对数学表象与问题解决的探究

摘要： 本文探究了数学思维的心理元素之一――数学表象，从数学表象的特征――形象性、主观灵活性、抽象概括性和创造性等四个方面，对于不同问题，从数学表象的特征出发，提出不同的解题方式，最后提出一些解题策略。

关键词： 数学物象 数学表象 问题解决

一、 对几个概念的阐释

1.表象

在心理文献中表象（presentation）又叫意象（image）或心象（mental image）。而当强调事物形象在心理活动中的再现时，又叫做再现表象或表征（representation）。表象经常在某种程度上是事物的概括的反映、概括的映像。表象是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁。

2.数学物象、数学表象、数学形象思维

数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括后得到的观念性形象，它是通过逻辑思维的渗透和数学语言做物质外壳，运用典型化的概括了的理想化形象，使主体能够对数学物象进行自由的比较、分解、选择、整合加工改造。加工器中以数学表象信息的加工为主流的进行心理运算的思维为数学形象思维。依照数学表象的特征主要分为形象性、主观灵活性、抽象概括性和创造性。

3.数学问题解决

数学问题解决是指学生在新的情景状态下，运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程。

二、数学表象的形象性

数学表象是人脑对数学物象的反映，是主体在数学活动中的心象，它是一种理想化了的形象，因而具有形象性的特征。数学表象不像具有形象那样明晰，它是模糊的。数学表象的形象性表现出多样，不管是数学概念、数学命题还是数学推理论证，都不但具有宏观整体（综合）形象，还存在许多从不同的角度观察所产生的不同形象。

【例１】以椭圆 + =1内点M（1，1）为中点弦所在直线L的方程为。

说明：（1）已知点在对称轴上时，直线可直接写出。（2）否则可求斜率，斜率可直接求或用“点差法”间接给出。

解法一：弦所在的直线斜率应存在，设为k

L：y-1=k(x-1)。代入椭圆得，x +［kx+(1-k)］ 4=16，(1+4k )x +8k(1-k)x+4(1-k) -16=0；X ＝ =1,4k -4k=1+4k ,k=- ,所以L方程为：即y-1=- (x-1)即x+4y-5=0

解法二：设弦为AB，A(x ,y ),B(x ,y )则 =1, =1,且x+4y=16,x+4y=16,所以(x +x )(x -x )+4(y +y )(y -y )=0, =-,k =- ,下略。

简评：解法一中，有时两边消去K的两次项也许消去K不存在的对应解。解法二对于圆锥曲线数点共线时比较适宜。

三、数学表象的主观灵活性

数学表象源于对数学物象的知觉，因而它是以个人以往的主观经验为基础的。除了那些可以物化的数学语言、图形或实验模型的表象外，它是私人的、易变的、模糊的，是不容易进行交流的。数学表象作为主体内在的“图画”，是一个高度发达的动力系统，它能迅速灵活地组合转化。

【例２】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有几个？（1992年全国高考题）

解：如图，作出正方体ABCD- A B C D ，图中四棱锥D -ABCD的四个侧面均为直角三角形，故结果为4个。借助正方体图形，使得本题的解答直观而快捷。

【例3】已知a＞b＞c＞0,函数f(x)=log (x+1),求 , , 。

分析：若注意到 是表示曲线上一点与原点所在直线的斜率 ，可利用对数函数的图像，作出y=log (x+1)的图象，如右图，显然 ＜ ＜ 。

四、数学表象的抽象概括性

数学表象是数学物象在人脑中的反映，因而数的抽象概括性决定了数学表象必然具有抽象概括性的特征，数学表象还源于视知觉，存在于从具体的记忆表象抽象到创造表象的层次结构，就意味着承认数学表象具有抽象概括的功能。

在高中数学中常见有如求方程“log (x+1)-x =0”的解。

可以分解为两个函数f(x)=log (x+1)和g(x)=x ,然后，作出图像，两个函数结合起来，观察图形，显然就能求出x的解。

五、数学表象的创造性

数学表象建立在先前知觉的基础之上，是以往大量形象信息在大脑中的储存，它具有灵活易变的特点，能为主体对其进行自由的比较、选择、分解、整合、加工，从而将人们从死板的真实中解放出来，引发新的结构、新的概念和新的关系。

【例4】已知x，y，z∈R ，x+y+z=1求证： + + ≤3 。

分析：由方差公式及非负数模型特性，有

S = ［（（3x+2)+(3y+2)+(3z+2))-( + + ) ］

= ［9- ( + + ) ］≥0

所以， + + ≤3

【例5】人教版全日制普通高级中学教科书（必修）2006年11月第2版P12例2。

已知a,b,m都是正数，并且a＜b,求证： ＞ 。

证明：设 =M， =N则M+N=1，又N= ≤ (b＞a＞0,m＞0)

M=(M+N)-N≥1- = ， ＞ 。

教材中是利用差比法，而通过比较，在人对数学的感知上，对式子重新组合，利用不等式的基本性质，重新建立新的关系。从而问题解决。

数学问题解决的方法很多，有化归法、类比推理、归纳法等等，更重要的是从学生的心理着手，运用人对事物的认识，根据问题在人的大脑中感知的表象，利用一题多解，建立数学模型，灵活、概括、创造性地解决问题。

参考文献：

［1］孙杰远.现代数学教育学［M］.桂林：广西师范大学出版社，2004.

［2］何小亚.数学学与教心理学［M］.广州：华南理工大学大学出版社，2004.7.

［3］梁开华，郝晓刚.高中数学综合性问题［M］.上海：上海大学出版社，2002.

［4］人民教育出版社中学数学室.人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册(上)［M］.2006年11月第2版.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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