函数y=x+ (m≠0),掀起你的“盖头”来,让我来看看你的“脸”

函数y=x+ （m>0），很多老师在教学中会冠以它一个响亮的名字――“对勾”函数，这样似乎既形象直观地刻画了这个函数的性质特征，又能让学生加深对它的印象.但是如果函数y=x+ （m>0）可以叫“对勾”函数，那么y=x+ （m

1.庖丁解牛

高中阶段主要研究了焦点在坐标轴上的双曲线方程，以下对中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线 - =1（a>0，b>0）举例说明.

因为双曲线 - =1（a>0，b>0）在平移变化和旋转变化下的形状不发生变化，其中在平移变化下为： - =1（a>0，b>0），方程结构没有大的变化，双曲线的各种性质也容易研究，此处不做展开.而在旋转变化下， - =1（a>0，b>0）结构会发生很大的变化.

引理：点P（x，y）在平面直角坐标系下，绕原点逆时针旋转α角的旋转变化，记为R ，旋转后的点P′（x′，y′）.

（1）R 对应于矩阵，R =cosα -sinα|sinα cosα；（2）x′y′=R xy=cosα -sinαsinα cosαxy，

即：点P（x，y）在R 变化后的点P′（x′，y′）满足：x′=xcosα-ysinαy′=xsinα+ycosα.

设P（x，y）为双曲线 - =1（a>0，b>0）上任意一点，在R 变化后的点为P′（x′，y′），

所以x′=xcosα-ysinαy′=xsinα+ycosα（α为旋转角）…（*）

双曲线 - =1（a>0，b>0）的两条渐近线l ：y= 和l ：y=- x，记l 的倾斜角为θ（其中tanθ= ），现将l 绕原点逆时针旋转 -θ，使得l 与y轴重合，取α= -θ，所以有cosα= sinα= 代入（*）得x′= x- yy′= x+ y…（1）

解得x= y= 又 - =1，所以 - =1，整理后得：y′= x′+ ，

令：k= ，m= ，则有：y′=kx′+ （k∈R，m>0）…（2）

2.柳暗花明

通过上述证明，函数y=kx+ （k∈R，m>0）的图像可由双曲线通过旋转得到，当然y=kx+ （m>0）的真实身份就是双曲线.

结论：函数y=kx+ （k∈R，m≠0）的图像为双曲线.

注：m0时的图像关于y轴对称变换得到.

所以所谓的“对勾”函数y=x+ （m>0）的图像，其实质是一双曲线，当然y=x+ （m0）与y=x+ （m

3.顺藤摸瓜

既然函数y=kx+ （k∈R，m>0）的图像为双曲线，当然它也具有双曲线的一些性质。

（Ⅰ）根据（2）k= ，m= ，以及旋转前双曲线的离心率e= 得，双曲线y=kx+ （m≠0）的离心率与k的关系为：k= .

（Ⅱ）由（1）的旋转变化，双曲线 - =1的另一渐近线l ：y=- x在旋转变为y′= x′，即：双曲线y=kx+ （m>0）的两条渐近分别为直线x=0和y=kx.

特别地：当a=b，即e= 时，k=0，双曲线y= （m>0）是由等轴双曲线 - =1，绕原点逆时针旋转 得到，其中m= ，且两条渐近分别为直线x轴和y轴.

注：m0时的图像关于y轴对称变换得到.

结论：反比列函数y= （m≠0）的图像为等轴双曲线.

（Ⅲ）双曲线y=kx+ （m≠0），当m>0时，实轴长=2 ；虚轴长=2 ；当m

（Ⅳ）y=kx+ （m≠0）与y=kx- （m≠0）互为共轭双曲线.

反思：虽然函数的图像很多情况下可以直观地刻画函数的性质，但是图像毕竟只是函数的“表象”，我们要通过“表象”看事物的本质，只有看透了事物本质，才能胸有成竹，百战不殆，抓住事物本质是数学教学的重要目标之一.