由函数y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象谈函数图象的变换

【中图分类号】G633.6

在中学数学中，"数形结合"是一种非常重要的思想，学生能准确、快速地作出函数的图象，有助于问题的快速解决。所以由基本函数的图象通过变换得到较复杂函数的图象，是学生必备的一种能力和素质，而体现图象变换规律的主要载体就是由y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图象变换，从这一问题就可以抽象出一般函数图象变换的规律。下面通过自己在教学中的一点实践，在理解由y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的基础上，帮助同学们更好地掌握图像的变换规律，谈几点看法。

一. 对由y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及实质的理解

一般由y=sinx的图象得到函数y=Asin（ωx+φ）+b（A>0， ω>0）的图象，可有下列两种途径：（1）先平移后伸缩：把函数y=sinx图象上的各点沿x轴向左（φ>0）或向右（φ0）或向下平移（b0）或向右（φ

从以上可以看出，要正确的把握和运用规律，关键点是在x轴上的变化问题，从两种途径不难得到其实质可以概括为：x轴上的变化只变x，整个变化只针对自变量x而进行。也即沿x轴平移时，只须在x上加上（向左平移）或减去（向右平移）φ（φ>0），沿x轴伸缩时，只须在x上乘以伸缩倍数的倒数。把握和理解了这一实质，无论变换哪个函数的图象，都可轻松解决。

例如，把函数的图象先向左平移个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图象与的图象重合，求ω、φ的值。

解析：把y=3sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为，再把图像上各点横坐标伸长为原来的2倍，即得解析式为，根据题意，此解析式应为y=3sinx，从而有，（或2kπ，k∈Z），解得。

二. 以上图象变换规律迁移到一般函数图象的变换中

首先，掌握了以上规律，可以解决由y=cosx到y=Acos（ωx+φ）和由y=tanx到y=Atan（ωx+φ）的图象变换问题。

例如.若将函数（Ⅰ）的图象向右平移个单位

后，与函数（Ⅱ）的图象重合，求ω的最小值。

分析：把图象（Ⅰ）向右平移个单位后，解析式变为，要使其图象与图象（Ⅱ）重合，则必有，故有，显然当k=0时，ω>0最小为。

其次，可以将以上规律运用到一般的函数y=f（x）的图象变换中，可得到下列结论：（1）；

（2）；

（3）；

综合以上结论，即可由y=f（x）的图象得到y=Af（ωx+h）的图象。

例.求函数的图象的对称中心.

分析：对于反比例函数的图象及对称中心是学生较为熟悉的，由得，把的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，即可得的图象，从而（0，0）平移至（2，2），故原函数的对称中心为点（2，2）。

学生在掌握了基本函数的图象以后，根据以上规律，可以很快的解决有关函数图象的问题。

例.已知函数f（x）=x2+2x-1，若将函数f（3-2x）的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，再把横坐标缩短为原来的倍，求所得函数图象对应的解析式。

分析：把图象

，即所得函数图象对应的解析式为y=f（1-4x）+2，从而可由y=f（x）得到其解析式。

总之，对函数图象基本变换规律的探究，不仅能锻炼同学们的思维能力，更能培养归纳类比及数形结合思想的应用意识。当然，图像还有对称等方面的变换，只要做一个教学中的有心人，总能总结出实用的规律。这篇短文只是对平移方面（特别是沿x轴）的规律作了一些肤浅的总结，还请各位提出宝贵意见。