函数值域问题思维路线之初探

摘 要：函数值域问题是高中数学中的重要问题，但由于其方法众多，学生往往难以理清头绪，不知以何种方法作为思维的起点，本文探析此类问题的思维路线。

关键词：函数值域；思维；路线

值域问题是函数中的重要内容，其思想和应用渗透于高中数学的各个章节.然而由于基本初等函数的种类繁多，由其所构造的复合函数更是“千姿百态”，这就使得函数值域问题的求法具有多样性（比如配方法、分离常数法、判别式法、换元法、导数法、函数单调性法、图象法等），而正是这种多样性，导致了学生在面对具体问题时，方法上难以抉择，思想上难以理清，不知以何种方法作为思维的起点？这里就涉及了求函数值域时的思维路线问题.细心的读者也许会发现，这些方法其实可分两类，一类只是针对某些特定函数时的特殊方法（如配方法、分离常数法、判别式法），而另一类是适合于所有函数的通法（如函数单调性法和图象法）；至于换元法和导数法，笔者以为，它们只是求函数值域的必要手段和工具，其本身并不能单独求出函数值域.那么，如何构建函数值域问题的思维路线呢？

我们知道，单调性是函数的重要性质，只要了解了一个函数的单调性，就可求出其值域.同样，了解了一个函数的单调性，即可作出函数的大致图象，由图象法求其值域.因此，这两种方法均可作为求函数值域的通法，只是对于单调函数来说，作图已经没有必要，直接由单调性法求值域更为轻松，而对于非单调函数来说，虽然也可由单调性法解决，但图象法往往更为简单.因此，笔者认为，可将判断函数的单调性作为思维的起点，将作出函数的图象作为思维的终点，而将换元法和导数法作为沟通起点或终点之间的“使者”，以此来构建函数值域问题的思维路线.具体步骤为：首先判断函数y=f（x）（x∈D）在D（可以是函数的定义域，也可以是定义域的某个子区间）上是否单调，若是，则用函数单调性法求解；若不是，对于基本初等函数或通过换元可转化为基本初等函数的复合函数，用图象法解决，而对于无法通过换元转化为基本初等函数的复合函数，则先用导数判断单调性，然后再由图象法求解.下面笔者先介绍有关方法，然后举例佐证。

[?] 预备知识

1.函数单调性法求值域的依据

（1）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]（a

（2）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]=[a，c]∪[c，b]（a

2.基本初等函数按单调性分类

透彻了解基本初等函数的单调性和图象是运用函数单调性法和图象法求值域的前提.笔者将基本初等函数按其连续性和单调性分为如下两类：

（1）定义域内的单调函数：如一次函数y=kx+b（k≠0）、无理根式函数y=、指数函数y=ax（a>0且a≠1）、 对数函数y=logax（a>0且a≠1）；

（2）定义域内的不单调函数：①连续且不单调函数：如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）、绝对值函数y=x、正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx；②不连续且不单调函数：如反比例函数y=（k≠0），正切函数y=tanx。

说明：定义域内的单调函数均为连续函数，定义域内的不单调函数可能连续可能不连续.特别指出，定义域内的不单调函数在定义域的某个子区间上仍可能是单调函数，例如类反比例y=+b（k≠0）在不含有a的连续区间上为单调函数；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在不含有-的连续区间上为单调函数；绝对值函数y=x在不含有0的连续区间上为单调函数等。

3.复合函数单调性的判断依据

（1）函数y=f[g（x）]的单调性：“同增异减”，即f与g单调性相同，则复合函数为增函数；f与g单调性相反，则复合函数为减函数.

（2）函数F（x）=f（x）+g（x）的单调性：“同增为增，同减为减；一增一减，单调不定”，即f与g同为增（减）函数，则复合函数为增（减）函数，f与g一个增函数一个减函数，则复合函数单调性不能判定（可能是增函数，可能是减函数，也可能一部分增一部分减）。

4.图象法求值域的依据和方法

由于函数y=f（x）（x∈D）的图象可理解为动点M（x，f（x））（x∈D）的集合，因此，函数的值域即为当自变量x遍取D内每个数时，函数值f（x）的取值范围，从图象上看即为动点纵坐标的取值范围.因此，将函数图象正投影到y轴上所得到的区间即为函数的值域。

[?] 举例说明

例1 求函数f（x）=（x-1）2-+2在x∈（1，6]上的值域。

解：容易判断函数y=（x-1）2、y= -以及y=2在x∈（1，6]上均为增函数，又f（1）=-7，f（6）=32，所以函数f（x）的值域为（-7，32]。

说明：按照思维路线，起点是判断函数的单调性，而本题函数的单调性极易判断，因此直接由单调性法即可轻松解决.特别指出，尽管y=（x-1）2及y= -在其自身定义域上并非单调函数，但在给定区间（1，6]上却为单调函数.本题的求解告诉我们，对于单调函数来说，单调性法是求值域的最简单方法。

例2 求函数f（x）=分别在x∈[1，2]和x∈

上的值域。

解：函数可变形为f（x）==+，易知它在区间[1，2]、

均为减函数。又f（1）=2，f（2）=1，f（-1）=0，当x

说明：按照思维路线，先判断单调性.但观察发现，函数的单调性不能直接判断，因此须将函数进行适当的变形，看看变形之后的函数是否单调.本题中，分离常数之后即可轻松判断单调性.本题的求解告诉我们，当一个函数表面看不出单调性时（并不意味着函数一定不单调），则应将函数进行适当的变形，以暴露其单调性.特别指出，运用单调性法求分式函数值域时，常会用到如下性质：=0（k为常数），=+∞、= -∞（c为正常数），其中的0+和0-分别表示在数轴上从0的右侧和左侧无穷趋向于0的实数，它们像∞一样只代表一种趋势，并非确定的实数，因此其值域的边界均无法取到。

例3 求函数y=在x∈[3，18）上的值域。

解：函数可变形为y==7-+。令t=，则y=t2-t+7。易知函数t=在x∈[3，18）上为减函数，所以t∈

上不是单调函数，此时由抛物线图象可知，当t=时，ymin=；当t=1时，ymax=7，所以函数的值域为

说明：本题的关键是变形和换元，对分式函数来说，分离常数是常用的变形手段.变形的目的是为了换元，而换元的目的是将复合函数转化为初等函数（二次函数），然后通过图象法加以解决.另外，本题换元后也可用单调性法求解：设.本题的求解告诉我们，当一个函数较为复杂时，常用换元法将其分解为几个初等函数，然后用单调性法或图象法各个击破。

解一：函数可变形为y=，令t=sinx+cosx，则sinx・cosx=，故原函数可转化为关于t的函数y=g（t）=。在t=sinx+cosx=sin

中，再设m=x+，则t=sinm.又m是关于x的增函数，由x∈

，从而由t=sinm的图象可知t∈（1，]（对不单调的初等函数来说，图象法比单调性法更简单）.将g（t）=的分子分母同除以t得g（t）=，至此可以判断g（t）在t∈（1，]上为减函数.又g（1）===+∞，g（）==2，故函数的值域为解二：求导并整理得y′=，易知当x∈

说明：本题的解答告诉我们，在函数单调性难以判断的情况下，换元和求导发挥了至关重要的作用，它们像是通往函数单调途中的桥梁，起到了很好的沟通效果.解法一中，通过换元，使得单调性不明朗的函数变得明朗；解法二中，通过求导，同样确定了函数的单调性，从而为用图象法求解铺平道路。

综上分析可知，以此思维路线，即可将函数值域问题依次纳入先判断单调性，后作函数图象的轨道，从而有效地降低了思维的难度.但是判断一个函数的单调性有时也并不轻松，尤其是在函数复杂、求导不易的情况下，此时变形和换元就像是一套“组合拳”，它们在通往函数单调性的途中功不可没。