

可由相应的专业软件进行计算输入各属性项中，无法自动输入的内容由人工输入

四、插值流程及插值检验

实验采用的插值流程为：第一步先从研究区域30948个样本点中随机选取30%（9285个）样本点作为误差检验点（先假设误差检验点的值未知），对剩下70%（20663个）样本点进行插值，每种插值方法都采用遍历法，逐个调整参数进行插值计算得出插值预测值，并利用30%样本点与所得到的预测值进行验证，得出各插值统计分析结果；第二步选取每一种插值模型的最优参数设置；最终将所有插值方法的最优结果组合进行综合评价与分析，通过采用验证方法及插值分析，从中选择最优的插值方法。

插值检验的方法主要有交叉验证和验证方法，即预留一个或多个数据样点，然后对该数据点做出预测，然后计算所有估计值与实测值的误差，以此来判断估值方法的优劣。交叉验证首先使用全部数据评价自相关模型，然后逐一删除每个数据点，并预测该点的值。验证方法首先删除部分数据（称作检测数据集），然后使用剩余的数据（称作训练数据集）研究趋势及预测的自相关模型。

五、对空间插值方法比较的几点思考

1.双线性插值法

在地形平坦的地区，该方法能够得到不错的插值结果，但是在地形起伏变化大的地区，由于该方法仅采用4个格网点来进行计算，所以会存在忽略了格网内部地形的突变这一种特殊情况。

2.反距离加权插值法

该方法在复杂地形的插值精度要远远不如在平坦区域时的插值精度。反距离加权法一般不会直接运用在内插运算上，往往是用来定权去求解复杂的方程组。

3.二次曲面法与三次曲面法

在丘陵和山地地区，使用二次曲面移动面拟合插值法和三次曲面移动面拟合插值法是最好的，二者之间不相伯仲，鉴于偶然误差和选取参与运算的采样点个数不同，虽然表中二次曲面法的插值结果中误差比三次曲面法的要小，但实际上三次曲面更能体现出复杂地区的地形特征。

在经过上面的理论基础研究和实验，本人还得出了如下的理解：

（一）从反距离加权插值法的性质可以看出，空间上距离越靠近的点，它们之间的相关性就越大，而距离越远的点，它们之间的相关性就无限趋近于零，这是空间数据插值的理论假设基础，正因为如此，才形成了各式各样的插值算法。

（二）一般情况下，采样点数量越多，那么插值结果就越精确。可是当其达到一个界限值时，采样点数量对插值精度的提升效果会大大减少，并且会加大计算量和采样数据的容量，为操作人员处理数据带来了一定的困难。所以一般参与运算的采样点数量为解算某插值算法参数所必要的点数的1～2倍。

（三）在选择采样点时，在点间距离不大的情况下，应该优先选择分布均匀的采样点，而不是盲目地选择距离插值点最近的采样点。这样才能提高插值结果的精度，否则会难以反映待插点在整个区域的空间分布特征或者使插值结果产生严重的错误。

（四）在如今的数字高程模型内插研究中，并不存在一种能适应任何情况的“最好”的插值方法，每一种插值方法都有它适用的范围。上述数据也只能体现出这些内插算法对于该地表区域的插值结果精度，并不能代表不同的地表都能得出上述一模一样的结论。如何选择当前插值区域中最好的插值算法，就要依靠操作人员的实际经验，针对插值区域的特征，以及通过大量的实验对比，才能找到最佳的算法。

六、结束语

通过对航测数据处理中空间插值方法比较的相关研究，我们可以发现，该项工作的顺利开展，有赖于对其多项影响环节与因素的充分掌控，有关人员应该从航测数据处理的客观实际要求出发，研究制定最为符合实际的空间插值方法应用方案。

参考文献：

[1] 万芳，高淑芬，王光明等.影像压缩为数字摄影测量产品应用带来的扩展[J].地理空间信息.2010（01）：88-89.

[2] 周姿.专题数据库建设探析[J].科技创新导报.2010（02）：112-113.

数值方法篇4

关键词：数值仿真；工科课程；应用研究

数值仿真是一类基于计算机求解，针对实际工程问题采用仿真模拟，从而进行数值实验的方法，已成为与实验研究、理论研究相并列的研究科学问题的必备方法。基于数值仿真，可通过图像显示所研究问题发生的物理、化学过程，如天气预报中，即可通过计算机仿真的方式预测某地区的温度变化过程，具有直观性强、成本低、可研究问题范围广的优点。如今，数值仿真方法已被应用于力学、机械工程、能源动力工程等工科类专业课程教学中，为复杂或不易开展的实物实验提供数值实验途径，加深学生对课程中复杂的物理、化学原理的理解。

一、数值仿真应用于工科类课程理论教学的具体方法与特点

数值仿真是利用数值计算原理与计算机求解技术开发出的现代科研方法。基于所求解问题的物理、化学原理，采用有限元等数值分析方法，将连续的物理、化学问题离散求解，获取所求解对象的物理、化学量分布特性。目前，数值仿真方法广泛应用于科学研究，如高温燃烧热场的温度分布、高超音速流动的流场压力分布、天气温度预测等。在工科类课程教学中，由于理论、概念多，物理、化学过程复杂，常制约着学生的理解，而数值仿真方法可通过图像显示的方式展示所研究问题发生的物理、化学过程，具有可操作性强、结果显示直观的特点，因此，可将数值仿真方法引入工科类课程教学，提升学生对课程知识的理解。一般的数值仿真过程分为预处理、求解、后处理三部分，学生在掌握基本数理知识的基础上，即可理解数值仿真的基本流程。在预处理中，需建立所分析问题的几何模型，并给定求解条件。例如，分析钢结构塔在承受一定重量时是否具有足够的强度，需首先基于分析软件建立钢结构塔的外形几何模型。在求解环节，基于数值计算方法，利用分析软件中求解仿真模型以获取需掌握的物理、化学量。在后处理环节，完成分析结果的可视化，以图像形式直观展示分析结果，如天气预报中展示的温度云图，即是后处理结果。在工科类课程中，涉及大量有关物理、化学现象的理解，而某些环节无法通过直观实验复现，也无法通过理论分析获得结果，对学生的理解带来困难。例如，在锅炉设计中通过改进折焰角的尺寸，即可优化锅炉炉膛内部的燃烧热场，而炉膛内部燃烧的温度无法通过理论计算获取，也无法直接进行实验测试，但可基于数值仿真获取其燃烧温度分布图，直观展示折焰角尺寸调整对热场分布的影响，有利于学生通过实践操作，获取分析结果，加深理解。

二、数值仿真应用于理论教学的具体实例———材料力学弯曲应力求解教学

材料力学是机械、土木、能源等工科类专业的必修专业基础课程，是结构设计的必要基础，基于材料力学基本原理，可分析部件的强度、刚度及稳定性，为工程结构设计提供指导。材料力学中的杆件弯曲问题是重要的教学知识点，当矩形截面杆件受弯时，杆件横截面上的正应力呈线性分布，在横截面上、下边缘正应力最大，在中部中性轴处最小。在理论求解中，需首先根据给定约束条件与外部受力特点，分析杆件受到的弯矩，然后利用理论公式求解正应力。弯曲应力求解为材料力学中的重点与难点内容，区别于杆件的轴向拉压与扭转问题，弯曲问题的应力分布更复杂，学生在学习时不易获取直观理解，故可借助数值仿真方法。利用受力求解的数值仿真软件，在预处理环节，首先建立杆件的几何模型，根据求解要求设置约束，其后在给定位置施加受力，最后，指定杆件所使用的材料并由数值仿真软件自动完成求解。该问题为静力学求解问题，求解精度较高。在完成求解后，进入后处理环节，在该环节可通过软件直接显示梁在弯曲作用下的变形，也可以通过图像显示梁的应力分布。藉此，直观清晰地向学生描述了相关力学概念，展示了复杂的受力情况，使学生对课程理论学习产生更直观的认识，既提升了学习兴趣，又进一步加深了对课程内容的理解。

三、数值仿真应用于理论教学的结论

利用数值仿真方法，可以直观、清晰、准确地显示复杂物理、化学现象的发生过程，而工科类课程中涉及大量物理、化学概念的讲解，引入数值仿真教学环节，不但有助于学生深入理解相关概念，提升对课程的掌握程度，还有助于学生基于数值仿真的现代工程分析方法，提升学习兴趣与创新思维能力、理论学习水平与工程实践能力，培养早期科研思维，助力学生今后发展。

数值方法篇5

关键词：函数；值域；教学方法

中图分类号：G623 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）22-0100-02

一、求二次函数式在自然定义域上的值域，一般将函数式y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x-m）2+n的形式，这里m=-■，n=■。化成这种形式体现两个优点：①知道图象的顶点坐标（m，n）、对称轴及函数最值；②函数的两个单调区间为（-∞，m]、[m，+∞）。这样，若a>0，其值域为[m，+∞）；若a

求二次函数式在限定区间D上的值域，先考察顶点横坐标m与区间D的关系。如果m∈D，那么一个最值就是n，再通过考察区间D的两个端点对应的函数值就能确定值域；如果m？埸D，那么D必是函数的单调区间，利用单调性就能求出值域。

二、化归思想――通过替换或变形等方法把函数转化为基本函数式或基本函数有联系的形式，进而利用基本函数的图象和性质确定出值域

【例1】：求函数y=■的值域。

分析：此函数式分母变化，分子为常数，其外形就是幂函数y=■，

因此，可通过替换化归为幂函数后就可求出值域。

解：设x2-3x+2=t，则y=■

因t=（x-■）2-■≥-■且t≠0，

如图可知y≤-4或y>0，函数的值域为（-∞，-4]∪（0，+∞）。

【例2】：求函数y=（■）-x■-4x+5的值域。

分析：此函数式底数为常数，指数变化，外形就是指数函数y=（■）x。因此，可化归为指数函数后，就能求出值域。

解：设-x2-4x+5=t，则y=（■）t。因t=-（x+2）2+9≤9，而y=（■）t是减函数，y>（■）9=■，即函数的值域是[■，+∞）。

三、方程思想――一个函数式实际上就是关于自变量x与函数值y的方程，而根据函数的定义可知，这个方程必关于x有解，因此有时我们把函数式变形为关于x的方程后，利用方程有解的条件建立关于y的不等式关系，从而求出值域

【例3】：求函数y=log2ax+2logax+2的值域。

分析：把函数式视为关于x的方程，则这个方程关于x有解，因为x∈（0，+∞），所以logax∈R，这样把函数式看作关于logax的一元二次方程，那么这个方程恒有解，利用一元二次方程有解的条件就能求出值域。

解：因x>0，logax∈R，设logax=t，则函数式可变形为t2+2t+（2-y）=0 由Δ=4-4（2-y）≥0解得y≥1，故函数的值域是[1，+∞）。

四、制约思想――自变量x与函数值y相互依存又相互制约。

【例4】：求函数y=■的值域。

分析：由于y受sinx的制约，而sinx∈（-1，1），因此从函数式解出sinx=f（y），通过-1≤f（y）≤1可求得值域。

【例5】：求函数y=■的值域。

分析：由于y受x2的制约，而x2≥0，因此从函数式解出x2=f（y），通过f（y）≥0能确定值域。

五、几何思想――几何思想即数形结合思想，通过作出函数的图象或根据函数式所表示的意义画出相应图形，进而求出值域

思路一：画出函数的图象，可观察出值域。思路二：由于|x-3|-|x+1|表示数轴上的点到3的距离与到-1的距离之差，因此，通过数轴可知值域是[-4，4]。

【例6】：求函数y=■的值域。

分析：因为函数y=■的几何意义为两点P（-2，0），Q（cosx，sinx）连线的斜率k，而点Q在单位圆x2+y2=1上（如图），

易求得-■≤k≤■值域是[-■，■]。

六、注意留意基本不等式即函数的单调性

【例7】：求函数y=x（3-2x），0

解：把函数式变形为y=■（2x）（3-2x），因为2x，3-2x均为正值，所以y=■（2x）（3-2x）≤■[■]2=■，（x=■时取等号），又y>0

故函数的值域是（0，■]。

除以上基本思想方法外，要注意考察奇偶性与周期性。如果是奇函数或偶函数，我们只求正区间或负区间上函数值的范围，根据对称性就能确定值域；如果是周期函数，只求一周期区间上的值域。

总之，求值域是个较困难且较为灵活的问题，需灵活运用所学，灵活解决。

参考文献：

[1]史海平.一类函数值域的新求法[J].数学教学通讯，1989（05）.

[2]方亚娜.函数值域的求法[J].甘肃教育，1998（11）.

[3]李建标.关于函数值域的概念及其应用[J].中学教研（数学），2005（03）.

数值方法篇6

关键词： 特殊角三角函数值 数形结合 函数图像 函数单调性

高一下学期一开始，教学内容就进入了三角函数。这一节公式很多，需要记忆的东西很多，但是只要学生能够每天定时定量地练习题目，公式自然能够熟练应用，而且烂熟于心。而且学生本身对公式也比较重视，因为公式的各种灵活运用，能够激发学生的兴趣。他们做完一道题目之后，会互相讨论，看还有没有其他方法。这源于笔者平时在教学过程中不断地鼓励学生去思考、去总结，不但要学会，而且要会学；把新课标强调的“提高学生自主学习能力和探究学习能力”这一思想。尽管公式学生已经很熟悉了，但是仍有学生会在三角函数的题目上卡住。为什么呢？因为这一节还出现了大量的特殊角，如30°，45°，120°，甚至还有75°。学生觉得特殊角不如公式灵活，只能去死记硬背。因为对特殊角不熟悉，导致他们看到，却不知道这就是tan60°；看到cos120°，还要苦想该用哪个诱导公式来诱导。虽然他们不止一次地体会到特殊角的重要性，但是他们仍不能接受硬背这样传统的学习方法。随着高一课程的结束，高二的解析几何、立体几何中仍旧会出现这些特殊角。现在学生若是没有记住，到了高二的时候怎么办？

针对这个问题，笔者查阅了很多资料，大概是这个问题基本都是靠硬背来解决，因此所能找到的资料甚少。一个偶然的机会，笔者看到学生在算sin30°的时候，画了一个30°的直角三角形，很显然这个方法不能解决sin210°，但是笔者还是表扬了这个学生，因为他在想办法解决问题。这个发现使笔者体会到，通过高一上函数部分的强化，学生现在已经有了画图解决问题的思想，能不能用数形结合的办法来解决这个一直让学生比较头痛的问题呢？其实学生在特殊角这部分暴露的问题很明显，对［0，90°］范围内的角度接触时间较久，比较熟悉，只是对高中阶段才推广的“大”角比较陌生。通过跟学生共同探讨，笔者发现以下几个方法比较适用。

一、利用三角函数图像

y=sinx， y=cosx， y=tanx的图像，在教材里面有三节内容，对它们的图像和性质研究是三角函数部分的重点内容。因此，若学生产能够画出它们的图像，不要说cos150°，哪怕是sin225°，或者是更大的角，也能够一眼看出。但这种方法的前提条件是，学生必须得记住这三个三角函数图像。

二、 利用直角坐标系

以sin225°为例，在平面直角坐标系中，画出225°所在的终边，再做出它的延长线，这样在第一象限内就出现了一个以它的延长线为终边的角，而此时学生就可选取非常熟悉的45°为此延长线的代表角。接下来做的事情，只需在延长线上取点P（x，y）。由图像可知，两线关于原点对称，故此，两线上的点的纵横坐标均互为相反数，则在原线上可以作出P点关于原点的对称点P′（x，y），由任意角三角函数的定义即可得出sin225°==- =- sin45°=- 。通过刚才的推导过程，也可以得出这样的结论：若两角的终边关于原点对称，则它们的正弦值（或余弦值）互为相反数。这个结论的得出，让学生知道了第三象限的角与他们熟悉的［0，90°］的角的关系，自然他们想到了第二象限和第四象限。

通过刚才的推导可知：若两角终边关于y轴对称，则它们的余弦值互为相反数，正弦值相等。从另一个方面来看，这两个角为互补的关系，所以刚才得出的结论也可叙述为：互补的两角正弦值相等，余弦值相反。第四象限的角推导过程与上述过程类似。通过作出其关于x轴的对称轴可知：若两角终边关于x轴对称，则它们的余弦值相等，正弦值互为相反数。

综上可知，若要解决特殊角的三角函数值，只需要在坐标系中，画出它的终边所在的位置，通过做它关于原点（或x轴、或y轴）对称线，找出第一象限我们非常熟悉的角，判断出符号即可。

三、利用函数单调性

对于某些连［0，90°］都记不住的学生，除了用本文一开始提出的画特殊三角形以外，还可以利用三角函数本身的单调性。由于特殊角的三角函数值只有几个数值：0，，，，1，联系y=sinx在［0，90°］内单调递增，故对号入座，sin0°=0，sin30°=，sin45°=，sin60°=，sin90°=1，相应余弦值则可通过直角三角形里得出的结论，互余的两角正余弦值互换得到。对于数值比较麻烦的15°和75°，我们可以通过构造成两角和或两角差的方法，快速算出它们对应的三角函数值。

笔者提出了这几个方法后，很多学生都不再觉得特殊角三角函数值很难背了。究其原因，是在笔者提出的方法的基础上，他们非常熟练地运用函数图像、函数单调性等函数知识。这些方法中所涉及的数形结合思想，锻炼了他们的数学思维能力，记忆的过程也成为了他们思考问题的过程。学生觉得学有所得，学有所用，这些特殊角三角函数值的记忆过程不再是枯燥无趣的几个数字，而是生动形象的图像、函数知识。而且，在这一过程中所涉及的数形结合方法，其本身就是高中数学阶段重要方法之一。

参考文献：

［1］刘瑞华.数学教师从哪儿入手指导学生“会学”.中学数学教学参考，2009，4，中旬.

数值方法篇7

关键词：数值计算方法；结构动力学

中图分类号：TU311.3文献标识码：A文章编号：

一、数值计算方法在结构动力学的应用

结构动力学是一门研究结构在动力荷载作用下结构的反应。其中许多问题涉及到用有限自由度来代替无限自由，问题及其复杂，想得到解基本上很难，要么就花费许多时间，进入采取数值计算方法来求解并结合计算机编程来实现[1]。

下面就动力反应数值分析方法来简要说明一下：

（1） 求结构在动力荷载作用下的反应时，要求特征值，由于行列式及其复杂，求特征值就必须用到数值计算方法中的Jacobi迭代法、Gauss-Seidal迭代法，一步一步迭代来接近精确解，由于手算很麻烦，一般编一个程序通过计算机来完成。

（2） 中心差分法基于有限差分代替位移对时间的求导，（即速度和加速度）。如果采用等时间步长ti=t，则速度和加速度的中心差分近似为：

（1）

（2）

（3）

（3）对于结构的位移与受的力的关系不成线性变化时采用变刚度迭代法,但是变刚度法有一个缺点是要反复修正刚度矩阵；这时就要用迭代方法的熟练条件来判断刚度阵的病态问题。如果第k步误差与前k-1步误差的总和之比小于一个给定的小量ε时，则认为迭代收敛，达到要求的精度，停止迭代计算。

二、举例编程

运用MATLAB求解这个问题时，一般要经历建模和编程两个过程，只有在建模正确的前提下，方能得出正确的结果。下面举例说明单自由度体系有阻尼振动。

1. 建立计算模型

由动力学可知，单自由度体系有阻尼自由振动的振动方程为：

（4）

可以转化为：

（5）

其中，，，那么运动方程的解为：

（6）

其中，，，，x0表示初始位置，ν0表示初始速度。

现在，分别设ξ从0.1到1，公共参数ωn=1，x0=1，ν0=0，计算的终止时间tf=2。试求运动方程的解，并画出波形。

2. MATLAB编制解算程序

编写M文件C11L1.m如下：

%首先清空MATLAB的工作空间

clear;

%给定初值

wn=10;

tf=2;

x0=1;

v0=0;

%计算不同的ξ值所对应的振型

for j=1:10;

eta(j)=0.1*j;

wd(j)=wn*sqrt(1-eta(j)^2);

%求振幅A

a=sqrt((wn*x0*eta(j)+v0)^2+(x0*wd(j))^2)/wd(j);

%为了求四象限相位角调用函数atan2

phi=atan2(wd(j)*x0,v0+eta(j)*wn*x0);

%设定自变量数组t

t=0:tf/1000:tf;

%求过渡过程

x(j,:)=a*exp(-eta(j)*wn*t).*sin(wd(j)*t+phi);

end

%在同一个图形窗口中绘制不同的ξ值所对应的振型

plot(t,x(1,:),t,x(2,:), t,x(3,:),t,x(4,:),...

t,x(5,:),t,x(6,:), t,x(7,:),t,x(8,:),…

t,x(9,:),t,x(10,:))

grid on

%新建一个图形窗口，绘制三维网格图

figure

mesh(x)

>>

程序的运行结果如图1和图2所示，曲线放映出不同的ξ值对图有振动模态的影响。图2是其三维图形。

图1不同的ξ值得固有振型

图2不同ξ值得固有振型三维网格图

从三维图中可以形象地看出ξ对固有振型的影响，如果改变初始条件令x0=0，ν0=1，即给定一个初始速度，其运动曲线实际上就是系统的脉冲过渡函数，如图3和图4所示。由于脉冲函数的幅值无穷大，而持续时间和是无穷小，其面积是一个单位，因此，脉冲激励的最后效果是：可在处形成一个单位的初速度ν0，由它产生的波形就是脉冲过渡函数。

图3脉冲函数不同的ξ值的固有振型

图4脉冲函数不同的ξ值的固有振型三维网格图

三、结语

（1）在试验数据采集与录入过程中，数据格式不一定能以表格形式绘出，部分数据也需要取舍，采用Matlab文件输入输出方面的函数及矩阵运算功能，可以使成千上万的数据处理方便迅速地完成[2]。

（2）通过本次试验研究表明，Matlab强大的功能可以使研究人员的精力集中于试验分析本身，而不在算法上，从而节省了大量宝贵时间，提高了研究工作的效率，由于其功能强大，在很多方面还未有效地利用Matlab，因此，有待继续探索研究[3]。

参考文献：

[1]关文阁, 杨黎萌, 魏翠玲. 应用MATLAB计算结构自振频率和振型的一种方法[J]. 河北工程学院学报, 2005, 12(4): 5-7.

[2]方开泰, 金辉, 陈庆云. 实用回归分析[M]. 北京: 科学出版社, 1988.

数值方法篇8

一、巧用和为零或积为零的性质

例1(2013年湖南永州)已知(x-y+3)2+2x+y=0,则x+y的值为

A. 0B. -1C. 1D. 5

解析因为2x+y≥0，(x-y+3)2≥0,

而(x-y+3)2+2x+y=0，

所以x-y+3=0，2x+y=0，

解得x=-1，y=2，

所以x+y=1.选C.

评注此类试题根据“若干个非负数的和为零，则每一个非负数均为零”的性质，求出已知式中各字母的值，再求代数式的值.

二、巧仿公式变形

例2已知x-y=6，xy=-4，则x2+y2=.

解析x2+y2=(x-y)2+2xy=62+2×(-4)=28.

评注解本题采用了巧对求值式作适当变形化为一个完全平方式与一个整式和的形式，再整体代入，从而达到简化求值的目的.此法关键是能对符合条件的题设或求值式作适合乘法公式形式的变形.

三、巧用分数性质凑公式计算

例3若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=.

解析此题若直接代入求值，则运算量比较大，容易出错.若注意到所求值的式子的特点，运用运算的基本性质进行恒等变形，则使问题简化.

a2+b2+c2-ab-bc-ca

=12(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)

=12［(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2］

=12［(1990-1991)2+(1991-1992)2+(1990-1992)2］=3.

评注解本题的关键是恒等变形所求值的式子，并且要凑成符合公式的形式.

四、巧取倒数求值

例4已知a，b，c为实数，且aba+b=13，bcb+c=14，acc+a=15.求abcab+bc+ca的值.

解析因为aba+b=13，bcb+c=14，acc+a=15,

所以a+bab=3,b+cbc=4,a+cca=5,

即1a+1b=3,1b+1c=4,1a+1c=5，

三式相加，得2(1a+1b+1c)=12,

所以1a+1b+1c=6.

先求abcab+bc+ca的倒数.

ab+bc+caabc=1a+1b+1c=6，

所以abcab+bc+ca=16.

评注本题根据已知条件的特征，将已知条件取倒数，使问题更为简化，对所求值的式子进行取倒数，与已知条件的倒数接轨，从而使解题更为简便，迅速.

五、巧用有理化因式

例5已知a=5-1，则2a3+7a2-2a-12的值等于.

解由已知得a+1=5，两边平方得(a+1)2=5，

所以a2+2a=4.

于是2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12

=2a(a2+2a)+3a2-2a-12=8a+3a2-2a-12

=3a2+6a-12=3(a2+2a)-12=12-12=0.

评注本题属于题设是无理数的多项式求值问题，若按常法直接代入则效果不佳，而恰当地运用有理化因式进行处理，则收到事半功倍的效果.

六、整式相乘整体代入

例6已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2，ax+by=5，则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=.

分析本题已知给出了ax+by=5，可思考整体代入，于是对(a2+b2)xy+ab(x2+y2)进行转化，而出现了因式ay+bx，问题化为求因式ay+bx的值的问题，由已知a+b=x+y=2，相乘后可得结果，于是原题答案可得.

解因为a+b=x+y=2，

所以(a+b)(x+y)=ax+bx+ay+by=2×2=4.

因为ax+by=5，

所以ay+bx=4-5=-1.

所以(a2+b2)xy+ab(x2+y2)

=a2xy+b2xy+abx2+aby2

=by(bx+ay)+ax(bx+ay)

=(ax+by)(ay+bx)=5×(-1)=-5.

故填-5.