初中数学教学片断有感

摘 要：数字是有灵性的，它承载着哲理，可以把玩。从一些教学片段可感知学生群体本身是潜在的、丰富的、可利用的数学教学资源；可以感悟数学概念的形成过程是自然的，数学是自然而然的。

关键词：数字把玩；学生群体；教学资源；数学概念；形成过程

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2012）10-0050-03

在使用华师大版初中数学教学过程中，在和学生共同学习和生成的课堂上，有过诸多难忘的感受，现举二三例，与大家交流与分享。

一、数字是有灵性的，数字承载着哲理，数字是可以把玩的

七年级上册有这样一道练习题：下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？

+6，-21，54，0，，-3.14，0. 001，-999.

这本是一道课堂练习，经观察，口述即可完成。但仔细看这些数字，个个都是跃动的精灵，每个都有精彩的故事。

6，是个吉祥的数字，寓意“六六顺”。 基督教《圣经》记：上帝创造天地时于第六日依照自己的形象用泥土塑造了人，然后从鼻孔中吹进生气，让他居住在伊甸园（Eden）中。六，是一周的最后一天，称周末星期六。6是由1开始的最初3个自然数的和：1 + 2 + 3 = 6， 是第3个三角形数。6又是最初两个素数的积：2 × 3 = 6。早时航海观测天象使用六分仪。螺母和螺帽是正六边形。正方体有6个面。正方体骰子的点数最多是6点。6倒过来翻了个个儿，就增加了半倍，成了9。台球子的6子和9子都得在头上作标识，才不会引起混淆。9和6刚开始还经常吵架， 9骂6整天价里挺着个肚子不像话，6骂9整天价倒立走路没个正经。美国的柯尔特发明的左轮手枪的转轮弹匣有6个弹仓，可以装6颗子弹。

21，常言道，不管三七二十一，也就是不管好坏，所以“三”常常指代和意味着“好”，“七”常常指代和意味着“坏”。不过现在“七”已不再当作“坏”。时下私家车的车牌号还常常带7，因为“七”与“妻”谐音，如517（我爱妻），917（久要妻），587（我发妻），799（妻久久）等，以表男主人对女主人的心迹。有家公司还叫3721公司呢。21是由1开始的前6个自然数的和：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21，是第6个三角形数。21还是菲波那契数列的第8个成员：1，1，2，3，5，8，13，21，……

54，“五·四”青年节，“五·四运动”。一副扑克牌有54张。54o的余角是36o，36o是黄金三角形的内角。36o是18o的2倍， 54o是18o的3倍， 18o的正弦值是黄金分割率的一半。54 = 6 × 9，可分解出丰富的因数：2，3，6，9，18，27.

0，如水中月，镜中花，不管来多少个还是0：0 + 0 = 0.

0，滴水之恩，涌泉相报。你瞧，给1送去1个，1当10回报：1 + 0 = 10. （此处自然不是算术，而是一种逻辑表式） 给1送去2个，1当100回报：1 + 0 + 0 = 100.

0，如谷粒，鸡面前的盘中物，来一个，消灭一个，来两个，消灭一双：对任何数a，a + 0 = a。（此处a即如鸡，谷子0被鸡吃掉，吞进肚里，消失了。）

0，似如来佛的大肚，能容天下所有难容：对任何数a，a × 0 = 0. （任何事物a，都可以被如来佛的大肚0所容纳，化解了，消失了。）

0，午夜零点，是起点，还是终点？0，像谷子，是果实，还是种子？这个问题犹如那个古老的问题：是先有鸡，还是先有鸡蛋？又如亚当（Adam，the first man according to the Bible）和夏娃（Eve，the first woman according to the Bible）有没有肚脐眼？

3. 14，常用来近似指代圆周率。

0. 001，精确度的要求：精确到0. 001。0和1，二进制数。0和1，曲与直。1，是0的突破。0和1，可作为开关语言，也是电子计算机的整个运行工作语言。

教室有两个门，门开着记作1，门关着记作0. 一个门开着，另一个门关着，那么教室开着：1 + 0 = 1. 两个门都关着，当然教室关着：0 + 0 = 0。 两个门都开着，自然教室开着：1 + 1 = 1. （此处自然也不是算术，也是逻辑表式）

999，999感冒灵，三九胃泰. 奔驰（Benz）和宝马（BMW）等名车车牌号常见。香港饰品的黄金成色，如999.9金. 999一齐做一个前滚翻就能减掉三分之一的体重，成了666.

二、学生群体本身是一份潜在的、丰富的、可利用的教学资源

七年级下册有一道练习题： 编一道联系实际的数学问题，使所列的方程是3x + 4 （45–x） = 150.

如果只当是一道作业题，批改了发回，那么就白白地浪费了一份绝好的教学资源，也错过了一回精彩的教育资源的利用。事实上，学生的作品真是五花八门，五彩纷呈。通过实物投影仪，展示在课堂上，课堂就成了学生的思想相互交流的愉快平台，就成了学生作品认可与被认可、欣赏与被欣赏、认同与被认同的最自然、最可接受的方式的平台。同时还真切地体现了数学模型的高度抽象性，因为构成该数学模型的背景居然是可以千差万别的。现采撷部分学生的作品如下。

庄萌凤编：有花生重45千克，其中较好的价格为4元/千克，较次的为3元/千克，共卖出150元，问较好的、较次的花生各卖出多重？（花生的价格便宜了点，哪儿有的卖？也帮多买点）

蔡荣莹编：小雪做纸花，有红、白、黄三种颜色。已知白花和黄花共有150朵，白花是红花的3倍，白花和红花共有45朵，黄花是白花的4倍。 求红花有多少朵？

许洋洋编：爸爸45岁，爸爸的岁数减哥哥的岁数的差的4倍与哥哥岁数的3倍的和是150. 求哥哥的岁数。（“爸爸”早婚！哈哈！宜改“哥哥”为“堂哥”或“表哥”）

三、数学是自然的，数学概念的形成过程是自然的

在八年级下册教学“方差与标准差”这两个统计学概念的过程中，可能会出现一道灰暗的色彩，即学生对课本给出的方差的概念、定义，普遍感到生硬、困惑、不理解。

方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”这样一个算式得到的结果，来表示一组数据偏离平均值的情况。

形成这样一个游戏规则的合理性是什么？必要性又是什么？因此有必要对方差和标准差这两个概念形成的原理做个通俗的解释和引导，展示其自然形成的过程。

但是，当两组不同的数据，其各自的平均数相等、相同、一样的情况下，作为各自原始数据的集中的、居中的代表，平均数已无法区别、反映这两组数据的不同情况，或者说，此时利用平均数来比较已失效、无效。

当然，平均数毕竟是一组数据的集中的、居中的、很好的代表，但对于两组数据不同，数据分布不同，偏差客观存在，因此可以考虑、考察一组数据与平均数的集中趋势，或“同心同德”状态，或集聚、集居、群集情况。而反过来讲，就是可以考虑、考察一组数据与平均数的偏离、偏差、离差情况，亦即离势，或“离心离德”状态，或散居、离散、游离情况，这是相通的。

与平均数的集中趋势较好的，凝聚力大，较团结、集聚、集居、群集、稳定在平均数周围，较“同心同德”，自然地，与平均数的偏离、偏差、离差就较小，即离势较小，“离心离德”的少，散居、游离、波动、离散的程度就小。反之，与平均数的偏离、偏差、离差较大，即离势较大，“离心离德”的多，“众叛亲离”的多，散居、游离、波动、离散的程度大，自然地，与平均数的集中趋势就较差，凝聚力小，群集紧密程度较差。

至此，当两组不同的原始数据的平均数都一样的情况下，不仅使用平均数失效，而且使用平均离差也失效。这就需要考虑、考察导致平均离差为零的原因何在。事实上，导致平均离差为零的原因是，所有的离差在加法运算中将全部互相抵消，或上或下，或前或后，或左或右，通通消化掉。由于偏差、离差是一个客观存在，因此就需要考虑如何保住离差，使其在加法运算上不被互相抵消，得以保存下来，以期反映一组数据的一个客观实在。

就在此时，一道亮丽的光彩在课堂上闪现，学生潘翊、赵弦不约而同地提出，给每个离差取绝对值！这是很数学化的思考的，合情合理，合乎逻辑，简直就是专业数学工作者的思考，而且是课本上所未提及的。

当已知一组具体的数据，用笔算是不难求出其平均距离的。可是，由于平均距离含有一组绝对离差，而在理论上，去掉每一个绝对值都需要首先判断绝对值符号内式子的正负号，因此平均距离在理论演算、运算上很不方便、很不经济。这就需要进一步考虑寻求具有与绝对值相同的功能、相当的作用的数学方法。

至此，学生普遍能作出自然的反应，即对离差取平方！水到渠成。事实上，只要是对离差取偶次方，都能保住离差，使其不在加法运算中被相互抵消。不过取平方自然是取偶次方的最简单者。这样，两数差的平方就可以容易地展开为二次齐次三项式，理论运算比较起来非常方便。

这就是方差的来历。

真乃一波三折、跌宕起伏！尽管如此，事实上，从平均距离、方差和标准差的算式来看，它们都可以分别直接反映一组数据偏离平均数的情况，都能从反面反映一组数据与平均数的集中趋势。更何况方差与标准差是一对对偶关系，平方与开平方的关系。