合理描述:学生数学学习的张力

准备上一节有关风的语言课，课前备课时老师注意到给幼儿园的小朋友描述风是一件很困难的事。第二天一下班，朋友就问我什么是风？我说这简单，空气对流就形成了风。“你这是教条、缺乏想象力的表现！”朋友不无自豪地说，“关门的时候有风，小草摆动的时候有风，树叶动了也是有风，头发飘起来也有风，把水弄身上觉得很凉快也是有风。怎么样，我的小朋友的答案不是比你强？”我很惊讶。在成人看来很难用语言描述的科学性问题，在孩子们看来是这样的简单，孩子的答案也更简洁、直观、形象、精彩。

这件事给了我很大的启发，也引起了我的思考：在学生的数学学习中，学生对数学学习的过程和结果的表达是不是有一个合理的描述呢？也就是让学生用自己的语言描述学生自己的学习认识，而我们要做的仅仅是如何让学生对数学的描述更具合理性。

一、关于几何初步知识的合理描述

案例主题：新《课程标准》指出：“小学阶段设置的图形与空间，将几何学习的视野拓宽到学生的生活空间，强调空间和图形知识的现实背景。而且要使学生通过观察、分析和制作等方式从不同角度对图形的运动与变换进行合理的描述。”低年级学生刚刚接触形体知识，对形体知识还停留在用口语来描述直观图形上，而且偏重于对标准图形的描述。

案例描述：这是一年级的一节研究课。教师挂出了钉子板：“刚才我们认识了长方形、正方形和圆形，小朋友，你能在钉子板上用橡皮筋围成一个长方形吗？”一个学生很快在围成了长方形，接着另一个学生受到启发也很快围成了一个正方形。“那么，小朋友想一想，可以在钉子板上围成圆形吗？”有了前面两次鼓励，好几位学生上前来围圆形，结果都被自己否定掉了。“还有哪位小朋友来试试？”教师很有耐心。“老师，我可以的！”一位小女孩怯生生的。“你可以的？”显然教师很惊讶，“那你来围一围。”小女孩很快在钉子板上围出了一个正八边形。“这是圆形吗？”教师似乎早已知道结果，其余小朋友也都说不是。“如果再多几条边就可以围成圆的。”小女孩边说边比划，解释自己的想法，然而教师并没有继续这个思路。

案例注释：学生往往倾向于用日常用语来描述几何概念，因此学生并不能用精确的数学语言来刻画自己想要表达的含义，就如上例中的小女孩，她对直线图形与曲线图形没有较为精确的了解。她围出来的只是一个八边形，当然不是圆了。然而精彩之处在后面，“如果再多画几条就可以围成圆的。”不是吗？如果可以的话确实可以得到一个无比类似的圆啊！在这里，小女孩的描述很简单，在她看来，多画几条线就越来越接近圆了。很可惜，教师没有意识到小女孩简单的言语中蕴涵的数学思想。

二、关于规律性知识的合理描述

案例主题：规律是事物或现象的内在本质，是认识事物和现象的主要途径。小学生的学习不是像成人那样可以借助于纯抽象的数学概念进行思考和描述，而是以具体、形象的表象作为理解数学、描述数学的基础，从“现实的、直观的”问题和现象出发，在教师的引领和帮助下，通过观察、比较、分析，等方式获得体验。

案例描述：苏教版小学数学第八册第122页，小数点的移动引起小数大小的变化。观察下面的一组等式，等号左边小数点的位置是怎样移动的，小数的大小又发生了怎样的变化：①0.005米=5毫米；②0.05米=50毫米；③0.5米=500毫米；④5米=5000毫米。把②③④式与①式比较，可以发现：小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……把①②③式与④式比较，你又发现了什么？

教材首先安排了带有序号的一组等式，让学生进行有序观察，探索小数点的移动引起小数大小变化的规律。但是在实际的教学过程中，有部分学生观察后的描述是这样的：生1：从上往下看，等号左边依次少一个零，右边依次多一个零。生2：从下往上看，5000是500的十倍，500是50的十倍，50是5的十倍。生3：有的小数点后面有两个零，有的是一个零，第四个等式没有小数点。生4：等号左边的单位是米，右边的单位是毫米……

案例注释：为什么学生的描述和教师预设的结果会有这么大的差异？其实只要对学生的描述进行分析我们就不难发现，这些描述还仅仅停留在等式的表面，是对等式表面现象的反映，没有对等式本身所蕴涵的内在规律即小数点的移动引起小数大小变化的规律进行合理的描述。

课程目标指出：“在经历观察、分析、归纳等数学活动过程之后，要发展学生合理的推理能力和初步的归纳演绎能力，能有条理地、清晰的阐述自己的观点。”案例中，小学生认识小数点的移动引起小数大小变化的规律是从直观到初步感知，然后才能抽象，才能深刻理解，才能用合理的语言描述自己的观点。

三、关于操作知识的合理描述

案例主题：操作层面上问题的解决是一项非常有意义的学习活动。这种活动是富有“挑战性”和“启发性”的。提倡以“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的基本模式呈现知识内容，让学生经历“数学化”与“再创造”的过程，形成自己对数学的理解。这里的“解释”实际上是对问题解决过程及结果的合理描述。

案例描述：操作实验——估算一摞纸。教师拿出一摞纸；请大家估算一下，大概有多少张？给出操作要求：小组合作，自行分工，填写操作报告。

案例注释：发展学生能力的根本途径是加强实际操作，案例中学生在掌握估算方法的基础上进行估算操作实验，完成实验后填写了操作报告。估算对象、估算结果、估算工具相对容易些，而估算步骤、估算评价的描述相对复杂些，要求也较高，它要求学生能清晰地描述整个估算过程，并对过程进行真实的评价。