谈数学直觉思维及应用

直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态.它不是对事物先作各方面的详尽分析，按部就班地运用逻辑推理，达到对事物的认识，而是从整体上对待对象，越过思考的中间阶段，直接接触到结论的一种心智活动.

直觉思维可分为直觉、灵感和想象.数学中的直觉就是人脑对数学对象及其结构关系的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断，是对事物本质的一种极为敏锐的深入洞察，也就是对所探求问题答案的“一眼看穿”，亦是直觉的判断，也就是百思不得其解时的一种“茅塞顿开”.但灵感不会从天而降，它是在一定知识信息储备的基础上，对疑难问题久经沉思之后的几种信息之间的突然沟通.想象是人对脑中已有的表象进行加工改造，创造出新形象的过程.它是人脑特有的功能，即使在人们面前并没有一定的实物或人工符号，人们也可以把新的关系、符号和事物自由地构想出来.在许多情况下，研究者并不能仅仅根据所面临的数据或信息作出上述的直觉判断，这时就需要求助于想象或猜想，才能形成一个大致的判断，然后寻找根据，以证实自己的初步判断的正误.

对数学对象、结构及其关系的直觉想象和直觉判断是数学直觉思维的直接本质.同时，在数学活动中直觉想象和直觉判断是很难截然分开的，两者常常交替着，有机地结合于一个统一的思维过程中，并且这种交替过程有时表现得特别迅速，与先前的思维进程的关系更加不清楚，甚至中途出现某种“断裂”.另外，有时甚至久思不得其解，但可能借助于某种机遇而得到启迪，突如其来地使问题得以澄清，因而形成一种“内现”或“顿悟”；有时伴随灵感状态出现，好像难以预期，但是它需要一定的主客观条件，即它是主客观联系的一个方面，只不过作为认识过程来说，它是一种飞跃.作为客观条条，必须要有一个待以解决的数学问题，问题的解决也应已经具备了相当的客观基础；作为主观条件，研究者必须顽强地探索问题的答案，并经历了一段紧张的思考.

数学直觉思维具有潜逻辑性和无意识性特点.

数学直觉思维的潜逻辑性常常集中表现在两点上.

首先，与普通逻辑推理的过程相比，它的认识就具有直接性，即如法国著名数学家彭加勒（H.poincare.1854-1912）所说：“为直觉所指引的数学家不是以步步为营的方式前进，他们在第一次出击中就迅速到了征服的目的.”

其次，与逻辑（推理）的抽象相反，数学直觉思维常常以形象思维形式表现为综合性，即这时呈现在人们头脑中的是一幅整体的图像，尽管它的某些细节可能是模糊的.正是这种特性，我们考虑数学问题时常常画一个草图先从整体上进行分析.

无意识性，主要是指思维过程的非自我意识性和非明确的目的控制性.

数学家对直觉思维在数学研究中的作用十分重视，把它视为数学创造的重要工具.彭加勒曾经指出：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具.”“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条道路能引导我们到达目的地.”为此，必须从远处瞭望目标，教导我们瞭望的本领是直觉.没有直觉，数学家便会像这样一个作家：“他只是按语法写诗，但是却毫无思想.”他同时代的数学巨匠希尔伯特（D.Hibert.1862-1943）也曾强调指出：“数学知识终究是依赖于某种类型的直观洞察力.”直觉思维之所以受到数学家们的高度重视，是因为它有逻辑思维所不能替代的作用.

直觉体现了对数学对象及其他研究进程的本质的、整体的理解，它产生于得到正确研究进程的具体构想和正确的结论被证明之前.同时，凭借直觉，数学家们还能判断出尚待研究的数学问题的价值乃至数学发展的前景.

然而，直觉并非为天才所独享，更不如高斯所说，是“上帝的恩惠”.狄多涅就告诫学生说：“经验证明，要达到这个目的（指对所要处理的数学对象有一个‘可靠’的直觉），只能通过长期与所要学习的教材打交道，并且不断尝试从所有可能的角度去了解它……获得‘直觉’的过程，必须经历一个纯形式，表面理解的时期，然后逐步将理解、提高、深化.”

怎样才能增大直觉思维出现的随机度呢？利特尔伍德提出：应当学会“笼统思考”的艺术.因此，思考数学问题要从各个数学片断的局部结构性联系中“集思广益”，就非得对它们“鸟瞰”、联想不可.同时，要发现整体的结构性联系，还得冲破各个数学片断的局部结构性联系的思维束缚.

数学家们通过长期的实践，已逐渐形成获得数学直觉的若干性指导性原则.如，简单性、统一性、对称性和美学标准等.数学直觉是在这些原则的指导下，通过自觉或不自觉的思维过程逐渐产生的，并不是胡思乱想，盲目臆断，而是拥有现实依据和经验依据.在上述直觉思维的指导性原则指导下，有解数学题常用入手策略：归熟、归间、归元、归系、归形等.

在实施素质教育的今天，中学数学教学中，在打好“三基”的基础的同时，更应重视能力的培养，全面提高学生创造精神和创造能力.利用直觉思维的迅捷性，全面提高学生创造精神和创造能力.利用直觉思维的迅捷性，敏锐的洞察力及具体简单化联想，可以使我们在解题中得到意想不到的效果.

一、归熟

把生疏的问题尽可能统一到熟悉的领域中去，并加以联想得到知识的纵深意向.