体验数学中的“类比”

【摘 要】在平时的教学过程当中，教师要引导学生大胆地类比猜想，并帮助学生严谨缜密地证明类比归纳出的正确结论，让学生从中体验数学的奥秘，从而培养学生的发散思维能力和创新能力。本文结合教材中的实例和生活中的实例谈谈高中数学中的“类比”。

【关键词】体验类比；类比思想的培养

高中数学课程标准指出：“推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”在具体解决问题的过程中，类比推理这一思维方法有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。在平时的教学中，教师要引导学生大胆地类比猜想，并帮助学生严谨缜密地证明类比归纳的正确结论，让学生从中体验数学的奥秘。

一、体验教材中的类比

天文学家开卜勒曾说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。”数学家拉普拉斯也说过：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”在我们的数学课本中同样也处处可感悟到类比的奇妙。

（一）由“类比”导入新课

用类比法引入新知识，可使学生更好地理解新知识的内涵与外延。在高中数学中，可通过类比引入的新课十分多。例如，我们在新授苏教版必修3的几何概型时，当教师首次将几何概型的模型给出时，学生会误认为古典概型，教师稍作点拨后，学生发现虽然每个基本事件的发生具有等可能性，但试验中的基本事件有无限多个，类比古典概型的概率公式P（A）=，学生会发现m，n+∞，也就没法计算概率了，所以我们要寻求一种新的测度来求几何概型的概率，这样就很自然地引出了新课，学生会饶有兴趣地去寻求新的办法解决几何概型的概率问题。这样，也很自然地将知识建构的主动权给了学生，能更好地激发学生学习数学的积极性。

（二）由“类比”新授知识

数学课程标准强调：以教师为主导，以学生为主体，激发学生已有的知识经验和潜能，让学生成为知识的占有者和探索者。在实际的教学中能体现这一新精神的方法很多，其中类比法特别受学生的青睐。在圆锥曲线教学中，双曲线新课教学可与刚学过的椭圆知识进行类比。在苏教版必修5的数列教学中，每研究一个等比数列问题基本上都是类比等差数列进行的。先是类比等差数列研究最基本的通项公式和求和公式，再是类比研究一些重要性质。

其实，在数学教材中，很多新知识都是在已学知识的基础上发展而来的，因而在这些新知识中多少都会带有旧知识的影子。在授课时，有意识地引导学生对旧知识进行回忆、类比，给学生创造思维的环境。可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法。激发学生的积极性，变被动听为主动学。

（三）由“类比”灵活解决新问题

在高三的复习中学生遇到过这样的问题：

数列{an}满足a1=1，an+an-1=（）n（n≥2），Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n，求3Sn-an·2n+1。大部分学生都对该问题束手无策，但是假如学生能类比课本中推导等比数列的前n项和公式的方法（错位相加法）得到以下两个式子：

Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n；

2Sn=a1·22+a2·23+…+an·2n+1

两式相加就很快解出答案是n+1。

二、体验现实生活中的类比

在一次研究性学习中，一学生举了一个有趣的例子：自然界有很多小动物受到外界的攻击时，都会缩成一团（尽量缩成球状），包括人，受到外界攻击时，本能反应也会抱头一缩，他问谁能解释一下这一自然现象。顿时教室里鸦雀无声，大家对这位同学的这个问题觉得很好奇。生活中确实见过不少例子，比如毛毛虫、刺猬等小动物，去动动它们，它们立马缩成一团，可除了生物学家，谁知道里面的奥妙呢？这位学生将他将他的学习成果用实物投影展示出来。他说：“请问用同一根绳子在草地上围一块正三角形草坪、正方形草坪、圆形草坪，哪块的面积最大？哪块最小？”大家都知道圆面积最大，三角形面积最小。这位学生提出新的问题：请问表面积相等的正四面体、正方形、球谁的体积谁最大？谁最小？类比平面知识大家发现：若表面积为定值a，通过计算发现，球的体积最小。将上述知识联系生活实例，终于发现：小动物受到攻击时缩成一团，可以尽量减小自己的体积。这样就减少被攻击的可能，太神奇了！这位学生从一个平面几何结论类比到了立几中的三个表面积相等的几何体的体积大小关系，还将知识与自然界的生物现象联系起来。事实上，生活中的一些重要理论，最初都是通过类比推理提出的，科学家的重大发现，最初也是通过类比推理提出的。惠更斯提出的波动说，这是与水波、声波类比而受到的启发。鲁班从树叶的锯齿形状发明了锯子，从风筝的飞起类比到飞机上天等等。

三、类比思想的培养

运用类比推理去研究数学问题，有利于提高学生的创造性思维。类比得到的命题不一定是真命题，带有猜测的性质，尽管类比出的结论不一定真实，但它毕竟是学生思考过程的体现，可以帮助学生寻到解决问题的方法和途径。因此我们要重视培养学生的类比思想，我们将类比思想渗透于教学环节时，一定要以学生为主，要肯定学生，不要一味追究类比猜想的结论的真假。例如在学等比数列的性质时，学生由结论“若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…（k∈Z）也成等差数列。”类比得出结论“若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…（k∈Z）也成等比数列。”的时候，教师可以通过举反例“1，-1，1，-1，…”来说明这里的Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…（k∈Z）可能为零。

【参考文献】

[1]霍福策.浅议新教材中的类比思想.高中数学教与学.2009（2）

[2]李星明.数学教学中合情推理能力的培养.高中数学教与学.2004（1）

[3]沈秋伟.挖掘数学教材内涵，搭建自主探究舞台.中学数学教学参考.2005（6）

[4]新世纪教师教育丛书——教育新理念

[5]普通高中数学课程标准

（作者单位：江苏省外国语学校）