谈高中数学学习内容的意义

摘 要：从数学角度来看，数学知识是有意义的，数学方法与数学思想更是有意义的，但在数学学习的过程中，由于学习主体是高中学生，他们虽然有多年的数学学习经验，但却未必能够理解数学的意义.

关键词：学习内容；意义

高中数学教什么？当然是教具有高中学段特点的数学内容. 但从现代课程理念的角度来看，这一认识并不完整. 现代数学教学观点认为，高中数学教学所要教的不只是纯粹的数学知识，更是指有意义的数学.

显然，有意义的数学是一个较新的概念，首先要对其有一个基本的了解. 要让数学内容有意义，关键在于读懂数学学习背后的意义. 从数学的角度来看，数学知识是有意义的，数学方法与数学思想更是有意义的，但在数学学习的过程中，由于学习主体是高中学生，他们虽然有多年的数学学习经验，但却未必能够理解数学的意义，在他们的眼中，数学更多的是一门学科，是具体的数学知识，他们能够理解复杂的数学知识，也能够利用具体的数学方法去解决数学问题，但要从中读出数学意义，还需要数学教师作出具体的指导. 笔者以为，从数学教师自身的角度来看，数学意义及其教学要从以下几个方面来进行：

数学知识本身的数学味

数学内容的意义首先体现在数学知识的学习要具有数学味上，对当前教育有一定研究的教师都知道，目前在学科教学领域非常强调学科味，但由于数学这门学科相对比较理性，数学教师本身也不善于用语言来描述内心的思考，因此相对于其他学科，尤其是文科而言，数学学科的数学味的呼声并不那么高，但这并不意味着数学知识教学的数学味道可以忽略. 相反，作为一门极其重要的基础性学科，其本味是必须高度重视的，这是有意义的数学的理解基础.

那么，数学味到底是一种什么样的味道呢？首先，相对于当前的课程改革而言，很多时候教学形式的改变及其聚焦程度超过了数学学习本身，笔者以为这不是一个正常的现象，作为高中数学教师，其对数学教学本身的研究应当首先以数学作为基础，其次才是教学方式改革. 数学作为一门研究数与形的学科，数学抽象、数学模型的建立、化归思想的运用，都应当是数学味道的重要体现，但近年来很多对于高中数学课堂的评价往往集中在有没有运用先进的教学方式，如探究式学习与合作学习等，集中在数学知识的生成方式上，如是否遵循建构主义的教学理念等. 殊不知，作为高中数学教师，眼光固然要向上看这些教学理念，但不能忽略的是脚下必须踩着数学土壤. 离开了后者去谈前者，那是没有根基的，是容易摔跟头的.

其次，数学知识是以数学知识之间的联系为基础的，并在此基础上形成了系统的数学大厦. 从必修1的“集合”知识，到“函数的概念与基本初等函数”知识，再到必修4的“三角函数”知识以及“平面向量”知识，又到“三角恒等变换”知识，这其中无不包含着复杂的数的关系及图形的关系. 在高中数学课堂上，这种数学关系的发现、建立与理解，是高中数学教学中数学味的主要来源. 真正有效的教学改革，一定是在数学知识的基础上进行教学方式构建的过程，而不是相反.

再次，根据笔者在实际教学中进行的一些调查（调查方式主要是口头调查以及根据学生的数学问题解决的反馈），真正有效的数学学习过程并不是那种方式上热闹的过程，而是学生能够沉浸在数学思考中的过程. 比如说“任意角的三角函数”知识教学中，当学生遇到类似于“用什么样的数学模型刻画（x，y）与（r，a）之间的关系”的问题时，学生此时并不一定非得需要合作或探究才能完成，事实上如果教师能够提供一个良好的数学情境，让学生能够逐步从初中阶段学过的利用直角三角形定义锐角三角函数，过渡到高中数学中正弦、余弦、正切等三角函数的几何表示时，学生的学习效果一样的理想. 而笔者也以为这样的过程可能更符合数学学习的特征，因为数学本身就是一门以思维为主要特征的学科，其并不特别追求外在学习方式的花哨，真正的数学应当是冷静的，而冷静、理性也正是数学味道的真正来源.

数学知识生成的过程性

数学知识的生成过程最终依赖于谁？这个问题的回答涉及现代数学教学理念的理解. 显然，合理的答案是依赖于学生，因为学生在数学学习的过程中，其自身对数学的理解来自于自身的建构，而教师的讲解是为了帮助学生建构数学知识. 从这个角度来看，这一观点似乎有点类似于时下时髦的“建构主义学习理论”. 但事实并不完全如此，当著名数学教学专家郑毓信教授明确说自己“不是一个建构主义者”时，笔者就感觉到对于任何一个教学理念的理解都不应过于盲目，对于普通高中的数学教师而言，什么样的理念并不重要，重要的是自己的教学方式能否帮学生顺利地建构出数学知识，能否让学生真正获得数学方法与数学思想.

建构也罢，讲授也罢，这里暂且不作过多的争辩. 还是来关注学生在数学知识学习过程中的心理表现吧. 仍然以刚才所举的“任意角的三角函数”知识教学为例，学生在研究正弦、余弦和正切函数的几何表示时，思维中会有一个什么样的过程呢？不妨先以正弦函数的几何表示为例来进行一个简单的分析.

学生熟知的是：由于正弦和余弦函数在平面直角坐标系中与点在角的终边上的位置无关――请注意，这是学生构建本知识的重要基础！于是，当在研究中选择r=1的时候，学生的建构过程将是顺利的，他们不会怀疑选择r=1与r=2有什么区别，相反他们看到是当选择r=1时，探究的过程将更为简单. 在此基础上，学生自然会构建出过所选择的点作x轴的垂线的思路，但此时“有向线段”的概念却是学生难以自发建立起来的，因此在这个时候教师的讲授就成为一个关键. 这里需要强调的是，此时没有必要为了体现探究性，而让学生去绞尽脑汁地探究出“有向线段”，因为作为一个基础性的概念，对其探究并非不可以，但却没有必要花费课堂上的宝贵时间. 有向线段的概念建立之后，定义正弦线与余弦线的工作学生可以顺利完成，于是第一步探究也就顺利结束. 而在此基础上的另一个探究任务，即探究用适当的有向线段来表示第一向限角的正切，就成为一个学生有可能自主完成的任务，为什么呢？因为学生经过刚才的学习，已经有了相应的知识基础与能力基础.