日本教科书《中学数学》中的“概率”

概率起源于15世纪末卡丹与塔塔利亚合著的《博弈者入门》一书,后由于帕斯卡、费马、伯努利、庞加莱、希尔伯特等人的研究使之得到了进一步的发展和完善. 自1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫在他的《概率论基本概念》一书中首次给出概率的严格的公理化定义以来,概率论得到了空前的发展与进步. 随着科技与生产的飞速发展,概率的应用也日益广泛. 因此,将其引入中小学课堂已在国际上达成一种共识.

概率的研究对象――随机现象是偶然的,但其中又有蕴含一定的规律性与必然性,它总是通过对外显的、看似偶然的数据的研究,以此来把握事件的本质规律. 这种随机观念打破了原有的思维方式,克服了过去片面强调确定性的倾向,为学生认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,有助学生以随机各观点来理解世界,形成正确的世界观与方法论,为以后的进一步工作与学习做好准备.

1 日本教科书《中学数学》

日本教科书――《中学数学》由日本数学教育学会会长、东京理科大学教授泽田利夫领衔主编、教育出版株式会社2001年出版,于2002年正式开始投入使用. 其教学内容是按年级顺序编排的,每年级都包括数和式(代数)、图形(几何)和数量关系(函数与概率统计)3部分内容文[2]中着重指出了其内容编写中的特点:重视数学史的知识;重视通过学生观察、操作、实验等具体活动,抽象概括出数学知识;重视启发学生思考;内容编写尽量符合学生的认知特点;重视问题解决. 文[2]侧重于从其宏观层面对其特点作出具体分析,本文选取2008年版《中学数学》中“概率”这一内容,拟从微观层面对其进行介绍与分析.

《中学数学》第2册第6章为“概率”(日文中使用“率”一词),本章内容可以分为三节:概率、概率的计算方法、各式各样的概率. 本文分概念的引入与深化、概率的计算、概率的应用三个部分来介绍.

2 《中学数学》中概率内容分析

2.1 概念的引入与深化

(1)概念的引入

概率是一门实践性很强的学科,在《中学数学》“概率”这章的章首提出了以下的一个实验:

Q: 投掷一颗骰子的时,点数1和点数3哪个更容易出现?请投掷一颗骰子来调查一下出现点数1和点数3的次数吧!请在表格中填入实验结果.

这个投掷骰子的大量重复实验实在概率这一章中,通过一个简单的数学实验,引导学生探索问质是引导学生思考“该如何表示高频率事件?”,为本章的核心概念――概率的提出创设情境. 虽然这个实验简单、费时,但是通过这样一个实验,不仅可以增加他们对概率背景知识的认识,而且可以积累大量的活动经验,更深刻的领会概率的思想方法.

(2)概念的深化题本质. 在第1节中,教科书结合章首的投掷骰子的实验,并借助比例:事情发生次数[]所有次数[SX)],自然提出概率的定义.

学生对概率的定义有初步的理解之后,为了进一步巩固与深化对概率的理解,在教科书第144页,给出了以下的一道例题和一个问题:

例1 下表是我国每年的出生人数示意图,女性的出生数比率为:

(『人口动向厚生统计协会)

在无法进行重复实验的情况下,则以大量实际发生调查或是多次的观察结果为基础,来计算此种场合的事情发生概率.

问题5:据秋田县的某地区过去40年间的记录,在12月24的降雪次数是15次,那么这个地区,在来年12月24日的降雪概率大约是多少呢?

学生借助投掷实验,初步了解与体会了概率的的定义. 但是投掷实验是一个可以重复操作的实验,但是大量的实际问题是不能重复操作的. 通过这两个问题实质是让学生了解在无法进行重复实验的情况下,则以大量实际发生的调查或是多次的观察结果为基础,来计算此种场合的事情发生概率.

2.2 概率的计算

“概率的计算方法”是本章第2节的内容,本节内容主要讨论的是计算等可能事件的概率. 这节内容可分为三部分,由三个问题引出,分别为

Q1: 请考虑下,当投下一个骰子时,下列情况哪种更容易出现(发生)

(1)出现点数3; (2)出现点数3以下.

Q2: 从放有6个白青和青球的袋中取出一个球,此时,一号袋中为6各青球,二号袋里为两个白球、四个青球,三号袋里为6个白球,请依次求出这三种情况,取到白球的概率.

Q3: 在两次投下一枚硬币时,两次都出现正面的概率是多少?

不管是进行大量的重复实验,还是以大量的实际调查或是多次的观察结果为基础,来计算事情发生概率都是相当繁琐与复杂的. 通过问题1引出介绍等可能事件概率的计算方法,为问题解决提供了一种形式化的方法. 问题2通过球个数的特殊分配,旨在引导学生发现概率的取值范围. 通过问题3,让学生学会用树形图以及列表的方法来解决一些复杂的概率问题. 借这三个层层递进的问题,向学生展示概率计算的一般方法,为概率的进一步应用奠定基础.

2.3 概率的应用

在本章最后一节――各式各样的概率中安排了三道例题:投掷两颗骰子的问题,抽签中奖问题,抽签分组问题. 《中学数学》中概率的应用的形式不止于此,还有挑战角、学结、本章习题、自由研究等等. 下文对这些形式做简要介绍.

(1)挑战角

在《中学数学》的“概率”这一章的第153页,安排了“挑战角”.

同时投掷两枚骰子,对于出现点数和是偶数的概率,三崎君是这么分析的:

两颗骰子的数目之和,共有2到12这11种情况,其中是偶数的是:2,4,5,8,10,12这6种,由此可得所求的概率为:6/11.

三崎君的这种考虑正确吗?

三崎君的计算方法是学生在学习了概率后常犯的错误,在挑战角提出这样一个问题,旨在让学生对等可能事件的概率计算有一个全面深刻的认识.

(2)学结

学结中主要回顾了本章学到的基本内容,但是这部分内容与我国教科书有很大的不容,它是提纲性质的,而且在相关知识点后都留有问题,要求学生解决. 因此,它既是知识的回顾与总结,也是练习. 这部分内容的第一条是:

概率

根据多次实验结果,如果某种事物的发生比例接近于一个定值,那么这个值即可称作概率.

当投下一颗骰子,用来表示正确项

(1)投6次,其中一定会出现一次点数1.

(2)投60次,其中点数1一定会出现10次.

(3)投6000次,其中点数1约有1000次出现.

(3)本章习题

为了让学生进一步巩固与掌握本章的内容,在本章章末安排了本章习题. 针对本章的重点与难点,安排了与学结,更具综合性和应用性的习题. 其中第7题为:

同时投掷两颗骰子,有关出现点数的和是9和10的情况哪个更容易发生?源太君是这样考虑的:

出现点数和是9时,其情况有2和6,4和5两种,出现点数的和是10时,其情况有4和6,5和5两种,因此,发生的情况程度是相同的.

源太君的想法,以及对等可能这一术语的使用是否正确,请写一写它的理由.

本题给出源太君的想法,这也是很多学生的分析问题的思路. 这时让学生审视这种的方法是否合理,借此从认识错误中提升自己的思维水平.

(4)自由研究

“自由研究”是通过灵活运用所学的知识来解决生活与生产中的相关问题. 在“概率”这章的“自由研究”中主要安排了三个专题:不发生的概率、彩票、内阁支持率.

《中学数学》的概率的应用中突出与生活与生产实践的结合,使学生不但巩固了所学的数学知识,而且也让他们认识到概率学习的意义所在,更深刻的体会到运用数学解决问题的简洁性与灵活性,提高其综合运用数学知识解决问题的能力.

3 对我国教科书编写的启示

3.1 强调问题驱动

《中学数学》中非常重视通过问题来启发学生思考.首先,《中学数学》往往在章首提出问题,从而引入本章的教学内容,而且这些问题往往是贯穿于整章内容之中. 在概率这章中,通过一个投掷骰子的实验,提出问题“该如何表示高频率事件?”. 投掷骰子的问题,在本章三节内容中从不同角度进行考查,反复出现. 而我国教科书在章首一般是介绍本章知识的相关背景,如人教版教科书中“概率初步”这章的章首,从“天有不测风云”出发,介绍了随着对事件的可能性的深入研究,人们发现许多偶然性事件是有规律可循的,从而引出概率这个重要的概念. 其次,《中学数学》的习题较少,但是在每一节都很重视问题驱动,借问题的分析、思考与反思来引出相关的知识点. 在“概率”这章便以若干问题为基础,引出概率的相关知识,同时利用这些知识来进一步解决问题.

3.2 消除错误认识以提高思维水平

美国心理学家E.L.桑代克提出:学习是一种渐进的、尝试错误和偶然成功的过程. 在《中学数学》中非常重视学生可能出现的错误. 在概率这一章中许多问题中是让学生反思错误的方法以及错误的结论,以此来加深其对概率的认识和提高思维水平. 整章内容中存在5处以问题的形式给出了学生经常会犯的错误,如在第155页中的学结中给出了这样一个问题:投6次,其中一定会出现一次点数1,让学生来判断对错. 概率中的这些错误认识会对学生的理解概率产生不良的影响,通过在教科书中重点提出这些问题,学生不仅能对概率的计算进行有意义的建构,同时也激发了学生的学习兴趣和培养了学生的元认知能力. 而我国的教科书中,对于这些学生易犯的错误关注非常少.

3.3 彰显数学文化的教育价值

数学文化不同于数学观,只关心数学的本质、数学知识特征和数学发展规律,它要考虑数学在人类整体文化中的地位与作用的问题. 在《中学数学》中借助贴近学生生活的例子,如:女性出生率的统计、内阁支持率、降水概率等,促进学生对数学本质的理解. 在“数学二三事”中,教材对概率起源作了简单介绍,让学生体会到“概率”知识,不是孤立、个别的、纯知识形式,而是融于整个文化素质结构当中,以数学文化为依托的教育本质上体现了一种素质教育. 在我国的新课程改革中,数学文化也逐渐受到重视,在《高中数学新课程标准》中有关数学文化内容的设置中要求“体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野”,并且设置内容选题为:数的产生与发展、《几何原本》的公理化思想,金融中的数学、海岸线与分形、系统的可靠性等共19项. 但这些内容并没有跳出应用的范畴,没有想到从数学理性精神层面来理解与分析数学文化的教育价值. 在教材中我们应用广泛联系的、学科交叉的、相互联系的观点把关于数学的认识深入到学生的整体世界观念之中.

参考文献

[1] 泽田利夫.中学数学[M].日本东京:教育出版株式会社.2008.

[2] 李淑文.日本新编中学数学教材的特点分析[J].数学教育学报,2003.12(3):20―22.

[3] 朱哲.日本教科书《中学数学》中的“勾股定理”[J].数学教学.2008.(12):37―40.

[4] 田月思,王丽燕,骆旭兰,朱哲.中日数学教科书中“平方根”内容比较[J].中学数学杂志(初中),2009(8):34―36.

[5] 吴燕萍,朱哲.中日数学教科书中的“代数式”比较[J].中学数学,2009(9下):12―14.

[6] 潘钰梅,朱哲.日本教科书《中学数学》中的“正数负数”[J].中学教研(数学),2009(10):4446.

[7] 张维忠,徐晓芳.基于数学文化的教学案例设计述评[J].浙江师范大学学报(自然科学版),2008,31(3):246―250.