例谈多元最值问题的不等式解法

“最值问题”是历届高考数学中的热点和难点，其中有一类最值问题因为变量多，结构式复杂，相互之间的制约关系较难把握，导致处理难度大，常被称为“多元最值问题”.

利用不等式求解最值问题，高中阶段最典型的就是利用“基本不等式”及各种相关技巧.一般运用基本不等式进行放缩，得到定值，确定等号能取到，强调“一正、二定、三相等”.

透过现象看本质，利用基本不等式求最值的过程，本质上就是一种有条件和有目的的放缩，我们也可以把这种模式推广到更一般的情形，得到如下模型（以求最小值为例）：

归纳拓展：（1）本例中经过两次基本不等式放缩得到原式“大于等于4”，要最后能取到最小值4，必须之前的两次放缩中“≥”的等号能够同时取到，由此最终产生两个限制等式b=a-b和a=4a，而本题中恰好含有两个变量a，b，使得a，b可以解出，这是本题最终能够解决的基础.

（2）由本例进一步拓展思路：若问题中有n个变量，根据方程思想，在利用不等式放缩中可以允许出现的因“=”限制产生的等量关系只要不超过n个（注：若其他条件中出现有关n个变量的其他等量关系限制，则放缩中因取“=”产生的等量关系需相应减少），理论上等号总能取到（能够解出取等号时n个变量的对应值），即可以取到放缩后“理想”中的最值.

归纳拓展：（1）本题中变量较多，初看题时往往让人感觉无从下手，仔细分析后由于原题中等量关系太少，难以通过常规的消元思路解决问题，于是想到从不等式放缩入手.经过放缩后得到⑤式，运用条件x1x2x3x4x5=729代入后再次放缩得到M≥9，纵观整个放缩过程要保证等号最终成立，只需要①②③④中的等号同时成立即可，加上条件x1x2x3x4x5=729共形成5个方程和5个变量，根据方程思想，这5个变量可以解出，从而保证了解法的可行性.（2）值得注意的是，本题解法中已经不涉及“基本不等式”，只有一般意义上的不等关系和放缩，跳出了书本上公式限制，更深入的揭示了“不等式”和“最值”之间的本质联系.

一般情况下，多元变量问题往往最麻烦的地方就是变量太多，同时没有足够的等量关系消元，而利用不等式解最值问题，每一次放缩带来的“等号”限制，一般都对应着一个等量关系，适度的利用不等关系进行有目的放缩，引入了新的等量关系，根据方程思想，反而变量越多，能够容许放缩的次数也就越多，只要使得最终取等号时多元变量确定有解，问题就可以迎刃而解.