高考三角函数核心考点揭秘

三角函数是高考的考查热点，命题的一般模式为一个客观题和一个解答题，其中客观题一般多为基础题，解答题为中档题．解答题多为三角函数与三角变换的综合问题或三角函数与其他知识的交汇问题．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，公式正用要善于拆角；逆用要构造公式结构；变用要抓住公式结构，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法和技能．解三角形的内容不仅能考查正、余弦定理的应用，而且能很好地考查三角变换的技巧，它还可与立体几何、解析几何、向量、数列、概率等知识相结合，这其中经常涉及数形结合、分类讨论及等价转化等思想方法；主要考查运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题；运用这两个定理解决一些与测量以及几何运算有关的实际问题．

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三角函数的图象与性质

【考纲要求】 了解三角函数的周期性． 理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等）． 理解正切函数在区间－■，■内的单调性．

【考纲解读】 ①仅仅了解三角函数的周期性是不够的，要重视周期性在三角函数的求值和图象中的应用，这是周期性考查的重点所在．

②关于性质，《考纲》不仅仅限于对函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的要求，而且还要能够应用转化思想、整体思想、数形结合思想来求解y=Asin（ωx+φ）等函数的单调性、周期性、最值性等问题．具体可以从两个角度来理解和求解有关的性质问题，一是从“数”的角度，一定要将正弦函数、余弦函数、正切函数的性质记清楚；二是从“形”的角度，即能够通过函数图象来描述相应的函数性质，能够通过图象的运动情况来研究和解决相应的性质问题． 注意《考纲》中没有淡化对函数对称性的考查，因此要对三类函数的对称轴、对称中心准确把握．

【经典例题】 函数f（x）=acos（ax+θ）（a>0）图象上两相邻的最低点与最高点之间距离的最小值是_______．

命题意图 本题考查正弦函数的诱导公式、奇偶性、对称性、单调性、周期性等性质，同时考查数形结合思想、整体思想．

思路分析 正弦函数与余弦函数中两相邻的最低点与最高点之间横坐标之差的绝对值为■周期，纵坐标之差的绝对值为最大值的两倍，由此可求函数f（x）=acos（ax+θ）（a>0）图象上两相邻的最低点与最高点之间距离，从而利用基本不等式可求其最小值．

完美解答 函数f（x）=acos（ax+θ）（a>0）图象上两相邻的最低点与最高点之间距离为■≥2■，所以最小值是2■．

【经典例题】 已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A>0，ω>0，0

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求f（x）的单调递增区间．

命题意图 本题考查了三角恒等变换公式，重点考查了三角函数的性质．

思路分析 求解三角函数的解析式，如果所给解析式是高次的，则往往要通过二倍角的降幂公式降幂．一般情况下，函数的解析式形如y=Asin（ωx+φ），则参数A和ω分别由函数的最大值、最小值和周期决定，求φ则往往是通过代点解方程的方法确定．

完美解答 （1）f（x）=■cos（2ωx+2φ）+1+■，由题意，■+1+■=3且■=2，所以A=2，T=4．

所以■=4，ω=■．

所以f（x）=cos■x+2φ+2．

令x=0，得cos2φ+2=2．

又0

所以函数f（x）的解析式为f（x）=2－sin■．

（2）令2kπ+■≤■x≤2kπ+■（k∈Z），得4k+1≤x≤4k+3（k∈Z），所以f（x）的增区间是［4k+1，4k+3］（k∈Z）．

【命题趋势】 高考中此类试题难度中等偏易，且可能会综合函数的性质以判断命题真假的形式来考查．

函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质

【考纲要求】 了解函数y=Asin（ωx+φ）的物理意义；能画出y=Asin（ωx+φ）的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．

【考纲解读】 函数y=Asin（ωx+φ）是一种正弦型函数，关于此函数要侧重两个方面：一是性质，要能够应用数学思想来求解相应的性质问题；二是要侧重研究参数A，ω，φ对函数图象变化的影响，这是高考中的热点题型．

参数A，ω，φ对函数的影响主要体现在两类题型中．

一是平移问题，二是已知图象求解函数的解析式问题．

平移问题依据三个参数的物理意义可分为周期变换、相位变换、伸缩变换三种，要注意三种变换之间的区别和联系．

已知图象求解析式问题，关键是对“五点法”的深入考查，要能够应用整体思想、方程思想进行求解．

【经典例题】 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω>0，φ

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图1

命题意图 本题主要考查参数 A，ω，φ对函数图象的影响，以及五点法作图．

思路分析 此类问题往往都是依据图形，结合参数A，ω，φ的物理意义进行求解． 参数A，ω可由图象直接确定；参数φ的值通常都是由函数的类型寻找“五点法”作图中的关键点（一般为最高、最低点），代入确定φ值．

完美解答 由题意，A=2，T=■=2■－■，所以ω=■

【命题趋势】 函数y=Asin（ωx+φ）的性质和图象是高考的重点内容，2012年高考必定会有所考查，试题可能会以选择题或填空题的形式出现．

解三角形问题

【考纲要求】 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

【考纲解读】 解三角形是高考中的必考内容，考查的重点是正、余弦定理的应用，以及由此而产生的判断三角形形状或求边、求角等问题．

【经典例题】 在ABC中，已知（a+b+c）（a+c－b）=3ac．

（1）求角B的度数；

（2）求2cos2A+cos（A－C）的取值范围．

命题意图 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等．

思路分析 解三角形问题一般是将边角互化． 另外，解三角形问题一般都要将所求的边角放入易于求解的三角形中或构造适当的三角形进行求解，要注意角的取值范围．

完美解答 （1）由（a+b+c）（a+c－b）=3ac得a2+c2－b2=ac，

由余弦定理得cosB=■，所以角B=■．

（2）由（1）知A+C=■，所以2cos2A+cos（A－C）=1+cos2A+cos2A－■=1+cos2A－■cos2A+■sin2A=sin2A+■+1．