加强解题指导,提高数学课堂教学的有效性

课堂教学中存在一个非常突出的问题是：课堂教学效率不高，过于注重形式，忽略了本质，学生得不到有效的发展.因此，如何提高课堂教学有效性，掌握提高课堂教学有效性的策略或技术，是摆在我们面前的一个永恒的课题.

课堂教学是提高教学质量主渠道.数学课堂教学基本上是围绕解题进行的，数学教学离不开解题，因此，解题教学的成功与否直接关系到教学是否有效.

1.领悟并掌握常用的解题策略

高考数学考试是在特定环境（考场）下的考试，考试成绩（变量）与时间（常量）的关系的处理就显得特别重要.在解题时，特别是在高考考场上解题时，必须快速解决以下两个问题：①从何处下手，②向何方前进.而这种能力的形成，离不开平时的大量解题实践.

差异分析法就是一种行之有效的解题策略.

例1已知a2，b2，c2成等差数列，求证：11b+c，11c+a，11a+b也成等差数列.

分析要证的结论就是11b+c+11a+b=21c+a.可以从几个方面找差异，并确定消除差异的方法：

①左边有两个分式，右边只有一个分式，从左边向右边转化时，可以使用通分达到这个目的.（解决了“从何处下手”）

②左边含有三个字母a，b，c，右边只有两个字母a，c，从左边向右边转化时，可以通过消去b达到目的.（初步解决了“向何方前进”）

解a2，b2，c2成等差数列，b2=a2+c212.

11b+c+11a+b=c+a+2b1（b+c）（a+b）=c+a+2b1ab+bc+ca+b2（接下去的目标：约去“c+a+2b”）

=c+a+2b1ab+bc+ca+a2+c212=2（c+a+2b）12ab+2bc+2ca+a2+c2（分子已出现了“2”）

=2（c+a+2b）12b（c+a）+（c+a）2=2（c+a+2b）1（c+a）（c+a+2b）=21c+a.（成功了）

11b+c，11c+a，11a+b成等差数列.

通过解题教学，应使学生掌握基本的认知策略，积累解题经验，提升思维水平.面对一个陌生的问题，我们可以按以下方法制定解题方案：①粗线条地理清框架——审题，明确解题方向；②分清层次——分散难点；③各个击破——处理好每个细节.

2.一题多解与最优解法

很多数学问题，只要解题者观察问题的角度、观点不同，就可以产生不同的解法.

例2已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0，求①y1x，②y-x，③x2+y2的取值范围.

角度一代数观点——视x2+y2-4x+1=0为方程.

①令y1x=t，得y=tx，代入原方程，得（1+t2）x2-4x+1=0.

令Δ≥0，得-3≤t≤3，即-3≤y1x≤3.

②令y-x=t，得y=x+t，代入原方程，得2x2+（2t-4）x+t2+1=0.

令Δ≥0，得-2-6≤t≤-2+6，即-2-6≤y-x≤-2+6.

③令x2+y2=t，代入原方程，得t=4x-1.

由原方程，得x2-4x+1≤0，得2-3≤t≤2+3.

7-43≤t≤7+43，即7-43≤x2+y2≤7+43.

角度二三角观点——原方程即（x-2）2+y2=3，令x=2+3cosθ，y=3sinθ.

①y1x=2+3cosθ13sinθ=t，得3sinθ-3tcosθ=2t，即3+3t2sin（θ+φ）=2t，sin（θ+φ）=2t13+3t2.由正弦函数的有界性，得|2t|13+3t2≤1（以下略）.

②y-x=3sinθ-3cosθ-2=6sin（θ+φ）-2（以下略）.

③x2+y2=7+43cosθ（以下略）.

角度三几何观点——原方程即（x-2）2+y2=3，表示圆，设P（x，y）是圆上任一点.

①y1x=kOP.

②y-x=t表示直线y-x=t与圆有公共点时，直线在y轴上的截距.

③x2+y2=|OP|2.

例3若直线x1a+y1b=1通过点M（cosα，sinα），则（）.

A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1

C.11a2+11b2≤1D.11a2+11b2≥1

解法一（几何观点）依题意，得直线x1a+y1b=1与圆x2+y2=1有公共点.

所以1111a2+11b2≤111a2+11b2≥1.

解法二（三角观点）由条件，得

cosα1a+sinα1b=1asinα+bcosα=aba2+b2sin（α+φ）=absin（α+φ）=ab1a2+b2.

由正弦函数的有界性，得|ab|1a2+b2≤111a2+11b2≥1.

解法三（向量观点）令m=11a，11b，n=（cosα，sinα），则m·n=1.

又m·n≤|m||n|，11a2+11b2≥111a2+11b2≥1.

解法四（排除观点，小题小做）当直线与圆x2+y2=1相切时，|a|>1，|b|>1，排除A；当直线与圆相交时，|a|，|b|可以非常小，排除B，C.故选D.

一题多解是一种重要的解题教学方式，可以培养学生的发散性思维.由于每一名学生对知识、方法的理解、掌握程度不同，因此并不是所有的解法都适合所有的学生，关键是每一名学生要能从中掌握适合于自己的解法（对于这名同学而言，适合自己的解法就是最优的解法），而且这种方法最好具有普遍意义，即所谓的通法.

例4已知直线l：mx+2y-2m-2=0，圆C：x2+y2-2x-4y+1=0.

（1）求证：直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得弦长的最大值和最小值.

解法一两方程联立，消去y，利用Δ和根与系数的关系解决.

解法二（1）直线方程可以化为（x-2）m+（2y-2）=0，得直线l可定点A（2，1）.

圆C：x2+y2-2x-4y+1=0即（x-1）2+（y-2）2=4，得A（2，1）在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点.

（2）当直线l过圆心C（1，2）时，弦长的最大值为直径=4；当lCA时，弦长的最小值为22.

通过一题多解，找到解题长度最短的解法.

3.变式训练

抓住一个知识点，进行迁移、加深、拓宽、创新，称之为变式训练.进行变式训练可加深学生对所学知识的理解，达到举一反三的效果，提高思维能力.

例5已知A，B是椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是2π13，则椭圆的离心率是.

直觉和顿悟是数学发现的重要因素.首先，直觉和顿悟在发现有价值的研究对象和问题时具有重要作用；其次，在研究问题有多种思路时，直觉和顿悟能帮助人们快速地从中作出抉择；再次，当解决问题的逻辑通道阻塞，思路发生中断时，直觉和顿悟能够帮助人们打破僵局，另辟全新思路.因此，合情推理的关键是直觉和顿悟.

数学既需要严密的逻辑证明，也需要合情猜想与合情推理.“猜”是直觉思维的产物，是发明创造的基础，是人的素质的标志.科学、合理的猜测是数学能力的体现.正如数学教育家波利亚所说：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看数学是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来更像一门试验性的归纳科学.

解法一（这是一道填空题，小题小做——直觉）根据直觉和以往的解题经验，可知：当P点位于短轴端点时（此时P点是位于x轴上方的椭圆弧的中点），∠APB最大.从而b1a=113b21a2=113a2-c21a2=113e=c1a=613.

解法二设P（x0，y0）（y0>0），作PDAB于D，

则tan∠APD=a+x01y0，tan∠APD=a-x01y0，

tan∠APB=tan（∠APD+∠APD）

=a+x01y0+a-x01y011-a2-x201y0=ay01x20+y20-a2.

由x201a2+y201b2=1，得x20-a2=-a21b2y20，

tan∠APB=ab21（b2-a2）y0.b2-a2

当y0=b即P为短轴端点时，∠APB取最大值.

从而b1a=113b21a2=113a2-c21a2=113e=c1a=613.

变式已知A，B是椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的长轴的两个端点，若在椭圆C上存在点P，使∠APB=2π13，求椭圆的离心率e的取值范围.（613≤e