关于曲线之切线的求法
时间：2022-09-22 01:34:16
摘要： 曲线的切线是高考命题频率较高的知识点之一。《平面几何》中圆的切线、《解析几何》中圆锥曲线的切线、应用导数中求曲线的切线，经历了从一般到特殊，从低级到高级的认知过程。本文主要从求法的角度整合对各阶段切线的认识、理解， 从而灵活地掌握求曲线的方法。
关键词： 曲线 切线 几何法 判别式法 导数法
一、切线的定义
由《平面几何》中切线的定义、《解析几何》中切线的定义并结合《极限理论》中曲线的切线的定义，可以概括出曲线的切线的统一定义为：直线与圆锥曲线有两个重合的交点，这样的直线是曲线的切线，这个交点是切点；从运动变化的角度来看，这个交点是动点的极限位置。
二、切线的求法
从定义的内涵来看，它来源于两个理论基础知识体系。因此求曲线的切线的方法有着各自不同的适用范围。从静态定义来看，几何法和判别式法均适用于二次曲线，思路方法相对简单，但运算量较大；从动态定义来看，导数方法适用的范围更广，方法更简捷，运算量一般较小，是求曲线的切线的通法。
1.几何法。因为圆具有特殊的几何性质，故几何法一般可用于求圆的切线。
例1：已知M（x ，y ）点是圆C：x +y =r 上一点，求过点M的圆的切线。
分析：圆的切线的几何性质是圆心与切点的连线垂直于圆的切线（或圆心到切线的距离等于圆的半径）。由此很容易依据点斜式和斜率不存在时两种情况写出过圆上一点M（x ，y ）的切线为：xx +yy =r 。变式：
（1）求过圆P：（x-a） +（y-b） =r 上一点M（x ，y ）的切线。
分析：利用圆的切线的几何性质得出所求的切线为：（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）=r 。
（2）求过圆P：（x-a） +（y-b） =r 外一点M（x ，y ）的切线。
分析：利用圆心到切线的距离等于圆的半径这一几何性质可求。（过程略）
2.判别式法。不仅可以求圆的切线，也可以求其他圆锥曲线的切线。
例2：设P（x ，y ）是双曲线 - =1（a＞0，b＞0）上一点，求过点P（x ，y ）的双曲线的切线。
分析：①若P（x ，y ）为双曲线的实轴的端点，即x =±a，y =0时，过点P的双曲线的切线的斜率不存在，切线为：x=x 。②若P（x ，y ）不是双曲线的实轴的端点，则切线的斜率存在。不妨设为k，切线方程为y-y =k（x-x ），与双曲线 - =1（a＞0，b＞0）联立方程组并消去y得y y=p（x+x ）。
上述方程有两个相等的实根，
b -a k ≠0且V=4a k （y -kx ） +4（b -a k ）［a （y -kx ） +a b ］=0
又b x-a y=a b 代入判别式化简得（a ky -b x ） =0，
k=
所求的切线为：y-y = （x-x ），整理得 - =1。
显然当切线的斜率k不存在时，即x =±a，y =0也满足上面的方程。
过双曲线 - =1（a＞0，b＞0）上一点P（x ，y ）的切线为： - =1。
同理，其他圆锥曲线的切线也可以用判别式法得到：
推广：（1）过椭圆 + =1（a＞b＞0）上一点P（x ，y ）的切线为： + =1。
（2）过抛物线y =2px（p＞0）上一点P（x ，y ）的切线为：y y=p（x+x ）。
点评：直线是圆锥曲线的切线?圳直线与圆锥曲线有两个重合的交点?圳直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组有惟一一组实数解?圳一元二次方程有相等实根?圳二次项系数不等于0且=0。
三、关于切线的几条结论
1.直线与曲线相切有切点，但未必只有一个公共点；
2.直线与曲线相切，切点可以有无数个。如y=sinx在点（2kπ+ ，1）（k∈Z）处的切线y=1，与曲线y=sinx有无数个公共点，且每个公共点都为切点；
3.过曲线上一点不一定存在切线，如曲线上的孤立处没有切线；
4.过曲线上一点的切线如果存在，曲线不一定在切线的同侧，如双曲线在切线的两侧。
通过对几种求切线方法的认识，进一步理解了切线的概念及有关的性质，尤其是对于导数法的理解，其实质是导数的几何意义建立了导数与解析几何知识的关联。运用导数知识解决相应的解析几何问题，是在知识交汇处命制试题的一个热点，也是培养综合运用数学知识解决实际问题的重要途径。
参考文献：
［1］刘绍学主编.数学（选修2-1）.北京：人民教育出版社，2007.
［2］张喜堂主编.数学分析（上、下）.武汉：华中师范大学出版社，1995.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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