时间标度上三阶时滞动力方程解的振动性与渐进性

摘要:考虑时间标度上一类三阶变时滞动力方程解的振动性与渐进性,建立了该方程的解振动或收敛的充分条件。

关键词:时间标度;动力方程;振动性;渐进性

中图分类号:TP311文献标识码:A文章编号:1009-3044(2010)21-6063-03

Oscillation and Asymptotic Behavior for Third-Order Dynamic Equation with Delay On Time Scales

CHEN Ying-hui1,ZHANG Hai-jun2

(1.School of Mathematical Sciences, Jiaying University, Meizhou 514015, China; 2.College of Arts, Jiaying University, Meizhou 514015, China)

Abstract: A third-order dynamic equation with delay On time scales is investigated. Some sufficient conditions guaranteeing every solution of this equation oscillating or converging to zero is established.

Key words: time scales; dynamic equation; oscillatory; asymptotic

本文讨论如下三阶方程的解的振动性质:

(1)

其中T为时间标度,p(t)是一个定义在T上的正的rd-连续的实函数;τ(t):TT是一个rd-连续的函数,满足

。

由于我们只考虑振动性,因此假定supY=∞,并且定义[a,∞)T=[a,∞)∩T。我们所说的方程(1)的解是指满足(1)上午非平凡解,它是定义在t∈[a,∞)T上的实函数。如果(1)的一个解既不恒正也不恒负,则称这个解是振动的;否则称它是非振动的。如果(1)的所有解都是振动的,则称方程(1)是振动的。

1 主要结论

引理1. 设x(t)是方程(1)的一个最终正解。则当t≥t0足够大时x(t)只可能有如下两种情况:

。

定理1. 设

(2)

如果x(t)是方程(1)的一个解,则x(t)或者是振动的,或者满足:

证明:令x(t)为方程(1)的一个非振动解。不失一般性,若x(t)为(1)的一个最终正解(x(t)为最终负解的情况类似可证),则由引理1可知,x(t)满足Case I或者Case II。如果x(t)满足Case I,则存在t1∈[t0,∞)T,使得对任意t≥t1,x(τ)) ≥x(t0)=c>0。对(1)两边同时从t1到t积分,可得:

这与t≥t1时x≥0矛盾。即方程(1)的解是振动的。

如果x(t)满足 Case II,则x(t)是非递增的,且存在0≤0,则存在t1≥t0,使得

。

在方程(1)两边乘以σ(t)并且从t1到t积分,可得

,

即

这与(2)相矛盾。

然后我们证明。实际上,由于x(t)>0(t≥t1),故x(t)是递增的,且。因此,x(t)≤β, t≥t1。如果β

因而

这与x(t)是最终正解相矛盾。证毕。

现在我们考虑的情形。

引理2. 设

(3)

则 (1)的满足Case I 的解满足

是非递增的(4)

证明: 反证法。假设x(t)

即

所以

这是一个矛盾。因此x(t)≥ tx(t)。由于

,

故而结论成立。证毕。

定理2. 设(3)成立。如果存在一个正的非递增的函数,使得

(5)

对任意常数M>0和足够大的t1成立,则(1)的任一解或者是振动的,或者是收敛的。

证明:令x(t)为方程(1)的一个非振动解。不失一般性,若x(t)为(1)的一个最终正解,则由引理1可知,对于x(t),Case I或者Case II成立。如果x(t)满足Case I,则存在t1∈[t0,∞)T,使得对任意。定义Riccati变换:

(6)

则有

(7)

由于x(t)是非递减的,由中值定理可得,

因此有

由(4)可知,。因此

(8)

其中。由于x(t)≥ tx(t),且,故

即

由(7)(8)(9)可得

(10)

两边同时从t1到t积分,有

即

这与(5)相矛盾。因此方程(1)的解是振动的。

如果x(t)满足Case II,则x(t)是非递增的,且x(t)>0,因此存在(有限)。这就证明了结论。

定理3. 设(3)成立。如果存在一个正的非递增的函数,和一个正奇数m,使得

(11)

对任意常数M>0和足够大的t1成立,则(1)的任一解或者是振动的,或者是收敛的。

证明:令x(t)为方程(1)的一个非振动解。不失一般性,若x(t)为(1)的一个最终正解,则由引理1可知,对于x(t),Case I或者Case II成立。如果Case I成立,仿照定理2的证明,存在t1∈[t0,∞)T,使得对任意。定义(6)所示的Riccati变换ω(t),并且令

则由(10)可得,ω(t)≤-A(t),即A(t) ≤-ω(t),t≥t1。因此有

故

这与(11)相矛盾。因此方程(1)的解是振动的。

如果x(t)满足Case II,则x(t)是非递增的,且x(t)>0,因此存在(有限)。证毕。

2 举例

考虑方程

此方程满足定理1的条件,故此方程的解或者是振动的,或者是收敛的。

参考文献:

[1] BOHNER M, PETERSON A, Dynamic Equations On Time Scales: An Introduction with Application[M].Boston,Birkauser,2001.

[2] SAHINER Y, Oscillation of second-order delay differential equations on time scales,[J].Nonlinear Analysis,2005,63,1073-1080.

[3] HAN Z L,SUN S R, SHI B, Oscillation criteria for a class ofsecond-order Emden-Flower delay dynamic equations on time scales,[J].Math.Anal.Appl,2007,334,847-858.

[4] ERBAL, PetersonA, SAKER S H , Hill and Nehari type criteria for third-order dynamic equations,[J].Math.Anal.Appl,2007,329,112-131.

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