让数学概念活起来

摘 要：数学是思维的科学，概念是思维的细胞，教好概念是教好数学的内在要求。概念教学搞不好，数学课程目标的实现就失去了根基。然而，现实中不少教师对数学概念教学有名无实，许多教师甚至认为教概念不如多讲几道题目更“实惠”；更令人担心的是，有些教师不知如何教概念。学生也往往错误地认为，学概念就是背定义、记公式，既没有形成数学概念思维，也根本不理解数学思想。专门整理了一位省高中数学优质课一等奖教师的一节“正弦函数、余弦函数的性质”课堂教学实录，并作了一些评析。就数学概念教学引入发现、形成理解、深化掌握等方面有许多值得学习借鉴的地方，与大家一起分享探讨。

关键词：高中数学；概念教学；思维 一、概念引入发现

【课堂实录】

教师：在我们生活中，哪些现象也是周而复始的？请同学们

举例。

学生：太阳东升西落，人的心脏跳动。

教师：对，生活中，这些现象是周而复始的。今天是星期几？

学生：星期四。

教师：再过几天又是星期四呢？

学生：七天。

教师：那再过七天呢？

学生：还是星期四。

教师：今天是星期四，只要过的天数具有什么特征，就会再次出现星期四？

学生：7的倍数。

教师：我们在生活中又接触了周而复始。

【个人点评】

概念的引入贴近生活。在引入课题时，情境的内容生活化，从学生熟悉的生活情境出发，使学生感受到数学就在他们的周围，感觉数学并不遥远、陌生、从情感上增强了探究的自信；从长远来看，有利于培养学生理论联系实际、学以致用的意识，提高学生观察事物、发现问题的能力。

二、概念形成理解

【课堂实录】

教师：数学来源于生活，有这么一个概念来概括函数的周期性（板书函数周期性）。对于一般函数f（x），请给出周期函数的定义，用自己的语言。同学之间可以讨论交流。

学生：经过相等的间隔，函数值相等。

教师：相等的间隔，间隔值确定的吗？

学生：间隔值是个数。

教师：间隔值是个常数，不妨设为T，对函数f（x），有某个常数T，函数值相等如何用数学式子表示？

学生：f（x）=f（x+T）

教师：通过这位同学的叙述，整理出对于一般函数f（x），存在某个常数T，有f（x）=f（x+T），则f（x）为周期函数（板书）。有没有要补充的？

学生：T≠0

教师：当T=0时，f（x）=f（x+T），就是f（x）=f（x），没什么研究价值。

教师：经过这位同学的补充，周期函数的定义完善为：对于一般函数f（x），存在某个非零常数T，有f（x）=f（x+T），则f（x）为周期函数（板书上添加）。从式子上看，x在定义域内，x+T也在定义域内，那么取出f（3+5）=f（3），f（7+5）=f（7），f（10+5）=f（10）这些式子，能说明函数f（x）是周期函数吗？

学生：不能说明，不连续。

教师：那补f（4+5）=f（4），f（5+5）=f（5）……补全就行了吗？

学生：应该取f（3+5）=f（3），f（3+10）=f（3），f（3+15）=f（3）……

教师：这样取下去能得到f（3+5k）=f（3），你得到了周期是几？

学生：周期是5。

教师：刚才的例子中马年符合12年一轮回，马年后的羊年符合12年一轮回吗？

学生：符合。

教师：可见，我们年份中的每个年份都符合12年一轮回。这反映在函数f（x）上，只对f（3）符合刚才周而复始的规律够了吗？

学生：不够。

教师：那对函数中的x有何要求？

学生：对定义域中的每一个x，都要符合周而复始的规律。

教师：在大家的不断完善下，定义为：对于一般函数f（x），存在某个常数T≠0，对定义域内的每一个x，都有f（x）=f（x+T），则f（x）为周期函数（继续在黑板上补充）。从定义上看到f（x）=f（x+T），那么延续下去f（x）=f（x+T）=f（x+2T）…x+T在定义域内，x+2T也在定义域内，那么该函数对定义域会有什么要求呢？

学生：定义域往两边发展。

【个人点评】

概念的形成教师“导”学生“做”。教师的“导”穿针引线，学生的“做”数学作为课堂的主线。把“现成的数学”在教师的指导下变为学生亲身体验和经历的过程，体会蕴含在其中的思想方法，享受“做”数学的乐趣。波利亚曾说过：学习任何知识的最佳途径都是由自己发现，因为这种发现，理解最深刻，也最容易掌握其中内在的规律、性质和联系。以色列著名数学教育家斯法德等人的研究认为：在数学中，许多抽象的数学概念，从操作的角度可以分别被看作一个过程操作。通过学生“做”数学，这个过程操作又被再现，这种亲身体验和经历的过程，如同重新经历数学的发现过程，也就是学生的“再发现”过程，可以启迪学生发现问题，再创造地解决问题；通过学生“做”重新经历了概念本质的形成过程，从而理解数学概念的本质。从发展的眼光看，有利于培养学生的数学探究能力和数学素养，开阔数学视野，激活数学思维，增强应用能力，从而有效提高教学效率。

三、概念深化掌握

【课堂实录】

教师：对，定义域向无穷方向发展。我们在前面的学习中接触过这样的函数吗？举个例子。

学生：y=sin x。

教师：题1.y=sin x的周期，展示图像（幻灯片）。

学生：周期2π。

教师：为什么周期是2π，4π是它的周期吗？

学生：是。

教师：y=sin x的周期还有吗？哪些也是？

学生：6π、-4π、-6π…

教师：正弦函数周期有多少个？

学生：无数个。

教师：只要是2π的非零整数倍，都是正弦函数的周期，在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。例如y=sin x的最小正周期是2π。以后我们就约定函数f（x）的周期就是f（x）的最小正周期。

课后证明：y=sin x的最小正周期是2π。

教师：题2.y=sin 2x的周期。

学生：周期kπ，最小正周期π。

教师：约定函数f（x）的周期就是f（x）的最小正周期。为什么是π？

学生：sin 2x=sin（2x+2π），sin 2x=sin 2（x+π），f（x）=f（x+T）

T=π

教师：这位同学在解题中提到的一个思想，y=sin 2x的2x相当于题1中的x，令u=2x，y=sin u，y=sin u的周期为2π，所以y=

sin 2x的周期为π。

教师：题3.y=sin（2x+）的周期。

学生：还是π。

教师：你怎么做的？

学生：令u=2x+，y=sin u的周期为2π，sin（u+2π）=sin u，sin（2x++2π）=sin（2x+），sin[（2x+π）+）]=sin（2x+），

f（x+π）=f（x）

T=π

教师：题中的2x、2x+都可以整体代换成x，这里用了换元思想。

教师：题4.y=-2 sin（2x+）的周期。

教师：从图象看，系数-2对周期有什么影响？

学生：没什么影响。

教师：那题4的周期是多少？

学生：π。

教师：题5.y=sin（-2x+）的周期。大家各自做，请一位同学黑板上做。

学生：f（x）=sin（-2x+），令u=-2x+，sin（u+2π）=sin u

sin（-2x++2π）=sin（-2x+），sin[-2（x-π）+]=sin（-2x+）。

教师：思路清楚。题4中大家认为A对函数周期无影响，这里的φ=？对函数周期有没有造成影响？

学生：无影响。

教师：题6.y=A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A≠0，ω≠0）对周期有影响的是ω，根据我们刚才同样整体代换的思想能得出y=

A sin（ωx+φ）的周期是多少？

学生：T=。

教师：同理，我们可以从y=cos x的周期是2π，得到y=A cos（ωx+φ）

（A，ω，φ为常数，A≠0，ω≠0）的周期是T=.

教师：那我们来一起探究题7：如果函数y=f（x）的周期是T，那么函数y=f（ωx），ω≠0的周期如何求？

学生：令u=ωx，f（u+T）=f（u），f（ωx+T）=f（ωx），f[ω（x+）]=

f（ωx），函数y=f（ωx）的周期是。

教师：有没有不同意见？

学生：现在的周期约定为最小正周期，所以是。

【个人点评】

概念的深入以问题为线，层层递进，不断延伸，为思维而教。问题是思维的源泉，更是思维的动力。以问题串的形式贯穿于教学，使学生一环扣一环，在有效问题的驱动下进行积极的思考、探究、类比、讨论，让学生在探索、类比中发现知识，使得整节课有一气呵成之感。这节课共设计了七个问题，从考虑一组对象着手，进而考虑包含该组对象在内的更大的一组对象，把局部的、特殊的数学问题上升为整体的、普遍的数学问题。设计的问题具有较大的思维空间，问题与问题之间存在内在的联系和因果关系，这样的设计不仅使课堂教学富有生命力，而且调动了学生思维的积极性和主动性，促使学生的思维向知识的深度和广度拓展，进而提高了学生的学习能力。站在思维的高度设计问题，不仅能使学生学到知识，更能使学生收获方法、提高悟性，从而真正促进学生思维的发展。

四、探讨

数学学科是由一系列的概念、定理、法则等组成的体系，具有较强的确定性、准确性和逻辑性。数学概念教学是一个复杂的系统工程，不同概念教学使用的教学处理教学方法不同，但其共性的地方是大多数都从“具体―半具体―半抽象―抽象”的模式中产生设计，从生活实例出发，从学生的主动性开始，通过“引入概念―形成概念―深化概念”三个环节进行教学。该堂课教学基本沿用这条思路，结合其个人优秀的教学基本功与学科素养，取得了教学的成功。

当然，数学概念教学这三个环节并不代表唯一方式，更不代表最优。重要的是需要教师重视和加强数学概念的教学研究和探索，认识数学概念的重要性和基础性，课堂教学中抓住数学核心概念，完善概念教学环节的科学性和实用性。从教育学与心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。