数值分析范文

数值分析范文第1篇

论文摘要：本文通过实例对线性方程组数值解法和矩阵的特征值及特向量的计算进行了探讨。在对线性方程组数值解法的讨论下用到了列主元高斯消去法、雅可比法和高斯－赛德尔迭代法。正是高斯消去法在消元时存在一些必须的条件，才启发我们通过列主元高斯消去法来对线性方程组数值解法作进一步的研究，达到了很好的的效果。同时用雅可比法和高斯－赛德尔迭代法对相类似的问题的探讨来比较它们的优劣，使我们在分析问题时能更好的把握方法。在求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量时，本文用到了幂法，可以使现实中很多复杂的计算简单。

第一章：线性方程组数值解法

实验目的

熟悉求解线性方程组的有关理论和方法 ；会编制列主元消去法，雅可比及高斯-赛德尔迭代法的程序 ；通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。

实验内容

列主元高斯消去法求解线形方程组；

雅可比法和高斯－赛德尔迭代法解方程组；

1.1 题目：列主元高斯消去法求解线形方程组

方程组为：

1.1.1 列主元高斯消去法算法

将方程用增广矩阵 表示

1） 消元过程

对k=1，2，….,n-1

1 选主元，找 使得

2 如果 则矩阵a奇异，程序结束；否则执行3

3 如果 则交换第k行与第 行对应元素位置， j=k,…,n+1

4 消元，对i=k+1,…,n计算 对j=k+1,…,n+1计算

2） 回代过程

1 若 则矩阵a奇异，程序结束；否则执行2

2 ；对i=n-1,…2,1计算

#include

#include

void colpivot(float *c,int n,float x[])

{ int i,j,t,k;

float p;

for(i=0;i<=n-2;i++)

{k=i;

for(j=i+1;j<=n-1;j++)

if(fabs(*(c+j*(n+1)+i))>(fabs(*(c+k*(n+1)+i))))k=j;

if(k!=i)

for(j=i;j<=n;j++)

{

p=*(c+i*(n+1)+j);

*(c+i*(n+1)+j)=*(c+k*(n+1)+j);

*(c+k*(n+1)+j)=p;

}

for(j=i+1;j<=n-1;j++)

{

p=(*(c+j*(n+1)+i))/(*(c+i*(n+1)+i));

for(t=i;t<=n;t++)*(c+j*(n+1)+t)-=p*(*(c+i*(n+1)+t));

}

}

for(i=n-1;i>=0;i--)

{

for(j=n-1;j>=i+1;j--)

(*(c+i*(n+1)+n))-=x[j]*(*(c+i*(n+1)+j));

x[i]=*(c+i*(n+1)+n)/(*(c+i*(n+1)+i));

}

}

void main()

{

void colpivot(float*,int,float[]);

int i;

float x[4];

float c[4][5]={1,-1,2,-1,-8,2,-2,3,-3,-20,1,1,1,0,-2,1,-1,4,3,4,};

colpivot(c[0],4,x);

for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);

}

1.1.3 输出结果

1.1.4结果分析

从输出结果可以得到 =-6.999999，=3.000000，

=2.000000，=2.000000

从结果和过程可以知道这种方法一般能保证舍入误差不扩散，这个方法基本上是稳定的。

1.2 题目 雅可比法解方程组

方程组为：

1.2.1 雅可比迭代法算法

设方程组ax=b的系数矩阵的对角线元素（i=1,2,…,n），m为迭代次数容许的最大值 为容许误差。

1 取初始向量 令k=0.

2 对i=1,2,…,n计算

3 如果则输出结果；否则执行4

4 如果则不收敛，终止程序；否则，转2

1.2.2 程 序

#include

#include

#define eps 1e-6

#define max 100

void jacobi(float *a,int n,float x[])

{

int i,j,k=0;

float epsilon,s;

float *y= new float [n];

for(i=0;i while(1)

{

epsilon=0;

k++;

for(i=0;i {

s=0;

for(j=0;j {

if(j==i)continue;

s+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];

}

y[i]=(*(a+i*(n+1)+n)-s)/(*(a+i*(n+1)+i));

epsilon+=fabs(y[i]-x[i]);

}

for(i=0;i if(epsilon {printf("die dai ci shu wei:%d\n",k);return;}

if(k>=max)

{printf("die dai fa san");return;}

}

delete y;

}

void main()

{s

int i;

float a[4][5]={10,-1,2,0,-11,0,8,-1,3,-11,2,-1,10,0,6,-1,3,-1,11,25};

float x[4];

jacobi(a[0],4,x);

for(i=0;i<4;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);

}

1.2.3 输出结果

1.2.4 结果分析

迭代次数增加时，精度越高。从输出结果可以看出此方程组的迭代次数为17，迭代结果越来越接近精确解了，于是

=-1.467391, =-2.358696, =0.657609, =2.842391

1.3 题目 高斯-赛德尔迭代法解方程组

方程组为：

1.3.1 高斯-赛德尔迭代法算法

设方程组ax=b的系数矩阵的对角线元素（i=1,2,…,n），m为迭代次数容许的最大值 为容许误差。

1 取初始向量令k=0.

2 对i=1,2,…,n计算

3 如果则输出结束；否则执行4

4 如果则不收敛，终止程序；否则，转2

1.3.2 程 序 #include

#include

#define n 600

void main()

{

int i;

float x[4];

float c[4][5]={10,-1,2,0,-11,0,8,-1,3,-11,2,-1,10,0,6,-1,3,-1,11,25};

void gaussseidel(float *,int,float[]);

gaussseidel(c[0],4,x);

for(i=0;i

}

void gaussseidel(float *a,int n,float x[])

{

int i,j,k=1;

float d,dx,eps;

for(i=0;i

while(1)

{eps=0;

for(i=0;i

{

d=0;

for(j=0;j

{

if(j==i)continue;

d+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];

}

dx=(*(a+i*(n+1)+n)-d)/(*(a+i*(n+1)+i));

eps+=fabs(dx-x[i]);

x[i]=dx;

}

if(eps

{printf("迭代次数是:%d\n",k);return;}

if(k>n)

{

printf("迭散n\n");

return;

}

k++;}}

1.3.3 输出结果

1.3.4 结果分析

从输出结果可以看出此方程组的迭代次数为7，此时能得到精确结果是

=-1.377632, =-1.281579, =0.747368, =-107374176

从结果和原有知识可以知道其系数矩阵是严格对角占优的。所以此迭代解法有很好的收敛性。

1.4 方法比较

雅可比法和高斯－赛德尔迭代法解方程组两种方法的比较 。

由于此题的系数矩阵是严格对角占优的，所以雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都是收敛的，这两种迭代法没迭代一步均是作一次矩阵和向量的乘法，但前者需要2组工作单元分别存放和，而后者只需要1组工作单元。对于同一个线性方程组，这两种方法可能同时收敛，也可能同时发散，也可能其一收敛，而另一发散。但当两者皆收敛时，一般来说高斯-赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛快。实际中更多的是使用逐次超松弛迭代法。

第二章 矩阵的特征值及特征向量的计算

实验目的

在数学和物理中，很多问题都需要计算矩阵的特征值及特征向量，它们是线性代数中的一个重要课题，而在实际问题中，这样的计算是很复杂的，有的要求矩阵按模最大特征值及相应的特征向量，有些则要求全部特征值及特征向量，根据不同的要求计算方法大体上可分为2种类型。本实验用的是幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量，要求领会求矩阵特征值及特征向量的幂法的方法，并要求会编制幂法的计算程序，来计算有关问题。

实验内容

利用幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量。

2.1 幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量

用幂法求矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量，使 ，

2.1.1 幂法算法

幂法是求矩阵主特征值的一种迭代方法。设有n个线性无关的特征向量，而相应的特征值满足，则对任意非零初始向量按下述公式构造向量序列：

其中表示中最大的分量，并且有，。

用幂法计算实对称矩阵的特征值时，可用rayleigh商作加速。设的rayleigh商为则

，

当时，将比更快趋于。

2.1.2 程 序

2.1.3 输出结果

2.1.4结果分析

主特征值为：98.521690；相应的特征向量为 。

幂法是求矩阵主特征值的一种有效方法，特别当矩阵为大型稀疏（即矩阵元素中0元素较多）时，更显得如此。但由于特征值的分布无法事先预测，因此不能控制收敛速度，往往需要利用某些加速技巧。所以计算时我们要根据需要选择计算方法来计算矩阵的特征值及特征向量。

参考文献

[1] 袁尉平,孙志忠等．计算实习方法．南京：东南大学出版社．2005

[2] 李庆扬,王能超等．数值分析．北京：清华大学出版社． 2001

[3] 谭浩强．c程序设计．北京：清华大学出版社．1999

[4] 孙志忠．计算方法与实习学习指导．南京：东南大学出社．2005

[5] 孙志忠．计算方法典型例题分析．北京：科学出版社．2005

数值分析范文第2篇

【关键词】岩土工程 数值分析 多高层建筑 反分析

中图分类号：S29文献标识码： A 文章编号：

0 前言

随着我国城市集中化越来越严重，城市中出现了越来越多的高层建筑。不过，千里之行始于足下。建筑层数越高，对地基的要求越高。岩土工程就是一门研究基础的工程。岩土工程是一门综合学科，包涵土力学、岩石力学、工程地质学等学科。随着科技发展，人们对岩土工程的了解也取得了长足的进步。

目前，岩土工程中常用的数值分析方法分为：线性数值分析、非线性数值分析。随着岩土工程的深入研究和发展，人们渐渐了解到线性数值分析法在岩土工程中不具备代表性，应用面也越来越窄。随之而来的，非线性数值分析在岩土工程中占有了越来越多的比例。

非线性数值分析主要包含：弹性有限元数值分析法、塑性有限元数值分析法、位移反分析法、离散元法、边界元法、限差分法等方法。

1 常用数值分析法简介

1．1 弹塑性理论求解岩石力学问题

岩石力学中应用到的弹塑性理论是一种假设（假设岩石介质、土介质是一种连续性介质），因为只有在连续性介质中才存在所谓的应力、应变等岩石力学概念。构成岩石这种杂质体的矿物组成有很多种，造成了它的节理、缝隙等存在不连续的截面，因此，岩石在微观上是一种不连续介质。在弹塑性理论中，岩石力学的主要矛盾应该是存在于宏观方面的，所以在宏观小尺度方面可以认为岩石是连续介质，同时各类力学量和力学指标可取平均值。例如，某多高层建筑工程地形地貌包含丘陵坡地、冲沟、山间凹地等复杂地形。其下地质情况也较为复杂，底层主要土质为：人工填土层、第四系坡洪积层、第四系残积层，伏基岩为震旦系岗片麻岩。在此类地质中，如果采用常规方法，计算量颇大。如果利用弹塑性理论追究主要矛盾，在宏观小范围采用连续性分析，计算量减少百分之四十。弹塑性力学研究方面为以下两点：数字表达式（通过对材料固有属性研究，建立应变、应力、温度之间的关系表达式）和塑性稳定性（在外部荷载作用下，通过对物体内部塑性分析，得出内部应力应变图及变化关系）。

1．2 边界元法和有限元法

边界元法和有限元法在近代才并行发展的两种方法。自2O世纪60年代以后，我国在对这两种方法在岩石力学中的应用进行了深入的研究，这段时间也是我国岩土工程蓬勃发展，缩小与世界顶尖岩土工程技术的差距的年代。

我国主要通过应用这两种方法解决岩体稳定性分析、地下工程支护等方面工作。边界元法与有限元法略有不同，边界元法通常离散了边界部分位置，因此在数据处理上面和时间上面占有较大优势。但是缺点在于边界元法在处理多介质、非物质问题上或介质情况复杂的问题上研究不全面、结果不精确等问题。例如某多高层建筑工地基坑支护问题。在永久支护部分，支护范围内大部分为中风化和微风化花岗片麻岩。支护高度17.65-21.65m，支护长度为348.0m，通过边界元法和有限元法分析，得出结果一致，采用三级支护，锚杆加喷面支护设计。其中分级支护平台宽度1.0m分级高度8-10m。

1．3断裂力学方法

断裂力学法与弹塑性法正好相反，不再把岩石、土等介质看成连续的，而是将其视为一种间断、多缺陷的复杂结构体。这样在对介质强度分析时，问题面将建立在间断面或者缺陷面上，通过对间断面的应力集中现象研究（因为应力集中区域往往是结构最危险的区域），结合断裂力学知识可以得出相对实际并真是的岩体现状。通过各国科学家的努力，断裂力学在岩土工程中应用获得了较大进展，不过断裂力学的局限性也比较明显，大多数对断裂面的研究都局限于宏观圆形或椭圆形研究。而且，对于密集型断裂面断裂力学也同样不适用。在某多高层建筑中，对于抗震结构的设计就采用了断裂力学方法。根据结构物抗震等级，在对结构抗震设计过程中，假设结构基础断裂，通过对假设断裂面的分析（地震过程中产生的断裂面大多数为非密集型断裂面），即可得出相应的材料应力、应变关系。参照设计规范可得出地震加速度，进而设计抗震结构。

1．4 离散元法

著名科学家坎达尔在1971年提出了一种新的岩土力学研究方法。就是通过对裂隙块岩的稳定性进行离散元分析得出岩石的各项力学指标。假设岩块为刚体，裂隙所切割的岩体是一种完全镶嵌体系，同时表面允许嵌入，且嵌人量与作用力F满足下列关系

式：

式中K为法向刚度。由上式知，岩块间相互作用,空间构造变化的影响会随着时间改变而改变，如果不能形成新的平衡,那么岩体系统会发生坍塌。通过上式可见，离散元法可以通过计算模拟岩石系统开裂到塌落的全过程。

如今离散元法已经从早期的二维分析发展到如今的利用计算机进行三维分析。在三维离散元中，岩块不再是刚体，而是可变形体，岩块之间的接触形式不再单一变成了面、边、顶点之间相互接触，这样建立的三维离散元法更加贴近工程实际，计算结果也能在实际过程中更好的应用。在高层层建筑中，应用此方法较为广泛。高层建筑在前期地质勘查过程中，相对会选择地质情况良好的区域，地下水含量较少，相对后期施工简便。例如，某高层地质伏基岩为震旦系花岗片麻岩、中风化花岗片麻岩、微风化花岗片麻岩等。通过离散元分析，可得出结论：标准锤击数大于50击，标准贯入实验为30次，与现场实际状况相符。

2数值分析的几个问题

随着数值分析法在岩土工程领域的不断开发研究，分析方法和模式也逐年改进。分析精度越来越高，通过大型计算机建立的数字分析模型越来越贴近工程实际地质状况。岩土作为一种复杂的工程地质材料，存在较强的不均匀性、间断性、非连续性，并且随着地域的变化即便相同土质在力学特性上表现的不同点也越来越多。今后在岩土工程数值分析中急需解决的是深入观察研究土质的力学特性，归纳总结数据，才能更好的为今后的数学分析提供庞大的数字资源。上述几种数值分析法也存在较大的局限性，在相对复杂和地质不明朗地区应用单一方法不发得出重要结论。例如某福田区多高层建筑工地，东临横龙山隧道，拟建11栋高层建筑及16栋多层建筑。为一高级住宅小区，内设游泳池，小区内路等设施。因为临隧道和山脉，地质问题较为复杂，在工程前期岩土工程勘察报告中，数据归纳较为普通。对于岩土工程的数值分析较为不利。

总之，数学科学与岩土工程结合，是当代岩土工程发展的必由之路。随着数学科学的发展、岩土工程的进步，我们应该通过建立完备的数据模式、系统的分析方法来更加完善的改进岩土工程数值分析方法，使其更加真实的模拟实际工程环境，更好的为工程建设服务。

【参考文献】

[1] 苏华友.非线性数值分析在岩土工程中的应用[J].西南科技大学学报,2003, (5):08-10.

[2] 吴志刚.浅析岩土工程的数值分析方法[J].人文社会科学学刊-南北桥（电子版）,2011, (22):18-26.

[3] 徐晓宇.岩土工程数值分析中反分析方法探讨[J].山西建筑（电子版）,2011, (14):14-38.

数值分析范文第3篇

【关键词】数值分析 科学计算 信息与计算科学 教学改革

【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)09(a)-0044-02

科学计算是伴随计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的一门新兴交叉学科,是数学及计算机实现其在高科技领域应用的必不可少的纽带和工具。科学计算的方法和理论为科学研究与技术创新提供了新的重要手段和理论基础,科学计算现已成为与实验和理论并重的第三种科学研究方法。数值分析又称数值计算方法,它作为介绍科学计算的基础理论和数值方法的课程,对培养学生的科学计算能力,解决实际问题的能力以及创新能力起着非常重要的作用。数值分析现不仅是综合性大学信息与计算科学专业、应用数学专业的必修课程,也是信息类专业、工科类专业(如土木工程,航天航空,机械工程等)的必修课程,因此在进入21世纪后,随着计算机技术的飞速发展,社会对科学计算人才需求的变化,对数值分析课程进行教学改革,进一步提高数值分析的教学质量和教学效果,以适应新形势下社会对人才的需求,变得尤为迫切。

1 课程的内容和特点

1.1 课程的内容

数值分析课程是以微积分、线性代数、常微分方程等课程的基本内容为基础,以算法设计为手段,以计算机为工具实现算法,全面地介绍了科学研究及生产实践中各领域所遇到的普遍的数学问题的数值方法和理论,因此它是所有与科学计算密切相关的专业的一门重要的基础课程。

数值分析课程的基本概念有:误差、收敛性、稳定性、插值、计算量、存储量等,这些概念是用来刻画数值方法的准确性、可靠性、效率以及计算复杂度;核心内容包括:代数问题数值计算、函数的数值逼近论、计算几何、微分方程数值解、最优化方法、统计计算等方面[1]。

1.2 课程的特点

数值分析作为大学本科阶段的一门数学基础课程,它具有下面的一些主要特点:

1.2.1 实践性强

上文已提到数值分析的核心内容是研究应用计算机对科学研究和实际应用中常见的数学问题进行数值求解的各种方法。这些方法除了理论上要正确可行外,还要求通过数值试验证明是有效的、实用的。因此,与其它数学类基础课程有所不同,数值分析课程很强调实践,要求学生在学习了每个算法后用学过的计算机语言编程或借助于一些数学软件,如Mathematica、Matlab,完成算法的计算机实现,这样学生不仅知道理论上是如何计算,而且还能把结果真正地计算出来。有些算法尽管在理论上不够严谨,但通过实际计算、对比分析等手段证明是行之有效的,在实际应用中也是可以采用的。

1.2.2 应用性强

数值分析中的理论与算法并不是都来源于纯粹的微积分、线性代数、常微分方程等课程,很大程度也是由于科学研究和实际工程计算的需要,可以说它来源于实际又应用于实际。一方面,目前很多算法已经在物理力学、生物信息、计算机应用、土木工程、航天航空、石油勘探、环境工程、材料等领域得到了广泛的应用;另一方面,数值方法在这些领域的应用过程中会产生一些新问题,为解决这些新问题,研究人员和技术人员深入研究、不断攻关,从而又会促进数值分析理论和算法的发展。

1.2.3 计算公式多且复杂,不好记忆

数值分析课程的许多算法或是采用“构造性”的方法,把计算公式具体构造出来,如Lagrange插值,Hermite插值等;或是采用“递推”方法,将复杂的计算过程化简为简单计算过程的多次重复,例如:求解线性方程组的Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法等,从而使得算法里出现的计算公式多且复杂,学生不好记忆。

2 数值分析课程教学中存在的问题

目前,在数值分析课程教学中普遍存在下面几个问题:

2.1 内容多,学时少

数值分析的内容非常丰富,包含代数问题数值计算、函数的数值逼近论、计算几何、微分方程数值解等,但学时数却不多,一般只有64/54,教师使用传统的教学方法讲授这些知识时,由于计算公式多且复杂,推导繁琐,不得不采用填鸭式教学,每节课都在讲新课,拼命赶进度,这种做法既忽视了学生这个主体的作用,使学生处于被动学习的状态,时间久了就会失去学习数值分析的兴趣,产生厌学情绪;同时也扼杀了学生学习的主动性、积极性和创造性。

2.2 重理论,轻实践

前面已提到数值分析是一门与计算机关系密切的实践性很强的课程,但在传统的教学模式中,教师通常只注重讲授算法原理、误差分析和收敛性证明等理论内容,忽略了上机实践环节。学生动手实践机会少,就会使学生不能彻底理解算法的原理与运用,只知道大概是“怎么算”,但不会真正把结果算出来,造成理论与实践的脱节;同时也会使学生感到数值分析的学习很抽象、枯燥、难学,以致学习兴趣不高。

2.3 缺乏带有上机实验内容的教材

数值分析课程是20世纪50年代末在我国一些综合性大学开始开设的,由于当时计算机的应用在我国刚开始起步,所以当时使用的数值分析教材基本上都没有上机实验内容的。人类社会进入21世纪后,计算机技术发展迅猛,许多复杂的计算能以惊人的速度在计算机上得到满意的计算结果,但作为介绍科学计算理论和数值方法的数值分析课程,其大部分教材没能适应时代的变化,还是沿用旧教材的内容结构,没有增加上机实验内容,这给教学带来很大的困难,直接影响了人才的培养。

3 课程教学改革

为全面贯彻落实科学发展观,切实把高等教育重点放在提高质量上,教育部和财政部于2007年先后颁布了《教育部财政部关于实施高等学校本科教学质量与教学改革工程的意见》和《教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见》。在这些纲领性文件指导下,全国高校掀起了一轮新的教学改革活动,数值分析课程的教学改革也开展得如火如荼并已取得一定成效(见文[2,3])。很多专业开设了数值分析课程,不同专业有不同的要求,有些要求相差很大,下面谈谈我校信息与计算科学专业的数值分析课程教学改革的一些措施和想法。

我校信息与计算科学专业是2006年开始招生。2006级学生的数值分析课程安排在第四学期。为了做好数值分析课程的建设工作,我们专门成立了数值分析课程建设小组。以下就是我们在数值分析课程教学改革的一些措施和想法:

3.1 选择合适的教材

对于信息与计算科学专业的学生来说数值分析是一门专业基础课,要求比其它专业高,既要掌握算法的应用,也要掌握算法的原理、误差分析、收敛性分析等理论知识,因此选取的教材应兼顾这两方面。我们采用了林成森新编的《数值分析》4. 该教材内容全面,阐述严谨、详细、深入浅出,且每个常用的算法都给出了伪程序。我们知道很多学生都怕编程,选择了该教材将有助于学生动手编程上机实现算法。

3.2 内容选取合理,突出重点

信息与计算科学专业的数值分析课程的课时是64学时,在这有限的学时内要详细地讲授所有的内容是不现实的,也是不可能的。我们必须对教学内容重新优化设计,要有侧重,以主带次。在课堂上有限的时间里力求讲明白一个主题,重点讲授典型的、具有代表性的并能体现其思想方法的常用算法和理论,而对那些原理相近的内容则可留给学生课后自学,使课堂讲授的内容真正做到“少而精”。例如:在讲授解线性方程组的Gauss消去法时,我们在课堂上重点详细地介绍了Gauss消去法和Gauss列主元消去法,学生在理解了这些方法的原理之后,再结合高等代数知识就很容易自学Gauss按比例列主元消去法和Gauss-Jordan消去法。

3.3 加强实践环节,提高科学计算能力

数值分析有别于其它数学类基础课程,它是一门与计算机结合密切的实践性很强的课程。由于课时紧张,在2006级的培养计划里数值分析课程没有安排上机实验课,但我们任课老师在讲授完每一章后都会布置一些上机实验题让学生自己编程上机运算(注:学生在第二学期已经学了C语言),并且要求把程序和实验结果交给老师批改。通过上机实验,使学生加强了对课堂内容的理解,同时又和计算机语言结合起来,自己编程,动手计算,使学生较好地掌握常用的科学计算方法和技巧,积累了解决实际问题的能力,而且也培养了学生质疑问题的能力和实践创新能力。这种做法很受学生欢迎。为了进一步提高上机实验的质量,我们打算在新的培养计划中增加9～12课时的上机实验课。

3.4 采用现代化教学手段

由于数值分析内容丰富,计算公式多且复杂,推导过程繁琐,所以我们采用了多媒体教学。这样可节省板书、画图的大量时间,教师有充足的时间把基本概念,算法构造的原理等重点内容讲透彻,而且在多媒体教学过程中还可以结合运用Mathematics,Matlab等数学软件演示算法的计算过程和结果,使学生加深对抽象知识的直观理解,从而提高了学生的学习兴趣和学习积极性。

3.5 积极编写新教材

由于在新的形势下数值分析课程的教育观念、教学要求以及教学内容已经发生了变化,所以教材的编写也应跟上时展的步伐。现虽然已有一些数值分析的新教材尝试了与计算机应用相结合,融进了Basic语言、C语言或Matlab数学软件编程实现算法的新内容,但大家认同的精品教材不多,因此仍需从事数值分析教学的同行们继续努力、不断改革、勇于创新,编写适合不同专业需求的新教材。由于合适的上机实验辅导教材奇缺,所以我们的课程建设小组已开始编写上机实验辅导教材,以解燃眉之急。

3.6 改革考核方法

考核是评估教学质量和学习效果的重要手段。数值分析传统的考试方法为笔试闭卷考试,主要是考察学生的识记能力,忽略了对学生编程上机实践的要求。在新的形式下,为提高大学生的应用能力和创新能力,我们对数值分析的考核方法进行了改革,把上机实验列入考核内容,即学生的期评成绩由笔试成绩、上机实验和平时成绩按比例确定。

4结语

我校信息与计算科学专业的数值分析课程建设起步晚,课程的教学改革仍需我们不断的探索与实践,我们也将继续努力,并借鉴兄弟院校该课程的教学改革经验,朝着精品课程目标建设数值分析课程。

参考文献

[1] 伍渝江,尤传华,丁方允.数值分析课程的继承与改革 [J].高等理科教育,2000,8(1): 46-49.

[2] 杜廷松.关于数值分析课程教学改革研究的综述和思考[J].大学数学,2007,23(2):8-15.

[3] 董立华.关于数值分析课程的教改实践[J].德州学院学报,2007,23(6):99-102.

数值分析范文第4篇

计算机教学 数值分析课程 教学改革

一、引言

“数值分析”作为计算数学的一个主要分支，是研究如何利用计算工具(如计算器、计算机等)求出数学问题的数值解(如数据、表格、图形等)的学问，是科学与工程计算的基础。“数值分析”既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的、实用性和实践性很强的数学课程。通过本课程的学习，能使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据实际问题建立数学模型，然后提出相应的数值计算方法，并能编写程序在计算机上算出结果。这既能为学生在理论学习方面以及在计算机上解决实际问题等方面打下良好的基础，同时又能培养学生的逻辑思维能力和提高解决实际问题的能力。

在我校，《数值分析》课程是信息与计算科学专业的专业基础课，是数学与应用数学、计算机科学技术等本科专业的专业必修课，是工程力学、交通运输工程、通信工程等本科专业的专业必修课或选修课，也是控制科学与工程、机械工程、信息与通信工程、矿业工程、土木工程等学科的硕士研究生的公共基础课。课程涉及面广，实用性强，为此，研究本课程的教学改革具有重要的意义。

著名数学家李大潜院士倡导“问题驱动的应用数学”，我们以此作为指导思想，进行了数值分析课程的教学改革。利用实际问题引出所要讨论的计算方法，并且对计算方法进行理论和实践两方面的研究，最后解决实际问题。

二、教学思想与教学模式的改革

我们从实际出发，以“问题驱动式”作为教学思想，实施了以“案例为主线，实验为指导，融知识传授与能力培养于一体”的教学模式。

1.积极开展以“案例为主线，实验为指导”的教学模式。将案例引入课堂教学，通过有针对性的设计实验项目及内容，使学生在学习基础理论的同时掌握先进的应用技术，并充分认识到学习数值分析这门课的实用性，有效地避免了纯粹数学理论推导的枯燥性，提高了学生学习本课程的主动性。

2.积极开展“以学生为中心，以教师为辅助”的讨论式教学，拓展学生思路。在课堂教学中注重启发式与讨论式，有计划地就某些问题开展专题讨论，将“课堂讨论式教学法”不断深化，充分调动学生的学习主动性。

3.开展与数值分析课程有关的学术讲座。通过开展教授讲座、博士论坛、青年学术沙龙等活动，定期邀请校内外专家学者进行与数值分析有关的学术讲座，使学生能够更深入了解该课程的学习内容及与实践结合的情况，开阔学生眼界，提高学生的学习兴趣。

三、教学内容的改革

设计了分层次、分专业、分模块的立体结构式教学。

1.根据不同层次、不同专业的培养目标，分别设计不同的教学目标和要求。根据各专业的不同要求以及培养不同层次学生的需要，把数值分析课程分为 4个类别，对理科类专业侧重理论知识及算法能力的培养；对工科偏理类的专业侧重算法实验，简化理论推导；对于一般工科专业的本科生及研究生，根据不同专业的特点，强调应用案例进入课堂；对尖子学生，结合科技创新活动，寻找实际问题，提取模型，指导其进行专业论文的撰写。

2.结合最新的科学发展动态，适度引入现代数值计算方法

结合教师的科研成果，将目前比较流行的数值计算方法，如支持向量机算法，神经网络算法，蚁群算法，遗传算法等引入课堂教学，介绍新方法的实际应用背景，并结合大学生数学建模竞赛，引入一些结构化的实例，使学生能够了解最新的科学发展动态，开阔视野，并学会应用相关的知识去求解实际问题，加深对所学知识的理解。

四、教学方法与教学手段的改革

1.问题驱动式教学。从教学过程中的基本矛盾出发，分析理论教学过程中存在的问题，每个章节都用普遍性较强、易懂的问题作为引例，让学生理解经典数值计算方法的应用。

2.案例式教学。结合我校“以工为主，矿业见长，工学、理学等多学科相互渗透，协调发展”的特点，根据不同专业的需求，如采矿方面、测绘方面、机械方面等等，精心设计案例，让学生充分理解数值分析的思想方法。

3.多途径、立体化教学。将传统教学手段和多媒体教学手段进行有机结合，在教学别注意合理解决“多媒体教学过程中学生反应速度与学生思路连续性之间的矛盾”。借助先进的教学手段，采用诸如启发式教学、互动式教学、研讨式教学等方式。

4.利用教学网站，扩展课堂教学。采用网上 QQ群讨论、答疑、实验指导等措施，建立课程立体资源。不断充实完善课程内容，将课堂教学与实际应用相结合，与科技创新活动、竞赛活动、企业需求相结合。实验教学和实践环节与教师的科研相结合，并以科研与学科建设为驱动，不断改进和设计创新性实验。

五、实验改革及考核手段改革

根据数值分析的特点，要实现数值分析课程教学目标，在教学中必须配有相应的实验手段。通过实验促进学生对理论、方法和概念的理解，培养学生运用实验手段进行算法设计、分析、研究的能力，提高学生灵活应用算法解决实际问题的能力，实现理论和实践的有机结合。实验教学是实现课程教学目标的重要环节。

1.实验改革

结合我校的实验平台，引进工科实验室的特殊软件，进行数值分析实验的设计。

我校具有山东省高等学校计算机实验教学示范中心，设有科学计算实验室、金融统计实验室、多媒体技术实验室和大学生创新实验室等创新平台。测绘专业有先进的遥感测绘软件、采矿专业有专业的力学计算的有限元并行软件，材料专业有基于机群的高分子模拟的专业软件，我们将这些平台有效的利用起来，针对不同的专业，布置不同的专业实验，做到有的放矢。实验类型从早期的经典算法实验到现在包含验证性、案例性、设计创新性等类型的实验，并且因材施教，提供了 MATLAB版本的实验和指导材料。自行设计的实验既锻炼了学生掌握现有软件工具的能力，又提高了学生熟练使用高级编程语言的水平，同时也锻炼了学生的动手实践能力。

2.考核手段改革

结合数值分析教学内容及教学模式的改革，克服传统教学中期末考试一卷定成绩的考核模式，采取试卷考试与实验考试相结合的考核方式，并在此基础上，适当采用课程设计加分、科研创新加分等手段，评定总成绩。

六、科研促教学，鼓励学生科技创新

1.将科研成果融入到教学中，拓宽学生的知识面，激发学生学习的积极性通过及时把参加国内外学术会议的情况介绍给学生，使学生能够了解本学科的最新发展动态，开阔视野。同时，把课堂延伸到研究所，使学生通过近距离接触先进的软件工具、设备、系统，加深对知识的理解，激发他们的好奇心和热情，促进他们学习和研究的兴趣。另一方面，通过让学生参与实验室建设，可以提高他们分析问题和解决问题的能力，并引领他们向深度发展。

在我校，科研和学科建设中的前沿课题，不仅仅是科研人员关注的焦点，也频频出现在本科生的课程设计和毕业设计之中，这是以科研促教学取得的显著成效之一。以科研促教学不仅提升了教师的教学水平，丰富了教学内容，还为学生实践能力和创新精神的培养提供了良好的平台。

2.教师积极组织、鼓励学生的科研创新活动

在教师的积极组织与鼓励下，每年都有上百人参加大学生科研与科技创新活动；在学校的大力支持下，为学生提供免费的科研与科技创新活动的场所，开放实验室，并提供强有力的指导力量，培育学生的科研能力和创新精神。有了这些方面的培养，相关老师组织的学生在国家、省级的各种竞赛中取得优异成绩，获得各种部级、省级奖项若干。

七、结束语

近年来，我们按照“厚基础、强能力、重实践、求创新”的要求，结合高等学校 21世纪人才的培养目标，根据学校不同专业的需求，对数值分析课程进行了一系列的改革，取得了良好的效果。我们以加强素质教育和能力培养为前提，坚持以“夯实基础、拓宽专业面、注重新技术，加强人文素质课程”为原则进行课程设置，通过对数值分析课程教学的改革及不断的累积，制定了切实可行的人才培养方案。通过对课程体系和教学内容以及教学环节和教学方法进行改革，提出了科研育人新理念。通过鼓励学生进行科技立项、参与教师的科研活动，进行自主的科技创新，提高了学生的科研水平与创新能力。所有这些措施的实施对学生的考研、就业及综合素质的提高都起到了良好的促进作用，学生的实际动手能力及分析解决问题的能力明显提高。

参考文献：

[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析(第四版)[M].北京：清华大学出版社，2001.

[2]曾金平.数值计算方法[M].长沙：湖南大学出版社，2004.

[3]黄兵.《数值分析》课程教学改革的几点思考[J].重庆教育学院学报，2005，（6）：13-15.

[4]李大潜.关于大力提倡和推动以问题驱动的应用数学研究的建议[J].中国科学基金，2006，（4）：223-226.

[5]谢治州.“数值分析”实验教学的实践与探索[J].实验室研究与探索， 2010，（5）：133-136.

数值分析范文第5篇

关键词：数值分析；数值实验；数学建模

数值分析是一门与计算机使用密切结合的、实用性很强的课程。它内容丰富，涉及数学分析、代数、方程和泛函分析等诸多学科，研究方法深刻，有自身严密的科学系统。科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为实验和理论并列的一个不可缺少的环节［1］。所以数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其他学科的联系十分紧密。那么在平时的教学中，如何取得良好的教学效果呢？本文从以下几个方面进行探讨。

一、数值分析课程的教学特点

与其它纯数学理论课程相比，数值分析除了具备数学的高度抽象性与严密科学性的特点之外，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。具体来说，这门课程具有以下的教学特点：

1.知识面跨度大［2］

数值分析是数学与应用数学、信息与计算科学和统计学专业的必修课程，它广泛运用多门数学学科的知识，内容包括数值逼近、数值积分、线性代数方程组的直接解法和迭代方法、非线性方程组的计算方法、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程数值计算等，涉及数学分析、代数学、微分方程、泛函分析等众多数学理论。

2.有可靠的理论分析［2］

能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。

3.注重理论与应用的结合

与传统数学课程强调理论分析和逻辑推导不同，数值分析课程更注重运用这些理论构造适合计算机执行的数值方法，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。数值分析主要研究那些在理论上有解而用手工无法计算、必需借助计算机求解的数学问题。它的许多理论与方法本身并不是数学学科的产物，而是以“计算”为目标发展起来的。

二、教学体会

针对数值分析课程的特点，笔者认为在教学中应注重以下几个方面：

1.教学方法上注重数值思想的传授

计算方法这门课程最主要阐述的思想就是“近似计算”的思想。在实际的计算过程中，有许多问题的计算量非常庞大，简单的笔算费时费力，借助计算机可以快速解决这些问题。但由于计算机本身位数的限制，以及其它误差影响，只能进行近似计算。

（1）“误差分析”思想。由于是近似计算，那么就存在一定的误差，所以在计算过程中要分析误差、控制误差和比较误差，只有控制好误差才能找到好的近似值。误差是衡量近似计算结果好坏的一个标准，例如，在求解线性方程组直接法时，通过误差分析可以确定方程组是病态的还是良态的，只有良态的方程组才能保证解的准确性。通过分析误差可以判断算法的稳定性、收敛性及收敛速度。由此可见误差分析是非常重要的。

（2）逼近和近似思想。函数逼近是数值分析方法中的主要内容之一，许多数值方法都依赖于函数逼近的思想。如，各种插值方法、数值微分和数值积分、微分方程数值解等等。函数逼近中常常采取的各种近似，利用插值函数对数值近似处理，让学生意识到数值分析课程不是在简单地做数学练习，而是在训练通过对原问题的分析，如何利用已有的数学知识和工具去逼近和近似原来问题的解。逼近和近似思想作为一种全新的思维方式，它使学生认识到：不能解析或精确求解问题并不可怕，可怕的是不会和不敢利用已学数学知识去近似、简化原来的问题，从而获得原来问题的近似解答。

（3）“离散化”思想［6］。把求连续变量问题转化为求离散变量问题，称为“离散化”。一个连续的数学问题要实现上机计算，必须先进行离散化。在工程计算中，常常需要求解连续性问题，比如求微分方程的解。一般而言，微分方程很难找到解析解，所以数值求解微分方程是计算方法中的一个重要的内容。数值求解微分方程并不是依靠计算机给出微分方程的解析形式，而是依靠它近似给出微分方程在指定点的函数值。在引人离散化思想对问题离散后，可以采用各种数值方法来求解各点函数的值。通过离散化思想，原来的连续性问题变成了一个离散问题。离散化思想是数值计算的一个基本思想，现有的数值计算，几乎完全依赖于对问题的离散化解决。离散方法一直是数值分析研究中一个很重要的方面。

（4）“迭代”思想［5］。迭代是计算机中重要的概念，也是数值分析方法中的重要的概念。在数学建模过程中，对结果可能性的猜测可以在很大程度上帮助我们在建模方向上进行选择，使我们少走许多弯路。由于迭代方法大都只有有限的收敛区间，所以如何利用已有的信息对解进行猜测是很重要的一点，这依赖于学生在实践中能够综合运用数学分析理论和各种方法的经验。许多连续问题在转化为离散问题后，利用迭代法可以求解离散问题。

2.多媒体课件与板书相结合的教学手段［3］

使用多媒体教学方法，能增大教学容量，提高教学效率，有利于解决重点和难点问题。多媒体教学可以在一定程度上突破时间和空间的限制，充实直观内容，能够较彻底地分解知识技能信息的复杂度，减少信息在大脑中从形象到抽象，再由抽象到形象的加工转换过程，充分传达教学意图，并可以通过计算机的丰富表现手段突出教学重点。如，龙格现象可以用屏幕动态的显示在哪个区间收敛，使用多媒体教学可以帮助教师在课堂上根据学生的信息反馈，进行现场分析和答疑，以人机对话方式灵活方便地进行启发式教学。同时，精彩的多媒体课件也能激发学生的兴趣，提高学生的主动性。

3.加强数值实验，培养学生解决实际问题的能力

数值分析范文第6篇

关键词：边坡、数值分析、监测

中图分类号：O241文献标识码：A

1 引言

随着我国经济的快速发展，工程建设越来越多，尤其是铁路的建设，为了满足工程建设的要求，往往需要对沿线的山体等进行开挖，从而形成高边坡，然而这样往往会破坏原有岩土体的平衡状态[1-2]。在降雨、地下水、软弱结构面等多种因素作用下，往往会导致边坡失稳，严重威胁铁路建设和运营的安全[3]。为及时预报铁路边坡的变形情况及其发展趋势，避免滑坡灾害的发生，边坡监测技术的发展已成为我国铁路工程建设中一个亟待解决的问题[4-6]。

在实际的边坡监测中，常常发现边坡监测数据“失真”，而导致预警失误，从而造成重大的损失。因此验证边坡监测数据的准确性是至关重要的，本文针对边坡难以及时准确预警的问题，提出一种基于数值分析理论提高边坡监测准确率的新方法，使数值分析与边坡监测二者有机的结合起来，形成一种相互验证机制，从而提高边坡监测的准确率。数值分析可以预测边坡的变形趋势，与边坡监测数据相互对照，反过来，边坡监测数据可以为数值分析过程反分析出更加准确的土体物理力学性质指标。

2 监测结果与数值分析的相互验证机制

本文利用Sigma/w有限元程序建立数值分析模型，其求解的基本原理[7]为：

Sigma/w中在给定的一个时间增量上的有限元方程为：

（1-1）

对于二维平面应变问题，sigma/w认为所有的单元都是单位厚度，对于常单元厚度t，方程（1-1）可写为：

(1-2)

对于轴对称问题，相应的单元厚度就是关于对称轴的环向距离，轴对称的有限元方程为：

（1-3）

其中：[B]：应力应变矩阵；[C]本构矩阵；：由于沿单元边界上施加的外部应力导致的节点力；{a}：为节点x和y方向位移增量的列矢量；：插值函数行矢量；A:沿单元边界的面积；V：单元体积；b：体积力密度；p：面荷载增量；{Fn}：集中节点力增量

Sigma/w使用工程剪应变来定义应变矢量：

(1-4)

应力/位移问题中的场变量与应变矢量关系如下：

(1-5)

对于二维平面应变问题，且应变矩阵为：

(1-6)

对于轴对称问题，应变矢量可写为：

(1-7)

相应的应变矩阵[B]为：

(1-8)

根据弹性理论，应力-应变关系为：

(1-9)

(1-10)

每个高斯点上的应力可以用[C]通过如下公式计算：

(1-11)

其中：E：杨氏模量；：泊松比

在sigma/w中，对每个单元来说，节点力可以按下式计算：

(1-12)

所得的节点力会累加到每个节点上，比如模拟土体开挖时，这些力的反力被合并到有限元方程中去，而且节点力所代表的边界力可以作为估计开挖支挡结构的支护力。

上述数值分析原理中对边坡稳定性影响最大而且也是最不易确定的两个力学参数粘聚力C、内摩擦角Φ，可以通过前期的监测结果，利用数值分析模型，反分析出土体的抗剪强度参数：粘聚力C、内摩擦角Φ。然后再利用数值分析模型，预测边坡的变化趋势，与现场边坡监测数据做比较，反复验证，及时发现问题，做出预警。

3 工程概况

边坡位于甬温高速K11+180~K11+350位置处，公路沿线地貌单元为山地地貌。垂直路肩墙方向地形起伏变化大，呈阶梯状。根据勘察资料知，地层岩性以花岗岩为主，包括：①全风化花岗岩：含中粒石英及长石颗粒，稍具砂感，原岩结构明显；②强风化花岗岩：硬，湿，含云母片、长石及石英，岩芯呈碎裂状，大部分矿物已风化变质，岩石坚硬程度属软岩，岩体完整程度属破碎，岩体基本质量等级属Ⅴ类。③中风化花岗岩：岩性为粗粒花岗岩，湿，含石英、长石、角闪石颗粒及云母片，长石普遍有强烈绿泥石化和高岭土化，存在风化裂隙，岩芯主要以短柱状为主，局部破碎，岩石质量指标RQD为50~75。岩石坚硬程度属较硬岩，岩体完整程度属较完整~较破碎，岩体基本质量等级分类属Ⅲ~Ⅳ类。

边坡的工程地质剖面图如图1所示，边坡为3级边坡，高度约为40m，属于典型的公路岩质边坡，岩层产状为338°∠19°，通过现场勘测得出在1、2 级边坡处各存在一组软弱泥质结构面，影响边坡的稳定性。设计该边坡时，采用清危+放坡+植草的形式。具体设计为：1、2 级边坡放坡坡率为1:1，3 级边坡放坡坡率为1:1，坡面采用正方形骨架植草防护形式。

本文取K11+300 断面处的2 级平台位置处埋设长20m 的测斜管进行土体深部位移监测分析。监测时间从2012年1 月1 日开始，至2012 年9 月30 日结束，共历时约300 d。

图1 工程地质剖面图

4 数值模拟与监测结果对比分析

采用Sigma/w有限元程序对边坡开挖进行模拟。根据实际的边坡模型进行数值分析，数值模型取高为40m，宽为60m，坡体两侧为固定水平边界，底部边界为固定边界。 根据前期（0~120天）的监测数据，如图2所示，通过反分析得到的主要岩石力学参数如表1所示。

表1岩石力学参数表

图2 土体深部位移监测结果

图3为土体深部位移监测结果与数值分析结果比较，对比后期150~300天的现场监测结果和数值分析结果，数值分析预测的边坡变形趋势与现场监测结果基本吻合，说明了数值分析模型的合理性，也说明了边坡监测数据的可靠性。从图3还可以看出，2级边坡平台顶处的位移最大，最大值为17mm，随着土体深度的加深，位移逐渐减小，最后趋于稳定。综合数值分析与位移监测结果判断，该边坡处于安全状态，现场的实际勘察也验证了这一点。监测和数值分析二者有机的结合在一起，相互验证了各自的准确性，为边坡预警提供了更为可靠的依据。

图3 土体深部位移监测结果与数值分析结果比较

（注：细实线：数值分析结果；粗实线：监测结果）

然而当监测数据和数值分析结果出现较大误差时，就应注意到可能监测方法或数值分析出现差错，此时应及时检查监测设备或模型参数是否出现问题，如发现监测设备出现问题就应及时调整修理，将监测资料与数值分析值进行比较，可以了解模型是否合理可靠，如有必要可根据监测资料修正分析参数。这样就会比单一的边坡稳定性分析方法有效可靠的多，就能提供更为可靠的边坡预警。

5结论

通过本文的研究工作可以看出，要提高边坡监测的精度，除了提高硬件设施精度等传统方法之外，还可以通过数值分析进行准确性验证。本文针对边坡难以及时准确预警的问题，提出一种基于数值分析理论提高边坡监测准确率的新方法，使数值分析与边坡监测二者有机的结合起来，形成一种二元验证机制，从而提高边坡监测的准确率。分析表明：

（1）通过结合现场监测技术和数值分析方法，说明了该验证机制的可行性。

（2）对比边坡深层位移监测和数值分析结果，表明甬温高速K11+180~ K11+350处边坡2级边坡平台顶处的位移较深部土体的位移大，而且随着土体深度的加深，位移逐渐减小，最后趋于稳定。

参考文献

[1] 尚岳全、孙红月等. 地质工程学[M]. 清华大学出版社有限公司, 2006.

[2] 康剑伟, 李献勇, 安妮等. 坡顶超载情况下的土坡影响因素敏感性分析[J]. 公路工程, 2012, 37(3).

[3] 王惠勇, 李玉娟, 肖梅峰, 等. 高速公路路堑边坡滑坡机理及其加固技术探讨[J]. 中南公路工程, 2005, 30(2): 80-82.

[4] 闫振, 陆阳, 余建华等. 小波分析在边坡深部水平位移监测数据降噪中的应用[J]. 中南公路工程, 2007, 32(2): 41-44.

[5] 江胜华, 周智, 欧进萍. 基于磁场梯度定位的边坡变形监测原理[J]. 岩土工程学报, 2012, 34(010): 1944-1949.

[6] 李红杰. 高速铁路复杂边坡监测信息管理与边坡稳定性评价初步研究[D]. 中南大学, 2012.

数值分析范文第7篇

[关键词] 数值分析 计算机应用 课程教学

伴随着计算机技术的飞速发展，科学与工程计算已经成为最重要的科学研究方法和手段之一。而数值分析就是研究科学计算中各种数学问题求解的数值计算方法。数值分析应用广泛，很多工科院校本科生及硕士研究生都开设了本门课程。因此，作为教师如何将课程讲授好，使得学生在有限的时间内掌握本门课程的基本知识显得尤为重要。

一、引导学生注重掌握数值分析的基本思想

数值分析是计算数学的一个分支，它不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究面向计算机的，能够解决实际问题的数值计算方法及其理论。简单的说，数值分析的主要工作就是寻求适合计算机计算的方法并分析方法的好坏，也就是我们所说的误差分析、稳定性分析、收敛性分析等。涉及的章节主要包括三个部分：数值代数、数值逼近、微分方程数值解法，每部分都包含大量的公式和算法。虽然每章所授内容均不同，但是他们的共同思想均是相同的。因此在教学过程当中我们教师要不断引导学生从数值分析的基本思想出发理解并掌握知识点，而非死记硬背公式及算法，后者只会让学生对本门课程产生厌恶情绪，而前者却能激发学生学习的主动性，培养学生的创造性和应用能力。

二、合理安排实验课

本门课程是与计算机紧密相连的，而实验课能帮助学生更好的理解所学的理论知识并能激发学生的创新能力。笔者根据近几年的教学经验发现根据学生所在的专业情况，安排适当学时的上机实验，通过让学生独立完成分析问题，解决问题的过程，使学生加深对数值分析方法和技巧的理解，掌握数值分析的基本原理和计算技能，达到理论与实践相结合的理想统一。为了确保每名学生都能认真独立完成实验，教师可根据具体知识点设计若干题目，让学生随机抽取题目，并在规定时间内完成实验报告。对于应用性较强的题目，教师还可以组织学生分组进行讨论，通过讨论学生可以发现自己对哪些知识掌握的还不够好，从而激发学习的主动性，与此同时也培养了学生的团队合作意识。

三、课堂上安排适当的知识补充与例题讲解

由于数学课程本身理论性较强，多数学生对数学类课程兴趣不大，而数值分析课程本身具有一定的难度，主要是针对大三及其以上的学生。学习本门课程需要有一定的数学基础，需要学生掌握高等数学，线性代数，微分方程等相关理论知识，而这些内容大多是在大一期间学习的，大多数学生对这些知识已经淡忘，因此会出现听课吃力，从而困惑厌倦甚至放弃的现象。比如我们在讲到求解线性方程组的直接解法时，会涉及到克莱姆法则，多数学生都反映记不清具体公式。再比如讲到矩阵范数时，多数学生对矩阵的乘法运算规则，求解特征值等相关理论知识早已淡忘。基于以上种种现象，如果教师在本门课程讲授过程中直接切入重点，多数学生是无法接受的，因此有必要在涉及以往相关数学知识时，教师先利用几分钟时间把这部分知识给学生先做一下简单的回顾与介绍，多数学生经过这种简单的介绍都会回忆起相关内容，这样，再切入本堂课的重点学生接受起来就会相对容易很多。由于本门课程与计算机结合紧密，与实际工程问题结合紧密，因此在讲授理论知识之外适当讲解一些例题习题不但有助于学生在课堂上及时理解所学知识点，还可以让学生慢慢理解数值分析课程的特点与应用的广泛性，从而激发起学习的兴趣。比如我们在讲到列主元Gauss消去法时，可以先从以下一个简单的例子入手：

例题：解线性方程组（用十进制四位浮点计算）

这道题如果采用顺序Gauss消去法求解得到的数值解是x2=1.00，x1=0.00，很显然，误差非常大。首先引导学生找出产生这种误差的原因（用一个很小的数作除数），根据原因再找出合适的算法（互换两个方程），从而就可以引入列主元Gauss消去法。这样既使学生理解了知识点，又使他们体会到数值分析解决问题的方法和传统数学是有区别的：是要和计算机紧密结合的。再比如我们讲到列主元直接三角分解法时，如果单单从算法上去讲解，学生接受起来有一定难度，如果接下来给大家讲解一道简单例题学生就会容易理解很多，而这些例题都是教材中没有的。

四、合理运用多媒体教学课件

虽然多媒体课件在数学课堂上一直备受争议，但数值分析课程本身的特点决定其课堂教学会涉及到许多大型矩阵运算，数值运算结果及其分析等。如果单单使用板书的教学方法会浪费很多时间和精力，很容易分散学生的注意力。因此，在数值分析课堂上比较适合采用多媒体课件与板书相结合的方式。在推导简单公式定理的时候采用板书，让学生充分了解定理的推导过程，掌握定理的结论。而对于复杂的公式、算法流程、数值计算结果、图形动画等则采用多媒体课件。例如，在讲解矩阵三角分解方法时宜采用多媒体课件，如书写板书则要浪费大量时间，而在举具体简单例题时则采用板书形式。因此，在教学过程中应采取多媒体课件与板书相结合的方式。

以上从四个方面谈了在教学过程中的一些体会，相信在教学过程中只要不断的用心发现问题，及时与学生沟通，总结经验并加以改进，我们的课堂教学质量和水平一定会得到提高。

参考文献：

[1]张铁，阎家斌．数值分析[M].北京：冶金工业出版社，2005.

数值分析范文第8篇

关键词：空心墩；OpenSees；纤维梁柱单元；纵筋拔出变形；滞回曲线

中图分类号：TV331文献标示码：A

Numerical seismic analysis model for hollow reinforced concrete bridge piers

YANG Chun-xi

Tianjincommunicationarchitecturedesigninstitute

Abstract: Hollow reinforced concrete bridge piers are extensively used in highway and railway bridges. Simulation of the seismic behavior of hollow bridge piers is important to ensure the seismic safety of bridges. Based on fiber beam-column element and zero length rotation spring element, three hollow reinforced concrete bridge piers are modeled by using OpenSees software, in which the flexural and bond-slip deformation of the piers are considered. The simulated hysteretic curves are compared with test results. The results show that the simulated results agreed well with test results.

Key Words: Hollow bridge pier; OpenSees; fiber beam-column element; bond-slip deformation; hysteretic curves

钢筋混凝土空心墩被广泛应用于我国铁路、公路桥梁中，而国内外对空心墩抗震性能认识比较缺乏，开展钢筋混凝土空心墩的抗震数值模拟工作具有重要的工程意义[1]。孙治国基于纤维梁柱单元建立了钢筋混凝土空心墩滞回分析模型，详细讨论了纵筋配筋、壁厚、混凝土强度、剪跨比等因素对空心墩变形能力的影响。在此基础上设计了2个矩形薄壁空心墩试件，分别进行定轴力和变轴力下的拟静力试验，并指出使用修正的压力场理论(Modified Compression Field Theory, MCFT)计算的薄壁空心墩抗剪强度最为准确[2-3]。同时，同济大学[4]、东南大学[5]、北京工业大学[6]、长安大学[7]等单位也针对空心墩抗震问题开展了试验研究工作，对认识空心墩抗震能力提供了基础。

注意到目前国内外对空心墩抗震开展的数值模拟工作较少，本文基于OpenSees数值分析平台，考虑空心墩的弯曲变形与纵筋拔出变形，建立了3个空心墩数值分析模型，并将模拟结果与试验结果进行了对比，验证模型正确性。

1试验介绍

选择3个空心墩抗震拟静力试验结果，并以此为依据，建立了空心墩抗震数值分析模型，并通过与试验结果的对比验证模型准确性。

第1个试件选取Zahn等[8]完成的空心墩抗震拟静力试验中的Unit11试件，高度为1600mm，外径为400mm，内径为212mm，剪跨比为4.0，轴压比为0.08，纵筋配筋率为3.56%。第2个试件选取孙治国等[3]完成的薄壁空心墩试验中的定轴力试件，桥墩高度为4000mm，截面尺寸为1000×890mm，空心部分截面尺寸为860×750mm，轴压比为0.2，纵筋配筋率为1%。第3个试件选取Pinto等[9]完成的大比例尺矩形空心墩中的矮墩试件，截面尺寸为2740 mm×1020 mm，空心部分截面尺寸为2320 mm×860mm，轴压比为0.09，纵筋配筋率为0.4％。需要强调，所有桥墩试件最终均发生弯曲破坏，图1为各试件截面及配筋形式。

(a) Unit 11试件 (b) 定轴力试件

(c) 矮墩试件

图1 空心墩截面及配筋形式

2 模型建立

2.1 混凝土本构及钢筋材料模型

混凝土数值模型采用OpenSees中的Concrete01，该材料基于Kent-Scott-Park混凝土单轴受压应力-应变关系，如图2所示，k为约束效应系数，ε0为峰值应变，εu为极限应变，fc’为混凝土抗压强度。钢筋材料采用OpenSees中的Steel02钢筋模型，其应力应变模型是基于Giuffre-Menegotto-Pinto模型，骨架曲线为双折线形式。

图2 混凝土应力-应变关系

纵筋在底座中的拔出采用Zhao Jian提出的Bond_SP01[10]材料模拟，骨架曲线如图3所示，其中E为钢筋弹性模量，fy为钢筋屈服应力，Sy为屈服滑移量，fu 为极限应力，Su为极限滑移量，b为刚度折减系数。Sy计算公式如下：

(1)

式中，db为钢筋直径，α是局部粘结滑移参数，取0.4。fc’为混凝土强度。另根据经验计算可得，Su=(30~40)Sy，b取(0.3~0.5)，R取(0.5~1.0)。

图3 Bond_SP01钢筋应力-滑移骨架曲线

2.2 数值分析模型

基于OpenSees中的纤维梁柱单元和零长度转动弹簧单元建立数值分析模型，如图4所示。纤维梁柱单元用于模拟桥墩的非线性弯曲变形，将Bond_SP01材料赋予零长度转动弹簧单元，用于模拟底部纵筋拔出变形。纤维梁柱单元与零长度转动弹簧单元基于相同的纤维划分，唯一的区别是非线性梁柱单元截面内的钢筋材料使用steel02，而零长度转动弹簧单元截面内的钢筋材料使用Bond_SP01。

图4 数值分析模型

3 滞回曲线对比

数值模型考虑了弯曲变形和底部纵筋的拔出变形，图5为模拟得到的Unit11试件、定轴力试件、矮墩试件墩顶滞回曲线以及与试验结果的对比情况。

首先分析各试件承载力的对比情况，可以看出，模拟的空心墩极限荷载与试验结果吻合很好。即数值模型在承载力角度对空心墩抗震试验进行了很好的模拟。

然后分析模拟得到的滞回曲线初始刚度、卸载刚度及与试验结果的对比情况。可发现所建模型也很好的模拟了各空心墩的加载和卸载段的刚度。

最后考虑各模型模拟得到的残余位移及与试验结果的对比，可发现Unit11试件、定轴力试件模拟的残余位移与试验结果基本吻合。矮墩试件模拟的滞回曲线残余位移小于试验结果，但总体在可接受范围内。

综上可以看出，本文所建数值模型准确，可对空心墩地震反应进行较为准确的模拟分析。

(a) Unit11试件

(b) 定轴力试件

(c) 矮墩试件

图5 模拟与试验滞回曲线的对比

4 结论

基于OpenSees平台建立了3个考虑弯曲变形和纵筋拔出变形的空心桥墩抗震数值分析模型，并与试验滞回曲线进行了对比。总体来看，模拟滞回曲线与试验结果吻合较好，表明模型建立正确，并具有较高的模拟精度。

参考文献:

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[2] 孙治国,郭迅,王东升,等.钢筋混凝土空心墩延性变形能力分析[J].铁道学报.2012,34(1):91-96.

[3] 孙治国,王东升,郭迅,等.地震作用下RC薄壁空心墩抗剪强度比较研究[J].土木工程学报.2013,46(12):81-89.

[4] 罗征,李建中.低周往复荷载下空心矩形墩抗震性能试验研究[J].振动与冲击,2013,32(8):183-188.

[5] 宗周红,夏坚,徐绰然.桥梁高墩抗震研究现状及展望[J].东南大学学报(自然科学版),2013,43(2):445-452.

[6] 杜修力,陈明琦,韩强.钢筋混凝土空心桥墩抗震性能试验研究[J].振动与冲击,2011,30(11):254-259.

[7] 崔海琴,贺拴海,宋一凡.空心矩形薄壁墩延性抗震性能试验[J].公路交通科技,2010,27(6):58-63.

[8] ZAHN F A. Design of reinforced concrete bridge columns for strength and ductility [D]. Christchurch; University of Canterbury, 1985.

[9] PINTO A V, MOLINA J, TSIONIS G. Cyclic tests on large-scale models of existing bridge piers with rectangular hollow cross-section [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2003, 32(13): 1995-2012.

数值分析范文第9篇

数值分析是用计算机求解数学问题的数值计算方法，属于数学的一个分支，主要以数值方法求解数学问题、数值理论和方法为研究对象。做为计算数学的主体部分，数值分析学科有如下特点：（1）面向计算机；（2）可靠的理论分析；（3）计算的复杂性；（4）面向具体应用；（5）需要对算法进行误差分析。

本书很好地平衡了理论和实践，面向研究生读者完美介绍了这门应用数学课程。在本书中，作者详细地介绍了数值分析的各种经典方法，讲解了计算原理、误差的产生、求解不收敛等问题。并且演示了如何将这些经典的技术结合起来，解决实际工作中的各种困难问题。本书还分析了许多实例和相关程序，以帮助读者实际运用。本书涵盖的主题包括：线性系统的各种经典方法、特征值、插值、数值积分、常微分方程求解、数据拟合、随机微分方程等。

本书分为12章：1.数值分析过程中的误差，具体包括误差的主要类型、浮点计算、算法误差、有效数字产生的误差与算法产生误差的比较等，并详细剖析了一个误差实例；2.线性系统的直接求解方法，具体包括高斯消除法、主元选择、高斯消除法产生的误差、辅助归约、乔里斯基分解以及残差矫正方法；3.特征值和特征向量，具体包括Gerschgorin算法、幂算法、快速响应算法、奇异值分解和海曼方法；4.线性系统的迭代求解方法，主要包括共轭求解法、松弛求解法、雅各比求解法、高斯赛德尔法以及多重网格法；5.多种差值方法，主要包括改进拉格朗日差值、内维尔算法、牛顿法、艾米插值和离散傅立叶变换；6.迭代方法和多项式的根，主要讲述了收敛和速率、二分法、试位法、割线法、牛顿拉夫逊法、贝尔斯托法和提高收敛速度的方法；7.多种优化方法，主要包括夹叉试射法、插值法、黄金分割法、变度量法等；8.多种拟合方法，包括最小二乘法、泰勒法、实验误差分析、非线性最小二乘法、范数拟合法以及样条函数法；9.多种积分方法，主要包括牛顿-科特斯法、外插法、高斯求积法；10.常微分方程，主要包括单步解法、多步解法、刚性方程组；11.随机常微分方程，主要包括白噪声和维纳过程、泛函Ito微积分、解的精确性、收敛性；12.多个大型积分的实例，包括薛定谔方程、高斯基本函数、角动量求解和里斯多项式等。书的附录部分介绍了数值计算的背景以及各种编程代码。

数值分析范文第10篇

【关键词】数值分析教学改革教学方法

数值分析又名计算方法，它主要研究运用计算机解决数学问题的理论和方法，是一门与计算机密切结合、实用性很强的数学课程。通过本课程的学习，使学生能够熟练掌握各种常用数值算法的构造原理和分析理论，在提高计算机操作能力的同时，培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力，对学生后续课程的学习和今后进一步从事科学研究均具有现实意义。但在实际教学中出现了学生学习兴趣不够高，教学效果不够理想等现象。因此，如何提高数值分析课程的教学水平和教学质量是一个值得研究的课题。本文针对数值分析课程的教学改革进行了一些有益的探讨。

一、高校数值分析教学中普遍存在的问题

1.理论知识与实际应用脱节

当前该课程的教学方式只是较多地注重计算公式的推导，收敛性、稳定性等定理的证明，实验课上也只是针对具体算法进行程序实现，导致很多学生虽然理论知识、公式掌握了不少，但却不知道这些公式应该用在什么地方、怎么用。

2.教学手段相对滞后

数值分析是一门与现代科学技术密切相关的学科，该课程中经常会出现繁琐的算法公式推导、复杂数值误差的计算以及大量的数据处理。凭一支粉笔和一块黑板的传统教学模式显然已不能适应现代的教学需求，不仅教师讲的累，学生听的更累，而且很难收到比较好的教学效果。现代科学技术要求采用现代教学手段。因此，我们必须对数值分析的教学手段进行创新，只有这样才能提高学生学习数值分析课程的积极性，从而达到较好的教学效果。

3.重理论，轻实验

数值分析是一门实践性和应用性很强的课程，它要求学生在学习理论的同时，要能将学习到的理论内容加以实践，最简单的就是将相关的算法在计算机上加以实践和应用，因此上机实验是数值分析课程的一个重要环节。，虽然这门课实验比较重要，但在教学中普遍存在着"重理论轻实验、重方法轻应用"的现象，这就造成了学生解决实际问题的能力较弱。因此，在教学中如何突出数值分析课程的特点，使理论分析、算法设计及实验有效结合，增强教学效果，也是一个亟待解决的问题。

二、从以下几个方面进行数值分析课程的教学改革

1.加强理论知识与实际应用的联系，将数学建模融入到数值分析的教学中

为了改变学生理论知识与实际应用脱节的情况，将数学建模融入到数值分析的教学中，这样可以加强学生理论知识与实际应用的联系。将乏味、枯燥的课堂变得生动活跃，由此激发学生参与教学，提高教学效果。数学建模是培养大学生利用所学知识解决实际问题的一种有效方法。大学生数学建模竞赛是一年一度的全国性竞赛活动，题目都具有很强的现实意义，而且解决问题的方法不固定。很多的数学模型试题都可以利用数值分析中的某些理论和算法来解决，而且很多数学模型本身就是数值分析某些算法和理论的应用实例。数值分析联系实际的桥梁是数学建模，，所以在数值分析的教学中可以将两者有机的结合起来。在学习数值分析理论过程中加入实际问题的数学模型实践，可以提高学生的实际应用能力。

2.创新教学手段，完成课程平台建设

除了课堂上的理论讲授，建设网络课程平台，更有助于培养学生实践能力和创新能力，为将来的科学研究工作打下良好的数值计算基础。将课堂讲授、上机实验、第二课堂三者有机结合，全面提高教学质量和学生的学习效率。开发在线的CAI教学系统。不只是传统的Power-Point课件，而是基于Web的一个学生学习的平台，师生交流的平台.学生科技活动开展的平台。这个学习系统具有帮助学生预习、自学、练习的功能，并可以实现对学生学习过程的记录，使教师了解学生的学习情况。同时丰富的网络资源也能更充分地体现各学科的专业特点，使数值分析的学习能够与学生自身专业相结合。在线CAI系统可大大方便学生学习。使学生对数值分析课程的学习活动从单独的课堂时间变成随时进行。利用这个平台，开展第二课堂活动。结合适当的实际科研项目，训练学生建模能力，培养其独立分析问题和解决问题的能力。

3.加强实践环节，培养应用能力

数值分析是一门把理论和计算密切结合的课程，所以为了让学生更好地体会数值分析在实际生活中的应用，我们在教学中必须加强实践环节。实践环节可安排两方面的内容。一方面，让学生对典型的算法进行上机实习。在这个过程中，要求学生对每一算法画出流程图，编制相应程序，然后上机调试并分析实验结果，最后写出实验报告。由于一个问题可能有多种计算方法，而每种算法又各有优缺点，因此要求学生使用不同算法计算这些问题，并通过对比分析找出它们的优缺点，从而加深对各种算法的理解。另一方面，在这门课程结束后，让学生分组完成一些综合性的课题，比如传染病的传播问题、病态方程组的数值计算等。学生通过查阅资料、建立数学模型、设计算法上机、分析求解结果，可以体验初级科研的整个过程，从而达到培养学生解决实际问题的能力。学生通过实践环节既有助于熟悉算法流程，又有助于提高解决实际问题的科学计算能力，还有助于扩大知识面和培养科研创新精神，所以理论教学和实践环节是相辅相成的，两者缺一不可。

4.改革考核方式，建立多元化课程评价标准

合理的考核方式有助于调动学生学习的积极性。改变以理论推导为主的考核，结合工科的特点，以算法设计与解决实际问题为主进行成绩考核，从而促使学生将主要精力放在使用数学工具去解决实际问题上。考核评价包括"笔试、实验、小论文"三部分。笔试考核采用闭卷形式，力求题型丰富。主要考查基础知识与解决问题的能力，考核的重点放在解决问题的方法与步骤上。实验评价主要是考核学生利用计算机解决数值计算问题的基本能力，一般采用半开卷形式，允许学生查阅基本公式等资料。现场抽题，编程解决问题并运行程序得到结果。同时，要求学生结合自己的学科与研究方向，选择自己研究或导师研究的科研项目中的数值计算问题，通过利用课程的网络平台自学等方法解决实际问题，并形成研究报告，即小论文。这种考核方式对研究生来说可以促使他们较早进入科研角色。真正做到"学为所用"。

本文对数值分析课程教学中存在的问题予以分析，提出数值分析教学改革的一些建议。由于数值分析课程向学生传授了许多新的思想和新的方法，如果教师在教学中既传授各种基本算法的原理和思想，通过上机实验引导学生注意各种算法的技巧，重视培养学生使用计算机进行数值计算的能力，这样必然能使学生的创新能力、实际动手能力不断提高。