多元化投资发展思考

一、多元化投资相关理论及其教学困惑

投资、理财教学中最主要两个概念是多元化投资和资本资产定价模型（CAPM）。多元化投资又称分散化投资，是将资金同时投资于不同类型证券和不同领域公司股票的行为，目的就是降低资产组合投资收益的风险。求解投资者最优风险资产组合一般采用现代组合理论的均值—方差优化模型，在不允许卖空的条件下有：其中：E（r）是资产的期望收益率，p表示组合，i表示资产，c为无风险收益率，xi是各个资产在组合中权重，R为期望收益率矩阵，S为期望收益率方差—协方差矩阵，σij是资产i、j期望收益率的协方差，σp是资产组合标准差。目前本科生、研究生所采用教科书中并未向学生介绍和提供具体求解最优风险组合的方法，对最优组合量化特征也较少提及，仅仅提供了求解基本思路。求解过程中要求学生具备一定矩阵代数计算能力，导致学生望而却步。而大多数教师也只注重基本理论的讲授，较少涉及实际操作。以上教学过程的缺失，使得学生不能对多元化投资效果有正确而深入的理解，使多元化投资理论对实践指导作用也无法得以体现。为解决以上问题，笔者在教学实践过程中，利用Excel数组运算函数以及规划求解功能，构建了一个交互式最优风险投资组合优化模型，用于《证券投资学》的课堂教学，取得了较好反响。尽管矩阵代数计算看似繁琐，但是利用Excel提供的如“TRANSPOSE（）”、“MMULT（）”等数组计算函数以及规划求解工具，通过对相关单元格进行科学的定义并调用和设置规划求解参数，可以非常简便完成最优投资组合权重求解任务。

二、最优风险资产组合交互式优化模型构建与教学思路

交互式优化模型构建思路为：在计算最优组合中各资产权重基础上，绘制最优组合权重柱形图，并在以标准差为横轴、期望收益率为纵轴的二维图上绘制各风险资产和最优组合散点图以进行多元化投资效果和投资策略分析。基于个别投资者的投资优化框架，利用以上优化模型，可以形象而直观地解决并回答以下问题：①多元化投资基本理论是如何在最优风险组合中得以体现的？②投资者针对被错误定价资产应如何制定正确的投资策略？对于问题1，优化模型向学生展示了最优组合中的均衡策略，即提高期望收益率较高资产权重将增加组合的期望收益率（反之亦然），而多元化投资将降低组合的标准差（风险）。对于问题2，给定被错误定价资产，利用该优化模型，可以观察、分析并回答以下问题：①如何调整并加大持有比例使得任意被低估资产得以最优利用；②如何调整并降低持有比例使得任意被高估资产得以最优利用；③如何调整并提高持有比例使得任意被错误定价且标准差偏低的资产得以最优利用；④如何调整并降低持有比例使得任意被错误定价且标准差偏高资产得以最优利用。

三、风险投资组合交互式优化模型构建

本文构建基于Excel的交互式优化模型，考察如何根据五种风险资产的预期收益率和标准差选择最优投资组合。

1．模型初始假设及相关公式定义。假设初始状态是：五种风险资产具有不同期望收益率和相同标准差（风险），且两两相关系数为0。如图1所示，G列和H列中是每种风险资产的预期收益率和标准差，且预期收益率分别为8.0%、9.0%、10.0%、11.0%、12.0%，标准差均为20.0%。通过点击各单元格左侧微调项上下箭头，可以在各自初始值基础上以固定步长（1%）的方式增加或减少取值。单元格区域B4：F8中是对应的方差—协方差矩阵。出于简化考虑，假设各资产间相关系数均为0，则方差—协方差矩阵中除对角线上单元格分别为对应标准差平方（方差）之外，其他单元格取值（协方差）均为0。单元格区域C12：C16中分别是各风险资产在给定条件下最优组合中的权重，并满足权重之和等于1的条件，定义单元格C17为权重之和，计算公式为“=SUM（C12：C16）”。定义单元格B19为组合期望值，是各风险资产期望收益率加权平均数，计算公式为“=MMULT（TRANSPOSE（C12：C16），G4：G8）”。定义单元格B20为组合标准差，计算公式为“=SQRT（MMULT（TRANSPOSE（C12：C16），MMULT（B4：F8，C12：C16）））”。单元格B21中是评估风险资产组合指标Q，测度的是投资者单位风险所期望获得超额收益率，其中无风险收益率c为单元格C10中的取值（本例中假设为4%），计算公式为“=（B19-C9）/B20”。

2．最优组合权重求解及其结果输出。在不允许卖空条件下，求解最优风险资产组合就是要找出满足给定资产权重大于等于0且权重之和等于1约束条件下Q取值最大化的权重组合过程。该求解可直接调用Excel提供的“规划求解”数据分析工具完成，参数设置如图2所示：点击图“2求解”按钮后，Excel在经过短暂闪烁后出现如图3所示的规划求解结果对话框，点击“确定”按钮后，在单元格区域C12：C16中得到初始状态下最优风险资产组合权重结果（图1）。为了更加直观观察多元化投资效果和分析不同条件下多元化投资策略选择，图1中还给出了两个输出图形。其中，单元格区域I1：M12中是最优组合下各风险资产权重柱形图。

例如：给定初始条件下资产1、2、3在柱形图中的取值分别在13%、17%和20%左右。由于假设所有风险资产都具有相同的标准差以及相关系数均为0，显而易见，最优组合中期望收益率较高的资产具有较高权重（如资产4和资产5的权重均高于20%）。但需特别指出：最优组合并不是简单将100%资金都投资到最高期望收益率资产上。最优组合中的权重构成反映出投资者在高收益（期望收益率高的资产权重大）与多元化投资低风险（将资金分散投资到所有风险资产上）之间的权衡。另外，单元格区域D13：M30中是风险资产和最优组合的均值—方差散点图。通过分析图中各项资产位置关系，可以帮助学生理解多元化投资效果及演示如何根据被错误定价资产具体情况制定相应的多元化投资策略决策。

初始状态下，由于5种风险资产具有相同的标准差，因此图中与之对应的5个点具有相同横坐标，依次按从低到高顺序进行排列。而最优组合点位于这五个点的左侧，说明借助多元化投资，最优组合风险低于个别资产风险。另外，最优组合点纵坐标位于已有最高与最低风险资产期望收益率之间，说明组合预期收益率是各资产预期收益率的加权平均数。点击微调项，使用者可以非常方便地改变各风险资产期望收益率和标准差取值。在新数据条件下，直接调用已有规划求解对话框设置，就能得到新一组最优组合结果，权重柱形图和均值—方差散点图也将自动根据新结果进行更新。

四、多元化投资分析课堂教学设计

该交互式优化模型可用于分析投资者如何最优化利用被错误定价资产方面的教学。可以从以下几个方面引导学生进行分析和讨论，多角度理解多元化投资策略制定的依据。

1．资产价格被低估。图4是投资者认为某项资产价格被低估假设条件下的多元化投资效果及策略分析图。无论资产被错误定价的消息出自何处，投资者都相信被低估的价格有可能在未来某个时刻被修正，因此导致投资于该资产能够获得较高的期望收益率。本例中通过点击单元格G5左侧微调项中的向上箭头将资产2的期望收益率从初始状态下的10%提高到一个较高的水平（15%）。可以看到，由于具有较高的预期，收益率均值—方差图中资产2的位置发生了显著变化，从初始状态的较低位置跃升到最高处，投资在该项资产上的权重在最优组合权重柱形图中大幅增加（30%以上）。说明利用资产价格被低估的机会，需要大幅提高资产2的权重（注意不是简单地将100%资产全部投资到此价格被低估的资产上），而权重在各项资产上的分配反映出多元化投资中高收益与低风险之间的权衡。最优组合点的位置与各单个风险资产相比，其横坐标明显偏左，说明通过多元化投资确实起到了降低风险的效果。

2．资产价格被高估。

如图5所示，对于投资者认为某项资产价格被高估而非低估的情况，基于当前不正常估价在未来将被更正的认识，投资于该项资产的期望收益率较低。因此，可将资产2的预期收益率从初始的9%降低至3%，而其他条件保持不变。按照相同的规划求解设置重新计算最优风险投资组合，此时会“惊讶”的发现：资产2在均值—方差散点图中消失了，而最优权重柱形图中资产2的位置也是空白的。这是由于本例中不允许卖空，因此投资于超低期望收益率资产2的权重为0。不难理解，在允许卖空的条件下，投资于资产2的比例极有可能是负值。本例最优权重构成反映出多元化投资中高收益与低风险之间的权衡。

3．由于低风险所导致的错误定价。图6是投资者认为某资产由于风险偏低而被市场错误定价的情况。将资产3的标准差降至13.0%，其他条件与初始状态相同，则在其均值—标准差散点图中资产3出现在其他四种资产左侧，较其他资产的标准差都明显偏低。而新规划求解结果的最优权重柱形图中，投资在资产3上的权重明显高于其他资产，这是投资者利用资产低标准差机会所采取的投资策略。同样，投资者并未将所有资金都投入到资产3中，这反映出投资者在投资于低标准差以期获得低风险与通过投资于多个低相关性资产而获得的低风险之间权衡。

4．由于高风险所导致的错误定价。图7的情况与图6恰好相反，将资产3标准差提高至25.0%，则资产3在均值—标准差散点图中出现在其他四种资产右侧，具有明显偏高的标准差。而最优组合权重柱形图中规划求解的结果则表明：由于资产3具有较高标准差，导致在组合中的权重降低。同样，投资者对于像资产3这样的高标准差（风险）资产，并不是不对其投资，而只是适当降低其比例。最优权重组合又一次说明投资者在通过降低高标准差资产上投资比例所得到低风险与投资于不相关资产所获得的低风险之间的权衡。

五、结论

利用Excel内置的数组计算公式、微调项以及规划求解工具，本文构建了一个交互式优化模型计算分析最优风险资产投资组合权重。该模型在对学生进行多元化投资效果分析以及针对不同情况下被错误定价资产制定合理投资策略时提供了一种非常直观的教学方式，取得了较好的教学效果。事实上，在投资学课程其他相关内容的教学中，还可以将这种基于Excel的交互式演示教学方式扩展和应用到其他领域，如Black-Scholes期权定价模型以及债券定价模型的介绍与分析中。