高考函数、导数核心考点揭秘

函数是高中数学的知识主干，是高考考查的重点．函数问题更多是与导数相结合，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数的性质，应用函数的单调性证明不等式，体现出新的综合热点．纵观近几年的高考试题，函数与导数知识占有极其重要的地位，不仅形式多样，而且知识覆盖面广，突出考查方程与函数、联系与转化、分类与讨论、数形结合等重要的数学思想．下面针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索．

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函数的性质

【考纲要求】 了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．

【考纲解读】 函数的基本性质包括单调性与奇偶性，一般地，研究函数通常从定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性几个方面来研究． 此外，加强和图形的结合，体现数形结合的思想．

【经典例题】 定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：

① f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；

② f ′（x）是偶函数；

③ f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）设g（x）=4lnx－m，若存在x∈［1，e］，使g（x）

命题意图 本题是考查函数性质的综合题，能把已知条件转化为方程求参，并能利用导数求函数的最值．

思路分析 本题关键是深刻理解单调性、偶函数的概念，求参数取值范围要进行参数分离转化为求函数的最值问题．

完美解答 （1）f ′（x）=3ax2+2bx+c，因为f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，所以f ′（1）=3a+2b+c=0． （?鄢）

由f ′（x）是偶函数得b=0．

又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直， f ′（0）=c=－1，代入（?鄢）得a=■，即f（x）=■x3－x+3．

（2）由已知得：若存在x∈［1，e］，使4lnx－m4lnx－x2+1．

设M（x）=4lnx－x2+1，x∈［1，e］，则M′（x）=■－2x=■．

令M′（x）＝0，因为x∈［1，e］，所以x=■，当x≥■时，M′（x）≤0，所以M（x）在（■，e］上为减函数，当1≤x0，所以M（x）在［1，■］上为增函数，所以M（x）在［1，e］上有最大值．

又M（1）=1－1=0，M（e）=5－e2

于是有m>5－e2为所求．

【命题趋势】 函数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质如周期性、对称性相结合求函数值或参数的取值范围，2012年备考时应加强这方面的训练．

指数函数的图象和性质

【考纲要求】 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质．

【考纲解读】 指数函数是重要的初等函数，考查主要集中在图象和性质这部分内容，正确地绘制指数函数的图象是本节“双基”演练的出发点，同时应重视有理指数幂的运算，保证算得准，不失分．

【经典例题】 设集合A=｛x0≤x

A． log■■，1?摇?摇?摇 B． （log32，1）

C． ■，1 D． 0，■

命题意图 本题主要考查指数函数的图象和性质，考查分类讨论的思想．

思路分析 分段函数，第一段函数求出的值域作为第二段函数的定义域，结合集合A，B的取值范围，求x0的取值范围．

完美解答 当x0∈A时， f（x0）∈［1，2）， f［f（x0）］∈（0，2］，而要当x0∈A时， f［f（x0）］∈A，则f（x）=4－2x∈［0，1），所以x∈■，2，即2■∈■，2，所以x0∈log■■，1，即选A．

【经典例题】 已知函数f1（x）=e■， f■（x）=e■，x∈R．

（1）若a=2，求f（x）=f■（x）+f■（x）在x∈［2，3］上的最小值；

（2）若x∈［a，+∞）时， f■（x）≥f■（x），求a的取值范围；

（3）求函数g（x）=■－■在x∈［1，6］上的最小值．

命题意图 本题主要考查指数函数的图象和性质，考查化归转化的思想和分类讨论的思想．

思路分析 本题的关键在于转化，将指数型函数转化为二次函数来进行求解．

完美解答 （1）因为a=2，且x∈［2，3］，所以f（x）=e■+e■=e■+e■=■+■≥2■=2e，当且仅当x=2时取等号，所以f（x）在x∈［2，3］上的最小值为3e．

（2）由题意知，当x∈［a，+∞）时，e■≤e■，即x－2a+1≤x－a+1恒成立，所以x－2a+1≤x－a+1，即2ax≥3a2－2a对x∈［a，+∞）恒成立，则由2a≥0，2a2≥3a2－2a得所求a的取值范围是0≤a≤2．

（3）记h1（x）=x－（2a－1），h2（x）=x－a+1，则h1（x），h2（x）的图象分别是以（2a-1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1．

①当1≤2a－1≤6，即1≤a≤■时，由（2）知g（x）在x∈［1，6］上的最小值为f■（2a－1）=e0=1．

②当a

（ⅱ）当h1（1）>h2（1），得a－1>1，即a

③当a>■时，因为2a－1>a，可知2a－1>6，

（ⅰ）当h1（6）≤1，得2a－7≤1，即■

（ⅱ）当h1（6）>1且a≤6时，即4

（ⅲ）当a>6时，因为h1（6）=2a－7>a－5=h2（6），所以g（x）在x∈［1，6］上的最小值为f■（6）=e■．

综上所述， 函数g（x）在x∈［1，6］上的最小值为e■，a

【命题趋势】 高考对本节内容的考查可能仍以概念的理解、指数的运算为主，题型为客观题；以指数或指数函数为命题背景，重点考查参数的计算，也可以利用导数来解决一些与指数函数最值有关的问题．

对数函数的图象和性质

【考纲要求】 理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质．

【考纲解读】 对数函数是考试的热点，特别是和导数的结合更加完美，重点考查对数函数的图象和性质．