对课堂例题教学的一些思考

我们常有这样的困惑：不仅是讲了，而且是讲了多遍.可是学生的解题能力就是得不到提高！也常听见学生这样的埋怨：巩固题做了千万遍，数学成绩却迟迟得不到提高！这应该引起我们的思考了.诚然，出现上述情况涉及方方面面，但其中的例题教学是值得反思的，数学的例题是知识由产生到应用的关键一步，即所谓“抛砖引玉”，然而很多时候只是例题接例题，或是例题接练习.解题的整个过程并没有引导学生进行“有效的思考”，因而学生的学习也就停留在例题表面，出现上述情况也就不奇怪了.

孔子云：学而不思则罔，思而不学则殆.由此我们就不难理解，为什么在例题教学中，必须时时刻刻关注学生的思维，让学生的思考具有“个性”魅力.如果说收效不大的例题讲解是“暗淡无色”的，那么成功的例题讲解就应该是“五彩缤纷”.本人试拟一些有代表性的颜色来谈对数学例题教学的一些思考.

一、白色

想像白色的纸，白色的纸代表中立和记录信息.白色是关于数据和信息的……如，在已知条件中，我们有什么信息？在这里有没有遗漏什么信息？我们从结论看，应该有什么信息？我们怎样去获得这些信息？……

这道题的答案可能很多同学在上课的时很快就报出来，可是让他把具体的解题过程写出来，可能就不是很简单的事情了.出现这种情况的原因就是平时解题时没有注意用白色来训练学生的思维.拿到题目过后，不是要求学生去追求题目的答案，而是将题目作为一个“引子”，通过分析，让学生进行有效的思维训练.

一般地，先让学生指出图中相等的线段有哪些？遇到周长问题的，一般的思考方向是什么？……通过设置一些小问题，让学生充分的理解图形，从而解出题目的答案.解题之后，再抛出几个变式训练.

变式3：如图2，在ABC中，MN垂直平分AB，PQ垂直平分AC，且∠BAC=100°，求∠MAP.

当你在上课时要求学生进行白色思考的时候，你就是在要求学生撇开设想和争论，而把注意力集中到信息上面来.这时候.每个学生都来寻找有哪些可获得的信息、需要哪些信息，以及如何获得这些信息.这样就为后面的解题带了方便.同时随着不断的训练，学生就不会出现盲目解题的情况，至少会懂得分析的重要性.

二、红色

想像红色、火焰和温暖.红色是关于感觉、直觉和情感的.在“严肃”的课堂教学中，一般不能让你提出自己的情感化的意见，但是人们往往在所提出的意见逻辑中隐藏着自己的情感.红色允许人们直接表达他们的感觉和直觉，而毋需进行任何解释、道歉和纠正.

如，我对这个题目的感觉是很难下手；我内心就是觉得这样处理不会有用；我不喜欢这样的方法来解这题.我的直觉告诉我这样做是对的！……

对于这道题目，可以先让学生大胆表达出自己的猜想，并对自己的猜想加以简单的说明，同时通过小组讨论的方式进行对学生的各种说明进行汇总，并进行进一步的严格推理论证.

由于红色相当于感觉之类的“信号”，所以感觉、直觉等可以直接进入讨论，而不必伪装成其他的方式进行.即使直觉的背后没有可以明白说出来的理由.，但是直觉很有可能是基于多年在相关领域中积累下来的经验的综合判断，因而具有很高的价值.当然，我们也应该指出，直觉也不一定总是对的，它也可能是错的.有时候，把感觉公开表达出来是很有价值的.

三、黑色

想像一个身穿黑色长袍的严肃的法官，他严厉地批判那些做错事情的人.黑色是“谨慎”的；黑色阻止我们犯错、做傻事和做不合逻辑的事情；黑色是用来进行严格的判断的；黑色指出为什么有的事情不能做；黑色指出为什么有的事情不合适……

如，这题的条件不允许我们这样做；我们没有足够的条件来满足那个结论；如果我们这样处理的话，结论就会发生变化；他在解这类题目方面是没有任何经验……

例如，我们可以在上课的时候选取一些发生在学生中的典型错误，让学生展开讨论，指出这些错误可能带来“严重”的后果，让学生认识到就可以了，点到为至，千万不要在这里“大张旗鼓”的展开.一来学生会起反感情绪，二来是过多的强调可能会使学生的思维更加的狭隘，不利于发展学生的思维活动.

错误有可能导致灾难的后果，没有人愿意犯错或者做蠢事.因此，黑色是极有价值的.也许它是运用的最多也是最有用的一种颜色.但同时，人们也很容易滥用黑色.有的人认为只要对任何建议保持谨慎和批判性的态度就足够了，如果你防止了错误的发生，那就万事大吉了.这种过早的否定很容易扼杀掉好的创意.酒是好的，但过度饮酒使人变成一个酒鬼.运用黑色也是同样的道理，它是非常有价值的，但是过度运用也会出问题.

四、黄色

想像一下阳光.黄色是乐观的，是对事物的积极方面作出逻辑评价；黄色寻求可行性和如何能够做某件事情；黄色寻找事物的优点，但这必须是基于逻辑的判断……

如， 这样解题可能会起作用；如果我们把三角形全等的知识用到有关四边形证明的话；对题目进行归类对我们的学习是大有好处的；思维的方向会对解题带来决定性的作用……

例如，如图4，在ABC中，BD平分∠ABC交AC与D，且DE∥BC，求证：BE=DE.这是在初中数学中一个比较重要的有关等腰三角形证明的例子，其中有一个信息“当平行线和角平分线同时出现的时候，一般就会有等腰三角形.”但这不是一个定理，不能直接应用，而为了训练学生的思维，我想我们可以借此展开，对这个信息进行“强化”，进行一些图形的变式.

图5～图7的变式，就可以让学生充分理解由图4得出的这一个信息，同时理解“中间结论”对解题的重要性，体会出“努力的思考题目中的积极因素对解题带来的方便”.

黑色比黄色用起来更为自然，因为人们天生需要避免错误和对生存的威胁.所以黄色思考常常需要我们进行刻意的努力.很多事情的好处并不是一开始就显而易见的，我们需要努力去找寻它们.每个创意都值得进行一定的黄色的关注.

五、绿色

想像一下蔬菜和生机勃勃的成长.绿色是用来进行创造性思考的；绿色是用来提出新的主意的；绿色是用来提出另外的选择的；绿色是能够用来提出各种可能性和假设的；绿色包括“激发”和“移动”等技巧；绿色需要进行创造性的努力.

如，我们在这里需要一些新的主意；还有另外的选择吗？我们可以用不同的方式来做这件事情；还有其他的解释吗？

例如，如图8，ABC为等边三角形，点DE分别在BC边和CA边上，BD=2DC，CE=2EA.AD与BE相交于G点.求证：AD=BE.

这是一道过去传统的几何证明题，它的解题思路是传统的全等三角形的证明与应用.对于一般的学生来说，解决这样的一个问题是没什么问题的.但对于锻炼学生的创新思维就作用不大.如果我们将提问的方式改为“试就有关图形的形状、大小和关系得出尽可能多的结论.”

这样题目的结论就升华为开放式的.这就要求学生在原来的解题经验上进行进一步的思考，由提出假设到推理论证，根据学生不同的思维方式、不同的数学认知结构和不同的数学能力，有可能出现不同的结果.这样一来，每个学生都得到了不同程度的提高，尤其是锻炼了自己的思维.

绿色使得我们可以直接要求他人进行创造性思考.绿色为创造性思考留出了时间和空间.即使没有创意能被提出来，我们也可以运用绿色来要求大家进行创造性的努力.

六、蓝色

想像天空和俯瞰.蓝色是用于过程控制的；蓝色是对思考过程的思考；蓝色建议下一步进行什么样的思考；蓝色可以提出上什么颜色来思考；蓝色要求参与者进行简要总结、给出结论和作出决定；蓝色可以对思考过程作出评论

如，我们花费了太多的时间来处理题目的条件；我们能对你的观点做一个总结吗？我想我们现在应该来看看这个创意的优点.我建议我们现在试试用绿色来获得一些创意.

蓝色简单的理解就是对解完题目后的一个反思，通常我们采用的反思有以下三种情况：

（1）在解题方法规律上的反思，此时就是蓝色要求采用“绿色”和“黄色”进行思考.善于进行这类思考后，对于方法的归纳、规律的小结和技巧的揣摩等能力的提高和思维的发展是大有裨益的.

（2）在学生易错处进行反思.错误的原因可能来源于白色，也可能来源于红色，更可能是对黑色的思考不够，进行这样的反思，可以找到“病根”，由此才可以对症下药，达到事半功倍的效果.

（3）在情感体验处进行反思，在比较严肃的课堂教学中，一般学生很少表达自己的情感体验，而正因为如此，我们老师对此关注的不够.事实上，整个解题过程不仅仅是一个知识运用、技能训练的过程，而是一个伴随交往、创造、追求和喜、怒、哀、乐的综合过程.其中交织着智力和非智力的多元因素.在此处进行反思，有利于激励学生学习的兴趣、动机；有利于锻炼学生意志和培养良好的学习习惯等.

蓝色通常是由老师或者组织者使用，但是其他的学生也用它来提出建议.蓝色是用来组织和控制思考过程的，所以它变得更加富于生产性.

蓝色是对思考的思考.

在平时的例题教学中，采用以上六种颜色进行思考，可以促使我们摆脱争论，将注意力集中到某一个焦点上（可以是解题的思路、可以是解题的“误区”、也可以是解题的拓展……），同时将学生的自我充分的表现出来，而不再局限于某个单一的立场；采用六种颜色的思考，可以使学生对问题或是建议不断的进行否定与肯定，在这一过程中不断的追求，将处理问题的主导地位交还给学生，将更多的时间与空间留给学生进行有效的创新思维的锻炼；六种颜色的思考不是将学生进行分类（有的善于采用黑色、有的善于黄色……），

我们承认学生之间的个性差异，但不希望学生对自己进行无意识的下定义“我是我们小组的绿色思考的代表”等，而是希望学生可以将这种思考方式作为一种思维“游戏”，将较为严肃的课堂变得生机勃勃.

[江苏省苏州市吴中区光福中学 （215159）]