在高中数学教学中反例的作用

摘 要：教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息，因此运用反例是我们辨析错误的重要工具。

关键词：辨析错误；数学教学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）10-133-01

教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息，因此运用反例是我们辨析错误的重要工具。从数学的发展史来看，反例和证明一样占有重要的地位，这是因为在数学问题的探索中，猜想结论是否正确，正确则要求严格证明，谬误则靠反例来否定。而数学的发现也是朝着这两个目标――提出证明和构造反例发展。

一、数学反例的概念与类型

数学中的反例，是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子。也就是说反例是一种指出某命题不成立的具体例子。从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题不成立。但是我们所说的数学反例，应该注意这样几点：一是相对于数学命题而言；二是具体的实例；三是反驳与纠正错误数学命题的一种方法；四是它建立在数学上已经证实了的理论与逻辑推理的基础上。一般来说，一个假命题的反例有多个，我们在举反例时，只选其中一个有代表性的就可以了。反例是相对于命题而言，它的产生与分类和数学命题的结构密切相关，因此在数学上的反例可以分为以下几种类型：

1、基本形式的反例

数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。全称肯定判断（所有 都有 ）与特称否定判断（有 不是 ）可以互为反例。例如对任何自然数 都有 的值为1，这是全称肯定判断，但当 ， ，这是特称否定判断，这就是反例。

2、充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例

充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，可以表述为 。即“有前者，必有后者”。但是“没有前者，不一定没有后者”。可举反例“没有前者，确有后者”说明之。这种反例称为关于充分条件假言判断的反例。例如若 ，则 ，三角形全等是三角形等积的充分条件，但有三角形不全等，却等积，反例：同底等高的两个三角形等积但不全等，可说明这点。

必要条件的假言判断，可表述为 ，即“没有后者，就没有前者”。但是“有了前者，不一定有后者”。可举反例“有了前者，没有后者”说明之。这种反例称为关于必要条件假言判断的反例。

3、条件变化型反例

数学命题的条件改变时，结论不一定正确，为了说明这一点所举出的反例称为条件变化型反例。条件变化有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学的研究与教学是很有益的。

二、中学教学中数学反例的构造思维策略

在数学推理中，构造反例与提出证明一样，是一项积极的创造性的思维活动，二者具有同等重要的作用。在中学数学教学中，让学生掌握严密的推理逻辑与各种思维方法的同时，学会举反例亦十分重要。在概念与定理的教学中，构造巧妙的反例，能使概念与定理变得简捷明快，容易掌握；在习题基本训练的教学中，举反例是反驳与纠正错误的有效方法，是学生创建学习的有力武器。学会构造反例是数学爱好者必须掌握的技能，也是培养能力的重要手段，那么它也应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。以下将通过若干典型问题的分析，介绍一些常用的构造反例的方法。

1、通过对集合的分类和讨论构造反例

把满足题设的所有情况恰当地进行分类，然后逐类考察，仔细判定结论在所考察的情况下是否成立，由此找出结论不成立的情形，即可获得反例。一般对满足题设的所有情况进行分类时，宜采用二分法，即把满足题设的所有情况，按某一标准分成两类，使其中一类具有某种属性，而另一类不具有这种属性，如果第一种情况能使结论成立，则考察第二类情况，看是否存在使结论不成立的条件，如仍没有，继续采用二分法把第二类情况再加以分类，直到找出反例为止。

2、通过对一般命题的特殊化或极端化构造反例

有些似真实假的命题，若能考查题设的特殊情形或极端情形，常可简洁地发现反例，得到事半功倍的效果。

3、 通过对题设数量关系的分析构造反例

有些似真的假命题，题设规定了某些数量关系，或隐含了某些数量关系，如果题设满足了一部分数量关系，题断就成立；题设满足了另一部分数量关系时题断就不成立。此时如果能注意讨论这些数量，就能迅速准确地找出反例。

4、通过简单运算的叠加构造反例

说明许多运算性质的真假，常可用一些简单事实，通过巧妙地叠加来获得反例。

总之，构造反例没有固定的模式，有时甚至并非易事。因此，在高中数学教学中，要以反例否定错误命题，预防和纠正错误认识，培养学生缜密的思维品质；同时，必须把握好反例方法的施教时机，针对命题自身特点，具体问题具体分析，在多种方式、方法中选择构造反例的最佳思维策略，以期迅速达到理想的教学效果。