例析高中数学解题能力的培养

不少学生上高中后，学习数学就感到很困难，这一部分原因是高中课程内容多，每一节课的容量都不小，与初中数学有明显的差别，高中数学学起来困难还有一个重要原因就是课后解题无所适从，很多学生反映上课都听得懂，课后题就是解不来。这就碰到一个重要问题高中数学成绩好坏就决定于如何快速解题，而解题的能力不是说提高就提高的，快速解题很大一部分取于解题策略选择，解题策略经验积累是需要一定过程。下面结合平时教学谈谈解题能力的培养。

一、抓好“双基”是培养学生解题能力的基础

数学双基包括基础知识与基本技能。数学基础知识就具体内容来说有三个方面：①知识――概念，公式，公理，定理，法则，性质，符号等；②方法――消元法，换元法，配方法，待定系数法，数学归纳法，坐标法，图象法，分析法，综合法，演绎法，反证法等；③思想――化归与转化，函数与方程，数形结合，分类讨论，特殊与一般等。按现代学习论观点，“技能是在练习的基础上形成的能按某种规则或操作程序完成某种智慧任务或身体协调任务的能力”。数学能力的训练是遵循明确的“法则”或“程序”的，按高考要求，数学能力包括空间想象，抽象概括，推理论证，运算求解，数剧处理及应用和创新意识。

例1：（2013年福建高考数学（理）第8题） 设函数[f（x）]的定义域为R，[x0x0≠0]是[f（x）]的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

A、[?x∈R，f（x）≤f（x0）] B、[-x0]是[f（-x）]的极小值点

C、[-x0]是[-f（x）]的极小值点 D、[-x0] 是-[f（-x）]的极小值点

分析：本题知识点是函数极大（小）值点的概念与函数的概念及函数图象变换。如果没有理解好极值的概念就错选了A，函数的图象[f（-x）]与[f（x）]关于y轴对称，[-f（x）]与[f（x）]关于x轴对称，-[f（-x）]与[f（x）]关于原点对称，这些在教学中就要发挥老师的作用，通过对知识加工深化，使学生能把数学符号翻译成数学关系，抽象概括出一些结论，有了数形结合思想，结合推理论证就能得出正确答案D。

所以我们在数学教学中，绝不能放松对基础知识和基本技能的“双基教学”，绝不能只钻一些偏题和怪题，唯有读书破万卷，才能下笔如有神。

二、通性通法是数学解题能力的根本

高考考试说明明确规定，考查是要从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴含的数学思想和方法的掌握。因此在教学中要关注问题的本质讲清通法的概括过程，通过启发和引导，让学生参与到每种通法产生提炼中来，加深学生对通法本质及数学思想的理解。在解题思路不很明朗的时，首先尝试通法，往往可以达到“柳暗花明又一村”的效果。例如平面向量基本定理教学过程中，给出两个基底及第三个向量，如何把第三个向量表示基底形式的方法就是处理向量中一种常用方法，教学中通过多媒体演示，教师板书分析，学生动手操作，领会数形结合思想，同时加深对数乘运算[a=λb]中[λ]意义的理解。当同学们遇到类似[OA=λOB]+[μOC]时解题的方向就非常明确了。

如2013安徽理科9、在平面直角坐标系中，[o]是坐标原点，两定点[A，B]满足[|OA|=|OB|=OA?OB=2]则点集[OP|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R]所表示的区域的面积是（ ）

A.[22] B.[23]

C.[42] D.[43]

分析：本题的关键是理解点P所满足的区域是什么。由[OP|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R]联相到平面向量基本定理，由根据[-1≤λ≤1]，[-1≤μ≤1]形可得出点P的区域如图所示平行四边形[ABA/B/]及其内部，面积为AOB的四倍，从而得出答案为D。

福建省2013理科20题：已知函数[f（x）=sin（wx+?）（w>0，0

（1）求函数[f（x）]与[g（x）]的解析式。

（2）是否存在[x0∈π6，π4]，使得[f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）]按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定[x0]的个数，若不存在，说明理由。

（3）求实数[a]与正整数[n]，使得[F（x）=f（x）+ag（x）]在[0，nπ]内恰有2013个零点。

分析：这道压轴题所用到的方法都是通性通法。第（1）问是基础题用的方法就是通法就能得到[f（x）=cos2x，g（x）=sinx]。第（2）问假设存在，由[f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）]按照某种顺序成等差数列，根据等差数列定义要判断[f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）]的大小，再根据定义得到等式，从而由[x0∈π6，π4]得到[12

第（3）问由几个零点求参数问题，这类问题的通法是分离变量，利用数形结合思想，结合图象进行判断。注意分离参数时有系数[sinx]从而讨论知[x=kπk∈Z]不是方程的解，把问题转化为关于X的方程[a=-cos2xsinx，（x≠kπ，k∈Z）]，根据函数表达式联想到三角函数类问题要判断它是否为周期函数，利用定义可得这个函数周期是[2π]，从而把函数转化为[（0，π）?（π，2π）]上研究，借助于导数知识及极限思想可得出[（0，π）?（π，2π）]的草图如图所示，从而得出[|a|>1]在[（0，π）?（π，2π）]都有两个根，在[0，nπ]不可能有2013个零点，当[|a|=1]，在[（0，π）?（π，2π）]都有3两个根，而2013=3×671，由周期性可知[n=2×671=1342]时在[0，nπ]恰有2013个零点，当[a=0]在[（0，π）?（π，2π）]都有四两个根，在[0，nπ]不可能有2013个零点，所以[|a|=1]且[n=1342]时[F（x）=f（x）+ag（x）]在[0，nπ]内恰有2013个零点。

从上面分析我们可以看到通性通法是解决数学问题的根本所在，教学中始终要所通性通法放在解题的首位。让学生在“熟”和“透”方面下些工夫，使自己遇到新问题时就能联想到相应的知识、方法，把思考的范围缩小在可控范围内，当学生掌握了这些通性通法后，通过平时有素训练的，数学解题能力的提高就为期不远了。

三、一题多解，提高解题灵活性

数学解题中数学思维是来自于对基础知识的理解，数学解题训练要回归课本中所涉及的知识点。对于高考题往往是在知识点的交汇设置试题，对考生的能力要求，尤其对思维能力的要求比较高，这就要求我们在平时的解题训练中，要有意识地培养学生从不同层次、不同角度、不同方向对问题进行分析，以活跃思维。如在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且[BC=3CD]，点O在线段CD上（与C，D不重合），若[AO=xAB+（1-x）AC]，则x的取值范围（ ）

A.[0，12] B.[0，13]

C.[-12，0] D.[-13，0]

方法一：从[AO=xAB+（1-x）AC]联想到向量作图。如图所示根据向量的四边形法则[AO=AN+AH]根据数乘原形理由图可知当[x

方法二：有的学生可能想不到方法一，由于点O在线段CD上运动，故可设[BO=λBC]则[1

[AO=AB+A0=AB+λBC]=[（1-λ）AB+λAC]

同时[AO=xAB+（1-x）AC]，根据向量基本定理得[x=（1-λ）∈][-13，0]。这种方法是向量中常用方法，求一个向量是基底的线性表示，利用三角形法则与共线件把一个向量用两种形式化成基底表示，再结合向量基本定理，运用方程思想求得相应系数，当遇到点是动点时本题的设法是常用方法，在教学中要归纳总结。

方法三：向量这章节有个方法就是基底正交化，即用坐标来表示相应的向量。由于本题是选择题（填空题也可行）利用特殊与一般的思想，把ABC当成等腰在角形，AB=BC=1，把相应的点表示成坐标，[O（m，0），（1

则[AO=（m，-1）]，由[AO=xAB+（1-x）AC]=[1-x，-1]

得到[m=1-x]从而得到[x∈-13，0]。坐标化是平面问题处理的理想工具，有关向量题中有平行四边形，三角形时，做为小题出现，不妨利用特殊的图形代替，可能使问题简化。高考中这种思想在有限的时间内处理一些考题时可能可以起到四两拔千斤的作用。如2012湖南高考题：如图4，在平行四边形ABCD中 ，APBD，垂足为P，[AP=3]且[AP?AC]= 。

分析：此题若把平行四边形当成正方形，显然P为对角线交点，[AP?AC=3×6×cos00=18]快速得到答案。

解题的教学指导是高中课堂经常进行的，老师要上课之前一定要精选例题，先研究，不要就题论题，讲完通性通法之后，可引导学生思考你所想到的思路或某些学生想到的思路让大家共享，让课堂实实在在成为解题指导的主阵地。

四、解题反思，促进解题能力提高

平时发现很多同学解完一题后就算完了，这样即使解很多题目，最终对解题能力的提高并没有多大帮助，只能事半功倍，要做到事倍功半提高数学解题能力，有一个很好的环节就是解题反思，要反思什么呢？这也要让学生明确，总体为说有①思考本题所考查的知点，经常这样想想，对知识怎么考做到心里有数，②思考本题是否是一类题，它有什么通性通法，能不能举一反三；③思考本题有没有别的解法，我的方法是否最佳；④同学之间有什么方便解法，是自已想不到，请教同学等等。平时教学时可选一题多解的题目进行引导。

如上三角变换公式时，根据教学安排引导学生在实践中演练计算[sin150]的不同方法，先[sin150=cos750=cos1200-450]接着[sin150=cos750]

[=cos300+450]再次是[sin150=sin450-150]，最后[sin150=1-cos3002]，能地层层进行，不仅让学生理解了三角变换变的是形式，不变的是本质，其次让学生明白对于非特殊解如何化成特殊角进行解决的思路。除了在平时上课时引导反思后，作业设置是可多选择一部分一题多解的习题给学生训练，并在学生中反馈不同的解法，让学会体会解题的思想方法，逐步积累各种行之有效的解题策略及经验。

学生数学解题能力是由多种因素构成的，仅凭课堂上教师解题潜移默化地影响是不够的，一定要让学生的自觉行动起来，多参与实践，让学生在解题过程中获得乐趣，产生灵感、悟出解题的正确思路和方法。